Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x.y = 1. Chứng minh rằng 4(x+y)2+x2+y2≥3. Đẳng thức xảy ra khi nào?

Gọi A = 4(x+y)2+x2+y2 =4(x+y)2+(x+y)2−2xy =4(x+y)2+(x+y)24+34(x2+y2)+34 . 2xy−2 =4(x+y)2+(x+y)24+34(x2+y2)+32−2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: A≥24(x+y)2(x+y)24+34.2x2y2+32−2 ⇔A≥2+32+32−2=3 (điều phải chứng minh) Dấu “=” xảy ra khi x = y = 1. Vậy đẳng thức xảy ra khi x = y = 1.

Câu hỏi:

13/07/2024 1,741

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x.y = 1.

Chứng minh rằng $\frac{4}{{(x + y)}^{2}} + x^{2} + y^{2} \geq 3$ . Đẳng thức xảy ra khi nào?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi A = $\frac{4}{{(x + y)}^{2}} + x^{2} + y^{2}$

$= \frac{4}{{(x + y)}^{2}} + {(x + y)}^{2} - 2 x y$

$= \frac{4}{{(x + y)}^{2}} + \frac{{(x + y)}^{2}}{4} + \frac{3}{4} (x^{2} + y^{2}) + \frac{3}{4} . 2 x y - 2$

$= \frac{4}{{(x + y)}^{2}} + \frac{{(x + y)}^{2}}{4} + \frac{3}{4} (x^{2} + y^{2}) + \frac{3}{2} - 2$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

$A \geq 2 \sqrt{\frac{4}{{(x + y)}^{2}} \frac{{(x + y)}^{2}}{4}} + \frac{3}{4} .2 \sqrt{x^{2} y^{2}} + \frac{3}{2} - 2$

$\Leftrightarrow A \geq 2 + \frac{3}{2} + \frac{3}{2} - 2 = 3$ (điều phải chứng minh)

Dấu “=” xảy ra khi x = y = 1.

Vậy đẳng thức xảy ra khi x = y = 1.

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Dây CD vuông góc với AB tại E (E nằm giữa A và O; E không trùng A, không trùng O). Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC sao cho cung MB nhỏ hơn cung MC. Dây AM cắt CD tại F. Tia BM cắt đường thẳng CD tại K.

1) Chứng minh tứ giác BMFE nội tiếp.

2) Chứng minh BF vuông góc với AK và EK.EF = EA.EB

3) Tiếp tuyến của (O) tại M cắt tia KD tại I. Chứng minh IK = IF.

Xem đáp án

Lời giải

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Dây CD vuông góc với AB tại E (E nằm giữa A và O; E không trùng A, không trùng O). Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC sao cho cung MB nhỏ hơn cung MC. Dây AM cắt CD tại F. Tia BM cắt đường thẳng CD tại K. 1) Chứng minh tứ giác BMFE nội tiếp. 2) Chứng minh BF vuông góc với AK và EK.EF = EA.EB 3) Tiếp tuyến của (O) tại M cắt tia KD tại I. Chứng minh IK = IF. (ảnh 1)

1) Ta có: $\hat{F E B}$ = 90° (CE ⊥ AB)

$\hat{F M B}$ = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác BMFE có $\hat{F E B}$ + $\hat{F M B}$ = 90° + 90° = 180°

Suy ra tứ giác BMFE nội tiếp.

2) Ta có $\hat{A M B}$ = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra AM ⊥ MB

Xét tam giác AKB có:

KE ⊥ AB (giả thiết)

AM ⊥ KB (chứng minh trên)

Mà KE cắt AM tại F suy ra F là trực tâm của ∆AKB.

Suy ra BF ⊥ AK.

Xét ∆ AFE và ∆ KBE có:

$\hat{A E F} = \hat{K E B}$ = 90° (KE ⊥ AB)

$\hat{A F E} = \hat{K B E}$ (tứ giác BMFE nội tiếp)

Suy ra ∆AFE ∆KBE (g.g)

Từ đó suy ra $\frac{A E}{K E} = \frac{F E}{B E} \Leftrightarrow A E . B E = K E . E F$ (điều phải chứng minh)

3) Xét tam giác AOM có:

OA = OM = R suy ra ∆AOM cân tại O suy ra $\hat{O M A} = \hat{O A M}$ (1)

Ta có $\hat{A M O} + \hat{I M F} = \hat{I M O} = 90 ° \hat{A M O} + \hat{I M F} = \hat{I M O} = 90 °$ (MI là tiếp tuyến của (O))

$\hat{K M I} + \hat{I M F} = \hat{K M F} = 90 °$ (KM ⊥ FM)

Suy ra $\hat{A M O} = \hat{K M I}$ (2)

Mà ∆AFE ∆KBE suy ra $\hat{O A M} = \hat{I K M}$ (hai góc tương ứng) (3)

Từ (1) (2) và (3) suy ra $\hat{I M K} = \hat{I K M}$

Suy ra tam giác IMK cân tại I suy ra IM = IK (4)

Xét ∆KMF vuông tại M ta có:

$\hat{F K M} + \hat{K F M} = 90 °$

$\hat{K M I} + \hat{I M F} = 90 °$

Mà $\hat{I M K} = \hat{I K M}$ (chứng minh trên)

Nên $\hat{I M F} = \hat{I F M}$ suy ra ∆IMF cân tại I suy ra IM = IF (5)

Từ (4) và (5) suy ra KI = IF (= IM) (điều phải chứng minh)

Câu 2

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 68 m. Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi và chiều dài lên gấp ba thì chu vi khu vườn mới là 178 m. Hãy tìm chiều dài, chiều rộng của khu vườn đã cho lúc ban đầu.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi x (m) là chiều rộng của khi vườn lúc đầu (x > 0).

Gọi y (m) là chiều rộng của khi vườn lúc đầu (y > 0).

Khu vườn lúc đầu có chu vi bằng 68 m nên 2x + 2y = 68 (1)

Chiều rộng khu vườn sau khi tăng là 2x (m)

Chiều dài khu vườn sau khi tăng là 3y (m)

Chu vi của khu vườn sau khi tăng là 2.2x + 2.3y = 178 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

${\begin{cases} 2 x + 2 y = 68 \\ 2.2 x + 2.3 y = 178 \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x = 34 - y \\ 4 x + 6 y = 178 \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x = 34 - y \\ 4 (34 - y) + 6 y = 178 \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x = 34 - y \\ 2 y = 42 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} x = 13 \\ y = 21 \end{cases}$ (thỏa mãn)

Vậy chiều rộng lúc ban đầu là 13 m và chiều dài lúc ban đầu là 21 m.

Câu 3

Cho hệ phương trình: ${\begin{cases} 2 x + y = 3 m - 2 \\ 3 x - y = 2 m + 2 \end{cases}$ (m là tham số) (I)

1) Giải hệ phương trình đã cho khi m = −1.

2) Tìm m để hệ (I) có cặp nghiệm (x; y) duy nhất thỏa mãn: x² + y² = 10.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho $P = (\frac{1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{x + \sqrt{x}}) : \frac{\sqrt{x}}{x + 2 \sqrt{x} + 1}$ (với x > 0)

1) Rút gọn biểu thức P.

2) Tính giá trị của P khi x = 4.

3) Tìm giá trị của x để $P > \frac{2}{3}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x.y = 1. Chứng minh rằng 4(x+y)2+x2+y2≥3. Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bình luận

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 68 m. Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi và chiều dài lên gấp ba thì chu vi khu vườn mới là 178 m. Hãy tìm chiều dài, chiều rộng của khu vườn đã cho lúc ban đầu.

Cho hệ phương trình: {2x+y=3m−23x−y=2m+2 (m là tham số) (I) 1) Giải hệ phương trình đã cho khi m = −1. 2) Tìm m để hệ (I) có cặp nghiệm (x; y) duy nhất thỏa mãn: x2 + y2 = 10.

Cho P=(1x+1−1x+x):xx+2x+1 (với x > 0) 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tính giá trị của P khi x = 4. 3) Tìm giá trị của x để P>23.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x.y = 1.

Chứng minh rằng $\frac{4}{{(x + y)}^{2}} + x^{2} + y^{2} \geq 3$ . Đẳng thức xảy ra khi nào?

Cho hệ phương trình: ${\begin{cases} 2 x + y = 3 m - 2 \\ 3 x - y = 2 m + 2 \end{cases}$ (m là tham số) (I)

1) Giải hệ phương trình đã cho khi m = −1.

2) Tìm m để hệ (I) có cặp nghiệm (x; y) duy nhất thỏa mãn: x² + y² = 10.

Cho $P = (\frac{1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{x + \sqrt{x}}) : \frac{\sqrt{x}}{x + 2 \sqrt{x} + 1}$ (với x > 0)

1) Rút gọn biểu thức P.

2) Tính giá trị của P khi x = 4.

3) Tìm giá trị của x để $P > \frac{2}{3}$ .