Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Dây CD vuông góc với AB tại E (E nằm giữa A và O; E không trùng A, không trùng O). Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC sao cho cung MB nhỏ hơn cung MC. Dây AM cắt CD tại F. Tia BM cắt đường thẳng CD tại K.

1) Chứng minh tứ giác BMFE nội tiếp.

2) Chứng minh BF vuông góc với AK và EK.EF = EA.EB

3) Tiếp tuyến của (O) tại M cắt tia KD tại I. Chứng minh IK = IF.

1) Ta có: $\widehat{FEB}$= 90° (CE ⊥ AB)

$\widehat{FMB}$= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác BMFE có $\widehat{FEB}$+$\widehat{FMB}$= 90° + 90° = 180°

Suy ra tứ giác BMFE nội tiếp.

2) Ta có $\widehat{AMB}$= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra AM ⊥ MB

Xét tam giác AKB có:

KE ⊥ AB (giả thiết)

AM ⊥ KB (chứng minh trên)

Mà KE cắt AM tại F suy ra F là trực tâm của ∆AKB.

Suy ra BF ⊥ AK.

Xét ∆ AFE và ∆ KBE có:

$\widehat{AEF}\text{=}\widehat{KEB}$= 90° (KE ⊥ AB)

$\widehat{AFE}\text{=}\widehat{KBE}$ (tứ giác BMFE nội tiếp)

Suy ra ∆AFE  ∆KBE (g.g)

Từ đó suy ra $\frac{AE}{KE}=\frac{FE}{BE}\iff AE.BE=KE.EF$ (điều phải chứng minh)

3) Xét tam giác AOM có:

OA = OM = R suy ra ∆AOM cân tại O suy ra $\widehat{OMA}=\widehat{OAM}$ (1)

Ta có $\widehat{AMO}+\widehat{IMF}=\widehat{IMO}=90°\widehat{AMO}+\widehat{IMF}=\widehat{IMO}=90°$ (MI là tiếp tuyến của (O))

$\widehat{KMI}+\widehat{IMF}=\widehat{KMF}=90°$ (KM ⊥ FM)

Suy ra $\widehat{AMO}=\widehat{KMI}$ (2)

Mà ∆AFE  ∆KBE suy ra $\widehat{OAM}=\widehat{IKM}$ (hai góc tương ứng) (3)

Từ (1) (2) và (3) suy ra $\widehat{IMK}=\widehat{IKM}$

Suy ra tam giác IMK cân tại I suy ra IM = IK (4)

Xét ∆KMF vuông tại M ta có:

$\widehat{FKM}+\widehat{KFM}=90°$

$\widehat{KMI}+\widehat{IMF}=90°$

Mà $\widehat{IMK}=\widehat{IKM}$ (chứng minh trên)

Nên $\widehat{IMF}=\widehat{IFM}$ suy ra ∆IMF cân tại I suy ra IM = IF (5)

Từ (4) và (5) suy ra KI = IF (= IM) (điều phải chứng minh)