Câu hỏi:

08/07/2022 216

Trong mặt phẳng $(α)$ cho hai tia Ox, Oy và $∠ x O y = 60^{0} .$ Trên tia Oz vuông góc với mặt phẳng $(α)$ tại O, lấy điểm S sao cho SO = a. Gọi M, N là các điểm lần lượt di động trên hai tia Ox, Oy sao cho OM + ON = a (a > 0 và M, N khác O). Gọi H, K là hình chiếu vuông góc của O trên hai cạnh SM, SN. Mặt cầu ngoại tiếp đa diện MNHOK có diện tích nhỏ nhất bằng

A. $\frac{2 π a^{2}}{3}$

B. $π a^{2}$

C. $2 π a^{2}$

D. $\frac{π a^{2}}{3}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Trong mặt phẳng (anpha) cho hai tia Ox, Oy và góc xOy = 60 độ. Trên tia Oz vuông (ảnh 1)

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN, D' là điểm đối xứng với I qua O

Ta có:

$\{\begin{cases} D M ⊥ O M \\ D M ⊥ S O \end{cases} \Rightarrow D M ⊥ (S O M) \Rightarrow D M ⊥ O H$

$\{\begin{cases} O H ⊥ D M \\ O H ⊥ S M \end{cases} \Rightarrow O H ⊥ (S D M) \Rightarrow O H ⊥ H D$

$\Rightarrow ∠ O H D = 90^{0} \Rightarrow I O = I H = I D .$

Chứng minh tương tự ta có $O K ⊥ (S D N) \Rightarrow O K ⊥ K D \Rightarrow ∠ O K D = 90^{0} \Rightarrow I O = I K = I D .$

$\Rightarrow I O = I M = I N = I H = I K \Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện MNHOK.

Gọi P và Q là trung điểm OM và ON nên P và Q là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OHM và OKN.

Ta có bán kính mặt cầu này là:

$R = I O = R_{Δ O M N} = \frac{M N}{2 \sin ∠ M O N}$

$= \frac{\sqrt{O M^{2} + O N^{2} - 2 O M . O N . \cos O M N}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{O M^{2} + O N^{2} - O M . O N}}{\sqrt{3}}$

Ta có: $O M^{2} + O N^{2} - O M . O N = {(O M + O N)}^{2} - 3 O M . O N = a^{2} - 3 O M . O N$

Lại có $O M . O N \leq \frac{{(O M + O N)}^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{4}$ nên $O M^{2} + O N^{2} - O M . O N \geq a^{2} - 3 \frac{a^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{4} .$

Do đó ta có $R \geq \frac{\sqrt{\frac{a^{2}}{4}}}{\sqrt{3}} = \frac{a}{2 \sqrt{3}} .$

Vậy $S = 4 π R^{2} \geq 4 π . {(\frac{a}{2 \sqrt{3}})}^{2} = \frac{π a^{2}}{3} .$

Chọn D.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2; -5; 1) và song song với mặt phẳng (Oxz) có phương trình là

A. x + y + 3 = 0

B. x + z - 3 = 0

C. y + 5 = 0

C. x - 2 = 0

Lời giải

Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Oxz) nên có 1 vecto pháp tuyến là $\vec{n_{P}} = \vec{j} = (0; 1; 0) .$

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: $1 (y + 5) = 0 \Leftrightarrow y + 5 = 0.$

Chọn C.

Câu 2

Biết $\log_{7} 12 = a, \log_{12} 24 = b .$ Giá trị của $\log_{54} 168$ được tính theo a và b là

A. $\frac{a b + 1}{a (8 - 5 b)}$

B. $\frac{a b - 1}{a (8 - 5 b)}$

C. $\frac{2 a b + 1}{8 a - 5 b}$

D. $\frac{2 a b + 1}{8 a + 5 b}$

Lời giải

Ta có $T = \log_{54} 168 = \frac{\log_{7} 168}{\log_{7} 54} = \frac{\log_{7} ({3.7.2}^{3})}{\log_{7} ({2.3}^{3})}$

$\Rightarrow T = \frac{\log_{7} 3 + 1 + 3 \log_{7} 2}{\log_{7} 2 + 2 \log_{7} 3} .$

Ta có: $\{\begin{cases} \log_{7} 12 = a \\ \log_{12} 24 = b \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \log_{7} 3 + 2 \log_{7} 2 \\ a b = \log_{7} 24 = 3 \log_{7} 2 + \log_{7} 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 \log_{7} 3 + 6 \log_{7} 2 = 3 a \\ 6 \log_{7} 2 + 2 \log_{7} 3 = 2 a b \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \log_{7} 3 = 3 a - 2 a b \\ \log_{7} 2 = a b - a \end{cases}$

Vậy $T = \frac{3 a - 2 a b + 1 + 3 a b - 3 a}{a b - a + 8 a - 6 a b} = \frac{a b + 1}{a (8 - 5 b)} .$

Chọn A.

Câu 3

Cho $\int_{}^{} f (x) d x = 3 x^{2} + 2 x - 3 + C .$ Hỏi f(x) là hàm số nào?

A. f(x) = 6x + 2 + C

B. $f (x) = x^{3} + x^{2} - 3 x + C$

C. f(x) = 6x + 2

D. $f (x) = x^{3} + x^{2} - 3 x$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Điểm cực tiểu của hàm số y = f(3x) là

A. $x = \frac{2}{3}$

B. x = 2

C. y = -3

D. $x = - \frac{2}{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, biết điểm M(3; -5) là điểm biểu diễn số phức z. Phần ảo của số phức z + 2i bằng

A. -5

B. 2

C. -3

D. 5

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{3 x - 2}{4 - x}$ là

A. y = 2

B. $y = \frac{3}{4}$

C. y = - 3

D. x = -3

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hình nón có bán kính đáy r = 6 và chiều cao h = 8. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng

A. $120 π .$

B. $64 π .$

C. $60 π .$

D. $80 π .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2; -5; 1) và song song với mặt phẳng (Oxz) có phương trình là

Biết log712=a,log1224=b. Giá trị của log54168 được tính theo a và b là

Cho ∫fxdx=3x2+2x−3+C. Hỏi f(x) là hàm số nào?

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau: Điểm cực tiểu của hàm số y = f(3x) là

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, biết điểm M(3; -5) là điểm biểu diễn số phức z. Phần ảo của số phức z + 2i bằng

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=3x−24−x là

Cho hình nón có bán kính đáy r = 6 và chiều cao h = 8. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Biết $\log_{7} 12 = a, \log_{12} 24 = b .$ Giá trị của $\log_{54} 168$ được tính theo a và b là

Cho $\int_{}^{} f (x) d x = 3 x^{2} + 2 x - 3 + C .$ Hỏi f(x) là hàm số nào?

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Điểm cực tiểu của hàm số y = f(3x) là

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{3 x - 2}{4 - x}$ là