Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC. Các đường cao BE và CF của ∆ABC cắt nhau tại H.
1) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.
2) Chứng minh OA ⊥ EF.
3) Gọi M là trung điểm của BC, S là giao điểm của đường thẳng EF và BC. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh H, M, K thẳng hàng và chứng minh SH ⊥ AM.
Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC. Các đường cao BE và CF của ∆ABC cắt nhau tại H.
1) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.
2) Chứng minh OA ⊥ EF.
3) Gọi M là trung điểm của BC, S là giao điểm của đường thẳng EF và BC. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh H, M, K thẳng hàng và chứng minh SH ⊥ AM.
Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 có đáp án (Mới nhất) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
) Ta có (CF ⊥ AB)
(BE ⊥ AC)
Xét tứ giác BFEC có
Suy ra tứ giác BFEC nội tiếp.
2) Từ A kẻ tiếp tuyến Ax của (O)
Ta có (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung AB)
Mà (tứ giác FECB nội tiếp)
Suy ra Ax // FE (hai góc so le trong)
Mà Ax ⊥ AO (Ax là tiếp tuyến của (O))
Suy ra FE ⊥ OA (điều phải chứng minh)
3) Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét tứ giác BHCK có:
BH // CK (cúng vuông góc AC)
CH // BK (cùng vuông góc AB)
Suy ra tứ giác BHCK là hình bình hành
Tứ giác BHCK là hình bình hành có M là trung điểm BC
Suy ra M cũng là trung điểm HK suy ra M, H, K thẳng hàng
SA cắt đường tròn (O) tại N
Xét tứ giác nội tiếp BFEC có FE cắt BC tại S
Xét ∆SFB và ∆SCE có:
là góc chung
(tứ giác BFEC nội tiếp)
Suy ra ∆SFB 
∆SCE (g.g)
Suy ra
Tương tự tứ giác BNAC nội tiếp (O) có AN cắt CB tại S.
Suy ra SN.SA = SB.SC
Từ 2 điều trên suy ra SN.SA = SF.SE
Xét ∆SNF và ∆SEA có:
là góc chung
(chứng minh trên)
Do đó ∆SNF ∆SEA (c.g.c)
Suy ra .
Suy ra tứ giác ANFE nội tiếp (1)
Ta có (CF ⊥ AB)
(BE ⊥ AC)
Xét tứ giác AFHE có
Suy ra tứ giác AFHE nội tiếp. (2)
Từ (1) và (2) suy ra A, N, F, H, E nội tiếp cùng một đường tròn.
Có (BE ⊥ AC) AH là đường kính .
Suy ra (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
.
Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
.
Mà NH ⊥ SA (cmt).
Suy ra K, H, N thẳng hàng hay 4 điểm K, M, H, N thẳng hàng.
Suy ra MH ⊥ SA.
Xét tam giác ABC có H là giao điểm của 2 đường cao CF và BE.
Suy ra AH là dường cao thứ ba suy ra AH ⊥ BC hay AH ⊥ SM.
Xét tam giác ASM có:
MH ^ SA (cmt);
AH ^ SM (cmt).
Suy ra H là trực tâm của tam giác ASM.
Vậy SH ⊥ AM (điều phải chứng minh).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi x (sản phẩm) là số sản phẩm mà tổ I làm trong tháng đầu (0 < x < 600, x ∈ ℕ).
y (sản phẩm) là số sản phẩm mà tổ II làm trong tháng đầu (0 < y < 600, y ∈ ℕ).
Trong tháng đầu, hai tổ làm được 600 sản phẩm ta có:
x + y = 600 (sản phẩm) (1)
Số sản phẩm mà tổ I làm được trong tháng hai là:
x + 10%x = 1,1x (sản phẩm)
Số sản phẩm mà tổ II làm được trong tháng hai là:
y + 20%y = 1,2y (sản phẩm)
Tháng thứ hai cả hai tổ làm được 685 sản phẩm ta có:
1,1x + 1,2y = 685 (sản phẩm) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
(thỏa mãn)
Vậy trong tháng thứ nhất tổ I làm được 350 sản phẩm, tổ II làm được 250 sản phẩm.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
Xét S2 =
Vậy Max S
Dấu bằng xảy khi .
Mà x2 + y2 + z2 = 6 nên x = y = z = .
Do 1 ≤ x ≤ 2 Û 1 ≤ x2 ≤ 4 Û 3 ≥ 4 – x2 ≥ 0 .
Tương tự ta có: , .
Áp dụng tính chất: 0 ≤ a ≤ 1 thì .
Ta có:
.
Vậy Min S = khi (a; b; c) là hoán vị (2; 1; 1).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập
Hạnh Nguyên
Bài chứng minh này đã sử dụng các kiến thức đã giảm tải, không được sử dụng về tứ giác nội tiếp:
- Thứ nhất: không được sử dụng dấu hiệu nhận biết tgnt "tổng hai góc đối của tứ giác bằng 180 độ thì tg đó nội tiếp"
- Thứ hai: không được sử dụng dấu hiệu "góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối thì tg đó nội tiếp"
Mong nhận được cách chứng minh chỉ áp dụng kiến thức chương trình mới ạ