Câu hỏi:
13/07/2024 9,472
Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC. Các đường cao BE và CF của ∆ABC cắt nhau tại H.
1) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.
2) Chứng minh OA ⊥ EF.
3) Gọi M là trung điểm của BC, S là giao điểm của đường thẳng EF và BC. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh H, M, K thẳng hàng và chứng minh SH ⊥ AM.
Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC. Các đường cao BE và CF của ∆ABC cắt nhau tại H.
1) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.
2) Chứng minh OA ⊥ EF.
3) Gọi M là trung điểm của BC, S là giao điểm của đường thẳng EF và BC. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh H, M, K thẳng hàng và chứng minh SH ⊥ AM.
Câu hỏi trong đề:
Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 có đáp án (Mới nhất) !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
) Ta có (CF ⊥ AB)
(BE ⊥ AC)
Xét tứ giác BFEC có
Suy ra tứ giác BFEC nội tiếp.
2) Từ A kẻ tiếp tuyến Ax của (O)
Ta có (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung AB)
Mà (tứ giác FECB nội tiếp)
Suy ra Ax // FE (hai góc so le trong)
Mà Ax ⊥ AO (Ax là tiếp tuyến của (O))
Suy ra FE ⊥ OA (điều phải chứng minh)
3) Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét tứ giác BHCK có:
BH // CK (cúng vuông góc AC)
CH // BK (cùng vuông góc AB)
Suy ra tứ giác BHCK là hình bình hành
Tứ giác BHCK là hình bình hành có M là trung điểm BC
Suy ra M cũng là trung điểm HK suy ra M, H, K thẳng hàng
SA cắt đường tròn (O) tại N
Xét tứ giác nội tiếp BFEC có FE cắt BC tại S
Xét ∆SFB và ∆SCE có:
là góc chung
(tứ giác BFEC nội tiếp)
Suy ra ∆SFB 
∆SCE (g.g)
Suy ra
Tương tự tứ giác BNAC nội tiếp (O) có AN cắt CB tại S.
Suy ra SN.SA = SB.SC
Từ 2 điều trên suy ra SN.SA = SF.SE
Xét ∆SNF và ∆SEA có:
là góc chung
(chứng minh trên)
Do đó ∆SNF ∆SEA (c.g.c)
Suy ra .
Suy ra tứ giác ANFE nội tiếp (1)
Ta có (CF ⊥ AB)
(BE ⊥ AC)
Xét tứ giác AFHE có
Suy ra tứ giác AFHE nội tiếp. (2)
Từ (1) và (2) suy ra A, N, F, H, E nội tiếp cùng một đường tròn.
Có (BE ⊥ AC) AH là đường kính .
Suy ra (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
.
Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
.
Mà NH ⊥ SA (cmt).
Suy ra K, H, N thẳng hàng hay 4 điểm K, M, H, N thẳng hàng.
Suy ra MH ⊥ SA.
Xét tam giác ABC có H là giao điểm của 2 đường cao CF và BE.
Suy ra AH là dường cao thứ ba suy ra AH ⊥ BC hay AH ⊥ SM.
Xét tam giác ASM có:
MH ^ SA (cmt);
AH ^ SM (cmt).
Suy ra H là trực tâm của tam giác ASM.
Vậy SH ⊥ AM (điều phải chứng minh).
Nhà sách VIETJACK:
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Trong tháng đầu, hai tổ làm được 600 sản phẩm. Sang tháng thứ 2, tổ I vượt mức 10% và tổ II vượt mức 20% so với tháng đầu, do đó tháng thứ hai cả hai tổ làm được 685 sản phẩm. Hỏi tháng đầu, mỗi tổ làm được bao nhiêu sản phẩm?
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Trong tháng đầu, hai tổ làm được 600 sản phẩm. Sang tháng thứ 2, tổ I vượt mức 10% và tổ II vượt mức 20% so với tháng đầu, do đó tháng thứ hai cả hai tổ làm được 685 sản phẩm. Hỏi tháng đầu, mỗi tổ làm được bao nhiêu sản phẩm?
Xem đáp án »
13/07/2024
5,323
Câu 2:
Cho 1 ≤ x, y, z ≤ 2 và x2 + y2 + z2 = 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Cho 1 ≤ x, y, z ≤ 2 và x2 + y2 + z2 = 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Xem đáp án »
13/07/2024
1,971
Câu 3:
1) Trong cùng mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng
(d): y = x + 2. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (d). Vẽ (P) và (d).
2) Cho hệ phương trình
Tìm m để hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) mà cả x và y đều nhận giá trị nguyên.
1) Trong cùng mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng
(d): y = x + 2. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (d). Vẽ (P) và (d).
2) Cho hệ phương trình
Tìm m để hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) mà cả x và y đều nhận giá trị nguyên.
Xem đáp án »
13/07/2024
412
Câu 4:
Cho hai biểu thức và với x ≥ 0, x ≠ 4.
1) Tính giá trị của A khi x = 25.
2) Rút gọn biểu thức B.
3) Đặt P = A.B. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.
Cho hai biểu thức và với x ≥ 0, x ≠ 4.
1) Tính giá trị của A khi x = 25.
2) Rút gọn biểu thức B.
3) Đặt P = A.B. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.
Xem đáp án »
13/07/2024
371
🔥 Đề thi HOT:
-
Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 03
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 02
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luậnHạnh Nguyên
23:24 - 08/04/2025
Bài chứng minh này đã sử dụng các kiến thức đã giảm tải, không được sử dụng về tứ giác nội tiếp:
- Thứ nhất: không được sử dụng dấu hiệu nhận biết tgnt "tổng hai góc đối của tứ giác bằng 180 độ thì tg đó nội tiếp"
- Thứ hai: không được sử dụng dấu hiệu "góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối thì tg đó nội tiếp"
Mong nhận được cách chứng minh chỉ áp dụng kiến thức chương trình mới ạ