Cho 1 ≤ x, y, z ≤ 2 và x2 + y2 + z2 = 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=4−x2+4−y2+4−z2.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: Xét S2 = 1.4−x2+1.4−y2+1.4−z22 ≤Bunhia12+12+124−x22+4−y22+4−z22≤Bunhia12+12+124−x22+4−y22+4−z22=3.4+4+4−x2+y2+z2=3.12−6=18⇒S≤18=32 Vậy Max S =32 Dấu bằng xảy khi 4−x21=4−y21=4−z21⇔x=y=z. Mà x2 + y2 + z2 = 6 nên x = y = z = 2. Do 1 ≤ x ≤ 2 Û 1 ≤ x2 ≤ 4 Û 3 ≥ 4 – x2 ≥ 0 . Tương tự ta có:1≥4−y23≥0, 1≥4−z23≥0 , . Áp dụng tính chất: 0 ≤ a ≤ 1 thì a≥a. Ta có: S=34−x23+4−y23+4−z23 ≥34−x23+4−y23+4−z23=312−x2+y2+z23=23 . Vậy Min S = 23khi (a; b; c) là hoán vị (2; 1; 1).

Câu hỏi:

19/08/2025 3,237

Cho 1 ≤ x, y, z ≤ 2 và x² + y² + z² = 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = \sqrt{4 - x^{2}} + \sqrt{4 - y^{2}} + \sqrt{4 - z^{2}}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 có đáp án (Mới nhất) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

Xét S² = ${(1. \sqrt{4 - x^{2}} + 1. \sqrt{4 - y^{2}} + 1. \sqrt{4 - z^{2}})}^{2}$

$\leq^{B u n h i a} (1^{2} + 1^{2} + 1^{2}) ({\sqrt{4 - x^{2}}}^{2} + {\sqrt{4 - y^{2}}}^{2} + {\sqrt{4 - z^{2}}}^{2}) \leq^{B u n h i a} (1^{2} + 1^{2} + 1^{2}) ({\sqrt{4 - x^{2}}}^{2} + {\sqrt{4 - y^{2}}}^{2} + {\sqrt{4 - z^{2}}}^{2}) = 3. [4 + 4 + 4 - (x^{2} + y^{2} + z^{2})] = 3. (12 - 6) = 18 \Rightarrow S \leq \sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$

Vậy Max S $= 3 \sqrt{2}$

Dấu bằng xảy khi $\frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{1} = \frac{\sqrt{4 - y^{2}}}{1} = \frac{\sqrt{4 - z^{2}}}{1} \Leftrightarrow x = y = z$ .

Mà x² + y² + z² = 6 nên x = y = z = $\sqrt{2}$ .

Do 1 ≤ x ≤ 2 Û 1 ≤ x² ≤ 4 Û 3 ≥ 4 – x² ≥ 0 .

Tương tự ta có: $1 \geq \frac{4 - y^{2}}{3} \geq 0, 1 \geq \frac{4 - z^{2}}{3} \geq 0$ , .

Áp dụng tính chất: 0 ≤ a ≤ 1 thì $\sqrt{a} \geq a$ .

Ta có: $S = \sqrt{3} (\sqrt{\frac{4 - x^{2}}{3}} + \sqrt{\frac{4 - y^{2}}{3}} + \sqrt{\frac{4 - z^{2}}{3}})$

$\geq \sqrt{3} (\frac{4 - x^{2}}{3} + \frac{4 - y^{2}}{3} + \frac{4 - z^{2}}{3}) = \sqrt{3} (\frac{12 - (x^{2} + y^{2} + z^{2})}{3}) = 2 \sqrt{3}$

Vậy Min S = $2 \sqrt{3}$ khi (a; b; c) là hoán vị (2; 1; 1).

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi cuối kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Dành cho bạn Hot

Học trực tuyến Lớp 9 → 10.847 đề thi · 1.117 bài giảng

Lớp 9 Văn

148 người thi tuần này

12 câu Trắc nghiệm Vài nét về tác giả Nguyễn Dữ (có đáp án)

12 câu 3.7 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 9 Toán

1,464 người thi tuần này

Trắc nghiệm Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 9 (có đáp án - phần 1)

15 câu 22.9 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 9 Hóa học

57 người thi tuần này

Trắc nghiệm Hóa 9 Bài 24 (có đáp án): Ôn tập học kì 1

12 câu 3.3 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 9 Tiếng Anh

1,113 người thi tuần này

Trắc nghiệm Tiếng Anh 9 Global Success Unit 4 Vocabulary and Grammar (có đáp án)

20 câu 2.1 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 9 Khoa học tự nhiên

184 người thi tuần này

Trắc nghiệm Tái bản DNA và phiên mã tạo RNA lớp 9 (có đáp án)

14 câu 1.7 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 9 Lịch sử

205 người thi tuần này

28 câu Trắc nghiệm Lịch sử 9 Bài 3 có đúng sai, trả lời ngắn (mới nhất)

28 câu 1.8 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 9 Giáo dục công dân

179 người thi tuần này

15 câu trắc nghiệm GDCD 9 Kết nối tri thức Bài 2 có đáp án

15 câu 1.1 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 9 Tin học

126 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Tin học 9 năm 2025-2026 THCS Quế Thuận (Đà Nẵng) có đáp án

18 câu 1.2 K lượt thi Thi ngay →

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC. Các đường cao BE và CF của ∆ABC cắt nhau tại H.

1) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.

2) Chứng minh OA ⊥ EF.

3) Gọi M là trung điểm của BC, S là giao điểm của đường thẳng EF và BC. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh H, M, K thẳng hàng và chứng minh SH ⊥ AM.

Xem đáp án

Lời giải

Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC. Các đườ (ảnh 1)

) Ta có $\hat{B F C} = 90 °$ (CF ⊥ AB)

$\hat{B E C} = 90 °$ (BE ⊥ AC)

Xét tứ giác BFEC có $\hat{B F C} = \hat{B E C} = 90 °$

Suy ra tứ giác BFEC nội tiếp.

2) Từ A kẻ tiếp tuyến Ax của (O)

Ta có $\hat{x A B} = \hat{A C B}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung AB)

Mà $\hat{A C B} = \hat{A F E}$ (tứ giác FECB nội tiếp)

Suy ra $\hat{x A B} = \hat{A F E \Rightarrow}$ Ax // FE (hai góc so le trong)

Mà Ax ⊥ AO (Ax là tiếp tuyến của (O))

Suy ra FE ⊥ OA (điều phải chứng minh)

3) Ta có: $\hat{A C K} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow B K ⊥ A B$

$\hat{A B K} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow B K ⊥ A B$

Xét tứ giác BHCK có:

BH // CK (cúng vuông góc AC)

CH // BK (cùng vuông góc AB)

Suy ra tứ giác BHCK là hình bình hành

Tứ giác BHCK là hình bình hành có M là trung điểm BC

Suy ra M cũng là trung điểm HK suy ra M, H, K thẳng hàng

SA cắt đường tròn (O) tại N

Xét tứ giác nội tiếp BFEC có FE cắt BC tại S

Xét ∆SFB và ∆SCE có:

$\hat{E S C}$ là góc chung

$\hat{S F B} = \hat{S C E}$ (tứ giác BFEC nội tiếp)

Suy ra ∆SFB ∆SCE (g.g)

Suy ra $\frac{S F}{S C} = \frac{S B}{S E} \Leftrightarrow S F . S E = S B . S C$

Tương tự tứ giác BNAC nội tiếp (O) có AN cắt CB tại S.

Suy ra SN.SA = SB.SC

Từ 2 điều trên suy ra SN.SA = SF.SE

Xét ∆SNF và ∆SEA có:

$\hat{A S E}$ là góc chung

$\frac{S N}{S E} = \frac{S F}{S A}$ (chứng minh trên)

Do đó ∆SNF ∆SEA (c.g.c)

Suy ra $\hat{S N F} = \hat{S E A}$ .

Suy ra tứ giác ANFE nội tiếp (1)

Ta có $\hat{A F H} = 90 °$ (CF ⊥ AB)

$\hat{A E H} = 90 °$ (BE ⊥ AC)

Xét tứ giác AFHE có $\hat{A F H} + \hat{A E H} = 90 ° + 90 ° = 180 °$

Suy ra tứ giác AFHE nội tiếp. (2)

Từ (1) và (2) suy ra A, N, F, H, E nội tiếp cùng một đường tròn.

Có $\hat{A E H} = 90 °$ (BE ⊥ AC) AH là đường kính .

Suy ra $\hat{A N H} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow N H ⊥ S A$ .

Ta có $\hat{K N A} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow K N ⊥ S A$ .

Mà NH ⊥ SA (cmt).

Suy ra K, H, N thẳng hàng hay 4 điểm K, M, H, N thẳng hàng.

Suy ra MH ⊥ SA.

Xét tam giác ABC có H là giao điểm của 2 đường cao CF và BE.

Suy ra AH là dường cao thứ ba suy ra AH ⊥ BC hay AH ⊥ SM.

Xét tam giác ASM có:

MH ^ SA (cmt);

AH ^ SM (cmt).

Suy ra H là trực tâm của tam giác ASM.

Vậy SH ⊥ AM (điều phải chứng minh).

Câu 2

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Trong tháng đầu, hai tổ làm được 600 sản phẩm. Sang tháng thứ 2, tổ I vượt mức 10% và tổ II vượt mức 20% so với tháng đầu, do đó tháng thứ hai cả hai tổ làm được 685 sản phẩm. Hỏi tháng đầu, mỗi tổ làm được bao nhiêu sản phẩm?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi x (sản phẩm) là số sản phẩm mà tổ I làm trong tháng đầu (0 < x < 600, x ∈ ℕ).

y (sản phẩm) là số sản phẩm mà tổ II làm trong tháng đầu (0 < y < 600, y ∈ ℕ).

Trong tháng đầu, hai tổ làm được 600 sản phẩm ta có:

x + y = 600 (sản phẩm) (1)

Số sản phẩm mà tổ I làm được trong tháng hai là:

x + 10%x = 1,1x (sản phẩm)

Số sản phẩm mà tổ II làm được trong tháng hai là:

y + 20%y = 1,2y (sản phẩm)

Tháng thứ hai cả hai tổ làm được 685 sản phẩm ta có:

1,1x + 1,2y = 685 (sản phẩm) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{cases} x + y = 600 \\ 1, 1 x + 1, 2 y = 685 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 600 - y \\ 1, 1 (600 - y) + 1, 2 y = 685 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 600 - y \\ 660 - 1, 1 y + 1, 2 y = 685 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 600 - y \\ 0, 1 y = 25 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 350 \\ y = 250 \end{cases}$ (thỏa mãn)

Vậy trong tháng thứ nhất tổ I làm được 350 sản phẩm, tổ II làm được 250 sản phẩm.

Câu 3

Cho hai biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 4}$ và $B = \frac{18 - \sqrt{x}}{x - 4} + \frac{4}{2 - \sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 2}$ với x ≥ 0, x ≠ 4.

1) Tính giá trị của A khi x = 25.

2) Rút gọn biểu thức B.

3) Đặt P = A.B. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

1) Trong cùng mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x² và đường thẳng

(d): y = x + 2. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (d). Vẽ (P) và (d).

2) Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} m x + y = 2 m \\ x + m y = m + 1 \end{cases}$

Tìm m để hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) mà cả x và y đều nhận giá trị nguyên.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho 1 ≤ x, y, z ≤ 2 và x² + y² + z² = 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = \sqrt{4 - x^{2}} + \sqrt{4 - y^{2}} + \sqrt{4 - z^{2}}$ .