Cho 1 ≤ x, y, z ≤ 2 và x2 + y2 + z2 = 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=4−x2+4−y2+4−z2.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: Xét S2 = 1.4−x2+1.4−y2+1.4−z22 ≤Bunhia12+12+124−x22+4−y22+4−z22≤Bunhia12+12+124−x22+4−y22+4−z22=3.4+4+4−x2+y2+z2=3.12−6=18⇒S≤18=32 Vậy Max S =32 Dấu bằng xảy khi 4−x21=4−y21=4−z21⇔x=y=z. Mà x2 + y2 + z2 = 6 nên x = y = z = 2. Do 1 ≤ x ≤ 2 Û 1 ≤ x2 ≤ 4 Û 3 ≥ 4 – x2 ≥ 0 . Tương tự ta có:1≥4−y23≥0, 1≥4−z23≥0 , . Áp dụng tính chất: 0 ≤ a ≤ 1 thì a≥a. Ta có: S=34−x23+4−y23+4−z23 ≥34−x23+4−y23+4−z23=312−x2+y2+z23=23 . Vậy Min S = 23khi (a; b; c) là hoán vị (2; 1; 1).

Câu hỏi:

13/07/2024 2,092

Cho 1 ≤ x, y, z ≤ 2 và x² + y² + z² = 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = \sqrt{4 - x^{2}} + \sqrt{4 - y^{2}} + \sqrt{4 - z^{2}}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

Xét S² = ${(1. \sqrt{4 - x^{2}} + 1. \sqrt{4 - y^{2}} + 1. \sqrt{4 - z^{2}})}^{2}$

$\leq^{B u n h i a} (1^{2} + 1^{2} + 1^{2}) ({\sqrt{4 - x^{2}}}^{2} + {\sqrt{4 - y^{2}}}^{2} + {\sqrt{4 - z^{2}}}^{2}) \leq^{B u n h i a} (1^{2} + 1^{2} + 1^{2}) ({\sqrt{4 - x^{2}}}^{2} + {\sqrt{4 - y^{2}}}^{2} + {\sqrt{4 - z^{2}}}^{2}) = 3. [4 + 4 + 4 - (x^{2} + y^{2} + z^{2})] = 3. (12 - 6) = 18 \Rightarrow S \leq \sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$

Vậy Max S $= 3 \sqrt{2}$

Dấu bằng xảy khi $\frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{1} = \frac{\sqrt{4 - y^{2}}}{1} = \frac{\sqrt{4 - z^{2}}}{1} \Leftrightarrow x = y = z$ .

Mà x² + y² + z² = 6 nên x = y = z = $\sqrt{2}$ .

Do 1 ≤ x ≤ 2 Û 1 ≤ x² ≤ 4 Û 3 ≥ 4 – x² ≥ 0 .

Tương tự ta có: $1 \geq \frac{4 - y^{2}}{3} \geq 0, 1 \geq \frac{4 - z^{2}}{3} \geq 0$ , .

Áp dụng tính chất: 0 ≤ a ≤ 1 thì $\sqrt{a} \geq a$ .

Ta có: $S = \sqrt{3} (\sqrt{\frac{4 - x^{2}}{3}} + \sqrt{\frac{4 - y^{2}}{3}} + \sqrt{\frac{4 - z^{2}}{3}})$

$\geq \sqrt{3} (\frac{4 - x^{2}}{3} + \frac{4 - y^{2}}{3} + \frac{4 - z^{2}}{3}) = \sqrt{3} (\frac{12 - (x^{2} + y^{2} + z^{2})}{3}) = 2 \sqrt{3}$

Vậy Min S = $2 \sqrt{3}$ khi (a; b; c) là hoán vị (2; 1; 1).

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC. Các đường cao BE và CF của ∆ABC cắt nhau tại H.

1) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.

2) Chứng minh OA ⊥ EF.

3) Gọi M là trung điểm của BC, S là giao điểm của đường thẳng EF và BC. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh H, M, K thẳng hàng và chứng minh SH ⊥ AM.

Xem đáp án

Lời giải

Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC. Các đườ (ảnh 1)

) Ta có $\hat{B F C} = 90 °$ (CF ⊥ AB)

$\hat{B E C} = 90 °$ (BE ⊥ AC)

Xét tứ giác BFEC có $\hat{B F C} = \hat{B E C} = 90 °$

Suy ra tứ giác BFEC nội tiếp.

2) Từ A kẻ tiếp tuyến Ax của (O)

Ta có $\hat{x A B} = \hat{A C B}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung AB)

Mà $\hat{A C B} = \hat{A F E}$ (tứ giác FECB nội tiếp)

Suy ra $\hat{x A B} = \hat{A F E \Rightarrow}$ Ax // FE (hai góc so le trong)

Mà Ax ⊥ AO (Ax là tiếp tuyến của (O))

Suy ra FE ⊥ OA (điều phải chứng minh)

3) Ta có: $\hat{A C K} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow B K ⊥ A B$

$\hat{A B K} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow B K ⊥ A B$

Xét tứ giác BHCK có:

BH // CK (cúng vuông góc AC)

CH // BK (cùng vuông góc AB)

Suy ra tứ giác BHCK là hình bình hành

Tứ giác BHCK là hình bình hành có M là trung điểm BC

Suy ra M cũng là trung điểm HK suy ra M, H, K thẳng hàng

SA cắt đường tròn (O) tại N

Xét tứ giác nội tiếp BFEC có FE cắt BC tại S

Xét ∆SFB và ∆SCE có:

$\hat{E S C}$ là góc chung

$\hat{S F B} = \hat{S C E}$ (tứ giác BFEC nội tiếp)

Suy ra ∆SFB ∆SCE (g.g)

Suy ra $\frac{S F}{S C} = \frac{S B}{S E} \Leftrightarrow S F . S E = S B . S C$

Tương tự tứ giác BNAC nội tiếp (O) có AN cắt CB tại S.

Suy ra SN.SA = SB.SC

Từ 2 điều trên suy ra SN.SA = SF.SE

Xét ∆SNF và ∆SEA có:

$\hat{A S E}$ là góc chung

$\frac{S N}{S E} = \frac{S F}{S A}$ (chứng minh trên)

Do đó ∆SNF ∆SEA (c.g.c)

Suy ra $\hat{S N F} = \hat{S E A}$ .

Suy ra tứ giác ANFE nội tiếp (1)

Ta có $\hat{A F H} = 90 °$ (CF ⊥ AB)

$\hat{A E H} = 90 °$ (BE ⊥ AC)

Xét tứ giác AFHE có $\hat{A F H} + \hat{A E H} = 90 ° + 90 ° = 180 °$

Suy ra tứ giác AFHE nội tiếp. (2)

Từ (1) và (2) suy ra A, N, F, H, E nội tiếp cùng một đường tròn.

Có $\hat{A E H} = 90 °$ (BE ⊥ AC) AH là đường kính .

Suy ra $\hat{A N H} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow N H ⊥ S A$ .

Ta có $\hat{K N A} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow K N ⊥ S A$ .

Mà NH ⊥ SA (cmt).

Suy ra K, H, N thẳng hàng hay 4 điểm K, M, H, N thẳng hàng.

Suy ra MH ⊥ SA.

Xét tam giác ABC có H là giao điểm của 2 đường cao CF và BE.

Suy ra AH là dường cao thứ ba suy ra AH ⊥ BC hay AH ⊥ SM.

Xét tam giác ASM có:

MH ^ SA (cmt);

AH ^ SM (cmt).

Suy ra H là trực tâm của tam giác ASM.

Vậy SH ⊥ AM (điều phải chứng minh).

Câu 2

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Trong tháng đầu, hai tổ làm được 600 sản phẩm. Sang tháng thứ 2, tổ I vượt mức 10% và tổ II vượt mức 20% so với tháng đầu, do đó tháng thứ hai cả hai tổ làm được 685 sản phẩm. Hỏi tháng đầu, mỗi tổ làm được bao nhiêu sản phẩm?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi x (sản phẩm) là số sản phẩm mà tổ I làm trong tháng đầu (0 < x < 600, x ∈ ℕ).

y (sản phẩm) là số sản phẩm mà tổ II làm trong tháng đầu (0 < y < 600, y ∈ ℕ).

Trong tháng đầu, hai tổ làm được 600 sản phẩm ta có:

x + y = 600 (sản phẩm) (1)

Số sản phẩm mà tổ I làm được trong tháng hai là:

x + 10%x = 1,1x (sản phẩm)

Số sản phẩm mà tổ II làm được trong tháng hai là:

y + 20%y = 1,2y (sản phẩm)

Tháng thứ hai cả hai tổ làm được 685 sản phẩm ta có:

1,1x + 1,2y = 685 (sản phẩm) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{cases} x + y = 600 \\ 1, 1 x + 1, 2 y = 685 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 600 - y \\ 1, 1 (600 - y) + 1, 2 y = 685 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 600 - y \\ 660 - 1, 1 y + 1, 2 y = 685 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 600 - y \\ 0, 1 y = 25 \end{cases}$