Cho 1 ≤ x, y, z ≤ 2 và x2 + y2 + z2 = 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=4−x2+4−y2+4−z2.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: Xét S2 = 1.4−x2+1.4−y2+1.4−z22 ≤Bunhia12+12+124−x22+4−y22+4−z22≤Bunhia12+12+124−x22+4−y22+4−z22=3.4+4+4−x2+y2+z2=3.12−6=18⇒S≤18=32 Vậy Max S =32 Dấu bằng xảy khi 4−x21=4−y21=4−z21⇔x=y=z. Mà x2 + y2 + z2 = 6 nên x = y = z = 2. Do 1 ≤ x ≤ 2 Û 1 ≤ x2 ≤ 4 Û 3 ≥ 4 – x2 ≥ 0 . Tương tự ta có:1≥4−y23≥0, 1≥4−z23≥0 , . Áp dụng tính chất: 0 ≤ a ≤ 1 thì a≥a. Ta có: S=34−x23+4−y23+4−z23 ≥34−x23+4−y23+4−z23=312−x2+y2+z23=23 . Vậy Min S = 23khi (a; b; c) là hoán vị (2; 1; 1).

Câu hỏi:

13/07/2024 1,970

Cho 1 ≤ x, y, z ≤ 2 và x² + y² + z² = 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = \sqrt{4 - x^{2}} + \sqrt{4 - y^{2}} + \sqrt{4 - z^{2}}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 có đáp án (Mới nhất) !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

Xét S² = ${(1. \sqrt{4 - x^{2}} + 1. \sqrt{4 - y^{2}} + 1. \sqrt{4 - z^{2}})}^{2}$

$\leq^{B u n h i a} (1^{2} + 1^{2} + 1^{2}) ({\sqrt{4 - x^{2}}}^{2} + {\sqrt{4 - y^{2}}}^{2} + {\sqrt{4 - z^{2}}}^{2}) \leq^{B u n h i a} (1^{2} + 1^{2} + 1^{2}) ({\sqrt{4 - x^{2}}}^{2} + {\sqrt{4 - y^{2}}}^{2} + {\sqrt{4 - z^{2}}}^{2}) = 3. [4 + 4 + 4 - (x^{2} + y^{2} + z^{2})] = 3. (12 - 6) = 18 \Rightarrow S \leq \sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$

Vậy Max S $= 3 \sqrt{2}$

Dấu bằng xảy khi $\frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{1} = \frac{\sqrt{4 - y^{2}}}{1} = \frac{\sqrt{4 - z^{2}}}{1} \Leftrightarrow x = y = z$ .

Mà x² + y² + z² = 6 nên x = y = z = $\sqrt{2}$ .

Do 1 ≤ x ≤ 2 Û 1 ≤ x² ≤ 4 Û 3 ≥ 4 – x² ≥ 0 .

Tương tự ta có: $1 \geq \frac{4 - y^{2}}{3} \geq 0, 1 \geq \frac{4 - z^{2}}{3} \geq 0$ , .

Áp dụng tính chất: 0 ≤ a ≤ 1 thì $\sqrt{a} \geq a$ .

Ta có: $S = \sqrt{3} (\sqrt{\frac{4 - x^{2}}{3}} + \sqrt{\frac{4 - y^{2}}{3}} + \sqrt{\frac{4 - z^{2}}{3}})$

$\geq \sqrt{3} (\frac{4 - x^{2}}{3} + \frac{4 - y^{2}}{3} + \frac{4 - z^{2}}{3}) = \sqrt{3} (\frac{12 - (x^{2} + y^{2} + z^{2})}{3}) = 2 \sqrt{3}$

Vậy Min S = $2 \sqrt{3}$ khi (a; b; c) là hoán vị (2; 1; 1).

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Sách Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Toán VietJack

Đã bán 261

₫ 195.000 ₫ 95.000

Hà Nội

Sách Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Ngữ Văn VietJack

Đã bán 111

₫ 180.000 ₫ 97.000

Hà Nội

Sách Lớp 9 - Siêu trọng tâm Toán, Văn, Anh VietJack

Đã bán 411

₫ 180.000 ₫ 970.000

Hà Nội

Sách Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Tiếng Anh VietJack

Đã bán 1k

₫ 180.000 ₫ 97.000

Hà Nội

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC. Các đường cao BE và CF của ∆ABC cắt nhau tại H.

1) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.

2) Chứng minh OA ⊥ EF.

3) Gọi M là trung điểm của BC, S là giao điểm của đường thẳng EF và BC. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh H, M, K thẳng hàng và chứng minh SH ⊥ AM.

Xem đáp án » 13/07/2024 9,470

Câu 2:

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Trong tháng đầu, hai tổ làm được 600 sản phẩm. Sang tháng thứ 2, tổ I vượt mức 10% và tổ II vượt mức 20% so với tháng đầu, do đó tháng thứ hai cả hai tổ làm được 685 sản phẩm. Hỏi tháng đầu, mỗi tổ làm được bao nhiêu sản phẩm?

Xem đáp án » 13/07/2024 5,322

Câu 3:

1) Trong cùng mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x² và đường thẳng

(d): y = x + 2. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (d). Vẽ (P) và (d).

2) Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} m x + y = 2 m \\ x + m y = m + 1 \end{cases}$

Tìm m để hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) mà cả x và y đều nhận giá trị nguyên.

Xem đáp án » 13/07/2024 411

Câu 4:

Cho hai biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 4}$ và $B = \frac{18 - \sqrt{x}}{x - 4} + \frac{4}{2 - \sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 2}$ với x ≥ 0, x ≠ 4.

1) Tính giá trị của A khi x = 25.

2) Rút gọn biểu thức B.

3) Đặt P = A.B. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.

Xem đáp án » 13/07/2024 370

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho 1 ≤ x, y, z ≤ 2 và x2 + y2 + z2 = 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=4−x2+4−y2+4−z2.

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho hai biểu thức A=x+1x−4 và B=18−xx−4+42−x+x+3x+2với x ≥ 0, x ≠ 4. 1) Tính giá trị của A khi x = 25. 2) Rút gọn biểu thức B. 3) Đặt P = A.B. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho 1 ≤ x, y, z ≤ 2 và x² + y² + z² = 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = \sqrt{4 - x^{2}} + \sqrt{4 - y^{2}} + \sqrt{4 - z^{2}}$ .