Câu hỏi:

13/07/2024 325

Cho hai biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 4}$ và $B = \frac{18 - \sqrt{x}}{x - 4} + \frac{4}{2 - \sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 2}$ với x ≥ 0, x ≠ 4.

1) Tính giá trị của A khi x = 25.

2) Rút gọn biểu thức B.

3) Đặt P = A.B. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 có đáp án (Mới nhất) !!

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 110k).

20 đề Toán 20 đề Văn Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

1) Khi x = 25 (TMĐK) ta có:

$A = \frac{\sqrt{25} + 1}{25 - 4} = \frac{5 + 1}{21} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$ .

Vậy giá trị của A khi x = 25 là $A = \frac{2}{7}$ .

2) $B = \frac{18 - \sqrt{x}}{x - 4} + \frac{4}{2 - \sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 2}$

$= \frac{18 - \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} - \frac{4}{\sqrt{x} - 2} + \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 2}$

$= \frac{18 - \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)} - \frac{4 (\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)} + \frac{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)}$

$= \frac{18 - \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)} - \frac{4 \sqrt{x} + 8}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)} + \frac{x + \sqrt{x} - 6}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)}$

$= \frac{18 - \sqrt{x} - 4 \sqrt{x} - 8 + x + \sqrt{x} - 6}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)}$

$= \frac{x - 4 \sqrt{x} + 4}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)}$

$= \frac{{(\sqrt{x} - 2)}^{2}}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)}$ .

3) P = A.B $= \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 4} . \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2}$

$= \frac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} . \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2}$

= $= \frac{\sqrt{x} + 1}{{(\sqrt{x} + 2)}^{2}} = \frac{\sqrt{x} + 1}{x + 4 \sqrt{x} + 4}$

$= \frac{\frac{1}{4} x + \sqrt{x} + 1 - \frac{1}{4} x}{x + 4 \sqrt{x} + 4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{(\sqrt{x} + 2)}^{2}}$

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} . {(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2})}^{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} {(1 - \frac{2}{\sqrt{x} + 2})}^{2}$

Ta có $\sqrt{x} \geq 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} + 2 \geq 2$

$\Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{x} + 2} \leq \frac{2}{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \geq - 1$

$\Leftrightarrow 1 - \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \geq 1 - 1 = 0$

$\Leftrightarrow {(1 - \frac{1}{\sqrt{x} + 2})}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{4} {(1 - \frac{1}{\sqrt{x} + 2})}^{2} \leq 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{4} {(1 - \frac{1}{\sqrt{x} + 2})}^{2} \leq 0 \Leftrightarrow P = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} {(1 - \frac{1}{\sqrt{x} + 2})}^{2} \leq \frac{1}{4}$ .

Vậy giá trị lớn nhất của P là $\frac{1}{4}$ . Dấu bằng xảy ra khi $\sqrt{x} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC. Các đường cao BE và CF của ∆ABC cắt nhau tại H.

1) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.

2) Chứng minh OA ⊥ EF.

3) Gọi M là trung điểm của BC, S là giao điểm của đường thẳng EF và BC. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh H, M, K thẳng hàng và chứng minh SH ⊥ AM.

Xem đáp án » 13/07/2024 7,288

Câu 2:

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Trong tháng đầu, hai tổ làm được 600 sản phẩm. Sang tháng thứ 2, tổ I vượt mức 10% và tổ II vượt mức 20% so với tháng đầu, do đó tháng thứ hai cả hai tổ làm được 685 sản phẩm. Hỏi tháng đầu, mỗi tổ làm được bao nhiêu sản phẩm?

Xem đáp án » 13/07/2024 4,381

Câu 3:

Cho 1 ≤ x, y, z ≤ 2 và x² + y² + z² = 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = \sqrt{4 - x^{2}} + \sqrt{4 - y^{2}} + \sqrt{4 - z^{2}}$ .

Xem đáp án » 13/07/2024 1,731

Câu 4:

1) Trong cùng mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x² và đường thẳng

(d): y = x + 2. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (d). Vẽ (P) và (d).

2) Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} m x + y = 2 m \\ x + m y = m + 1 \end{cases}$

Tìm m để hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) mà cả x và y đều nhận giá trị nguyên.

Xem đáp án » 13/07/2024 316

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.