Cho hàm số bậc bốn y = f(x). Biết rằng hàm số g(x) = ln f(x) có bảng biến thiên như sau

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f'(x) và y = g'(x) thuộc khoảng nào dưới đây?

Đáp án đúng là: A

Từ bảng biến thiên của g(x) ta có ln f(x) ≥ ln 4 Û f(x) ≥ 4; ∀x Î ℝ.

Ta có g'(x) = $\frac{f\text{'}\left(x\right)}{f\left(x\right)}$.

Xét phương trình f'(x) = g'(x) Û f'(x) = $\frac{f\text{'}\left(x\right)}{f\left(x\right)}$.

Û $\left[\begin{array}{c}f\text{'}\left(x\right)=0(*)\\ f\left(x\right)=1(**)\end{array}\right.$

Do f(x) ≥ 4; ∀x Î ℝ nên phương trình (**) vô nghiệm.

Từ đó suy ra f'(x) = 0 Û g'(x) = 0 Û $\left[\begin{array}{c}x=x_1\\ x=x_2\\ x=x_3\end{array}\right.$.

Mặt khác f'(x) – g'(x) = f'(x).$\left[1-\frac{1}{f\left(x\right)}\right]$.

Ta có bảng xét dấu

Vậy S = $\underset{x_1}{\overset{x_3}{\int }}\left|f\text{'}\left(x\right)-g\text{'}\left(x\right)\right|dx=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}\left[f\text{'}\left(x\right)-g\text{'}\left(x\right)\right]dx-\underset{x_2}{\overset{x_3}{\int }}\left[f\text{'}\left(x\right)-g\text{'}\left(x\right)\right]dx$

= $\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]\left|\begin{array}{c}{x}_2\\ x_1\end{array}-\right.\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]\left|\begin{array}{c}{x}_3\\ x_2\end{array}\right.$

= f(x₂) – g(x₂) – f(x₁) + g(x₁) – f(x₃) + g(x₃) + f(x₂) – g(x₂)

= 2f(x₂) – f(x₁) – f(x₃) – 2ln f(x₂) + ln f(x₁) + ln f(x₃)

= 2.$\frac{199}{16}$−12 – 4 – 2ln$\frac{199}{16}$+ ln 12 + ln 4 ≈ 7,704 Î (7; 8).