Có bao nhiêu số phức z thoả $\left|z^2\right|=2\left|z-\overline{z}\right|$ và $\left|\left(z+4\right)\left(\overline{z}+4i\right)\right|={\left|z-4i\right|}^2$.

Đáp án đúng là: A

Gọi z = a + bi, a, b Î ℝ

Þ $\overline{z}$ = a – bi

Þ z – $\overline{z}$ = 2bi

Þ |z –$\overline{z}$ | = $\sqrt{{\left(2b\right)}^2}=2\left|b\right|$

Ta có:

• $\left|z^2\right|=2\left|z-\overline{z}\right|$ Û a² + b² = 4|b| (1).

• $\left|\left(z+4\right)\left(\overline{z}+4i\right)\right|={\left|z-4i\right|}^2$ 

Û $\left|z+4\right|\left|\overline{z}+4i\right|={\left|z-4i\right|}^2$

Û |a + bi + 4|.|a – bi + 4i| = |a + bi – 4i|²

Û $\sqrt{{\left(a+4\right)}^2+b^2}.\sqrt{a^2+{\left(b-4\right)}^2}=a^2+{\left(b-4\right)}^2$

Û $\sqrt{a^2+{\left(b-4\right)}^2}.\left(\sqrt{{\left(a+4\right)}^2+b^2}-\sqrt{a^2+{\left(b-4\right)}^2}\right)=0$

+ TH₁: $\sqrt{a^2+{\left(b-4\right)}^2}=0$ 

Û a² + (b – 4)² = 0

Mà a² ≥ 0 và (b – 4)² ≥ 0 với mọi a, b Î ℝ

Do đó a² + (b – 4)² = 0

Û $\left\{\begin{array}{l}a=0\\ b-4=0\end{array}\right.$

Û $\left\{\begin{array}{c}a=0\\ b=4\end{array}\right.$ thoả (1).

Vậy z = 4i.

+ TH₂: $\sqrt{{\left(a+4\right)}^2+b^2}-\sqrt{a^2+{\left(b-4\right)}^2}=0$ 

$\iff \sqrt{{\left(a+4\right)}^2+b^2}=\sqrt{a^2+{\left(b-4\right)}^2}$

Û (a + 4)² + b² = a² + (b – 4)²

Û 8a = –8b

Û a = −b.

Thay vào ta được (1):

2b² – 4|b| = 0 Û 2|b|.(|b| – 2) = 0

Û |b| = 0 hoặc |b| = 2.

• Với |b| = 0 Û b = 0

Þ $\left\{\begin{array}{c}b=0\\ a=0\end{array}\right.$ Þ z = 0.

• Với |b| = 2 Û b = ±2

Þ $\left\{\begin{array}{c}b=2\\ a=-2\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{c}b=-2\\ a=2\end{array}\right.$ 

Þ z = −2 + 2i hoặc z = 2 – 2i.

Kết luận: có 4 số phức z.