Có bao nhiêu số nguyên dương của tham số m để hàm số y = |x⁴ – mx² – 64x| có đúng 3 điểm cực trị?

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số g(x) = x⁴ – mx² – 64x; g'(x) = 4x³ – 2mx – 64; có $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)$= +¥.

g(x) = 0 Û $\left[\begin{array}{c}x=0\\ x^3-mx-64=0\left(*\right)\end{array}\right.$

Với x = 0 thay vào phương trình (*) ta thấy vô lí

Þ g(x) = 0 có ít nhất 2 nghiệm phân biệt.

Do đó hàm số y = |g(x)| có đúng 3 điểm cực trị

Û hàm số y = g(x) có đúng 1 cực trị

Û g'(x) đổi dấu đúng 1 lần (**).

Nhận xét nếu x = 0 Þ g'(0) = −64 < 0

Þ g(x) không có cực trị (hay x = 0 không thoả mãn).

Nên g'(x) = 0 Û m = 2x² − $\frac{32}{x}$.

Đặt h(x) = 2x² − $\frac{32}{x}$.

Có h'(x) = 4x + $\frac{32}{x}$= $\frac{4\left(x^3+8\right)}{x^2}$;

Ta có h'(x) = 0 Û x = −2.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra (**) Û m ≤ 24.

Kết hợp với điều kiện m nguyên dương suy ra m Î {1; 2; 3;…; 24}.