Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm I(1; 4; 2), bán kính bằng 2. Gọi M, N là hai điểm lần lượt thuộc hai trục Ox, Oy sao cho đường thẳng MN tiếp xúc với (S), đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kính bằng $\frac{7}{2}$. Gọi A là tiếp điểm của MN và (S), giá trị AM.AN bằng

Đáp án đúng là: C

Gọi M(a; 0; 0) Î Ox, N(0, b, 0) Î Oy.

Ta có d(I; (Oxy)) = 2 = R nên (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) tại điểm A(1; 4; 0) và MN cũng đi qua A.

Lại có $\overrightarrow{AM}$= (a – 1; −4; 0), $\overrightarrow{AN}$= (−1; b – 4; 0) và 3 điểm A, M, N thẳng hàng nên ta được:

$\frac{a-1}{-1}=\frac{-4}{b-4}$Û (a – 1)(b – 4) = 4      (1).

Tứ diện OIMN có IA ^ (OMN) và ∆OMN vuông tại O

Gọi J là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN thì J Î (IMN).

Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆IMN.

Ta có S_∆IMN = $\frac{\mathrm{I}M.IN.MN}{4r}$(với r = $\frac{7}{2}$ bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆IMN).

Û $\frac{1}{2}IA.MN$= $\frac{\mathrm{I}M.IN.MN}{4.\frac{7}{2}}$

Û IM.IN = 7IA

Û IM.IN = 14

Û [(a – 1)² + 20].[(b – 4)² + 5] = 196                  (2).

Đặt $\left\{\begin{array}{c}m=a-1\\ n=b-4\end{array}\right.$.

Từ (1) và (2) ta có hệ $\left\{\begin{array}{c}mn=4\\ \left(m^2+20\right)\left(n^2+5\right)=196\end{array}\right.$ 

Û $\left\{\begin{array}{c}n=\frac{4}{m}\left(3\right)\\ \left(m^2+20\right)\left(\frac{16}{m^2}+5\right)=196\left(4\right)\end{array}\right.$

Từ (4) ta được: (m² + 20)(16 + 5m²) = 196m²

Û 5m⁴ – 80m² + 320 = 0 Û m² = 8

Û $\left[\begin{array}{c}m=2\sqrt{2}\\ m=-2\sqrt{2}\end{array}\right.$Þ $\left[\begin{array}{c}n=\sqrt{2}\\ n=-\sqrt{2}\end{array}\right.$.

Suy ra $\left[\begin{array}{c}a=1+2\sqrt{2},b=4+\sqrt{2}\\ a=1-2\sqrt{2},b=4-\sqrt{2}\end{array}\right.$.

Vậy AM.AN = $6\sqrt{2}$.