Đề thi thử Toán vào lớp 10 (chuyên) năm 2026-2027 trường chuyên ĐHSP Hà Nội

Câu 4. (1,0 điểm) Cho các số nguyên dương a, b thoả mãn |a - b| > 2025^3 Với mỗi số nguyên dương k, đặt dk là ước chung lớn nhất của hai số a + k, b + k. Chứng minh rằng d1 +...+ d2026 < 2|a - b|.

Câu 5. (1,0 điểm) Cho một bảng kẻ ô vuông 2026 × 2026 và một hộp đựng k viên sỏi (k là số nguyên dương). Gọi (i, j) là ô nằm ở hàng thứ i và cột thứ j, với 1 <= i , j <= 2026 (ở đây, ô (1, 1) là ô nằm ở góc trên cùng bên trái).

Ban đầu bảng không có sỏi. Ta được phép lấy từ hộp một viên sỏi đặt vào một ô trống (i, j) nếu ô này thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:

• j = 1 hoặc ô (i, j − 1) có sỏi.

• i = 2026 hoặc ô (i + 1, j) có sỏi.

Ngoài ra, ta được phép lấy một viên sỏi bất kỳ trên bảng rồi bỏ vào hộp. Hỏi giá trị nhỏ nhất của k là bao nhiêu để có thể đạt được trạng thái là ô (1, 2026) có sỏi?