Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2025-2026 Sở Ninh Bình

Câu 2 (4,0 điểm).
1. Giải phương trình $\sqrt{2x - 7} + \sqrt{9-2x}= 2$
2. Đoạn đường AB dài 36 km, bác Ninh đi xe máy từ A tới B và bác Bình đi xe đạp từ B tới A cùng khởi hành lúc 8 giờ sáng. Sau một thời gian hai bác gặp nhau tại điểm C, đoạn đường AC dài 24 km. Khi gặp nhau, ngay lập tức, bác Bình quay lại đi về phía B. Khi đi tới B, bác Ninh liền quay lại hướng về A và gặp bác Bình tại điểm D vào lúc 9 giờ sáng cùng ngày. Coi vận tốc hai xe không đổi, tính vận tốc của xe máy.
Câu 3 (3,0 điểm).
1. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn $x (x^2 - 3x + 3) = y^2 + 2$.
2. Chứng minh với mọi số nguyên tố p > 5, ta có $3p^2 - 5p + 2$ chia hết cho 30p.
Câu 4 (7,0 điểm).
1. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), ngoại tiếp đường tròn (I). Đường phân giác của$\widehat{\mathrm{BAC}}$  cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M.
a) Chứng minh rằng MB = MC = MI.
b) Đường tròn (I) tiếp xúc với BC tại D. Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng MD với đường tròn (0); F là giao điểm của AE với BC; H là hình chiều của A trên BC. Chứng minh rằng $\widehat{MID} = \widehat{MEI}$ và bốn điểm A, I, H, F cùng nằm trên một đường tròn.
c) Gọi N là điểm đốii xứng của M qua O, P là hình chiếu của N trên AC. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác APB đi qua trung diểm của AM.
2. Gia đình ông Minh muốn thiết kế tiểu cảnh cho khu vườn hình vuông ABCD cạnh 10 mét theo cách sau: xác định trung điểm M,N của các cạnh AB, CD, vẽ đường tròn đường kính MN và hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau, đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn đường kính MN tại M, N (như hình vẽ). Tại bốn góc khu vườn ông Minh lát gạch, phần không tô màu trồng cỏ và phần còn lại ông trồng hoa. Lấy $\mathrm{\pi }$ = 3,14.
a) Tính diện tích (mét vuông) phần lát gạch.
b) Biết mỗi mét vuông trồng cỏ chi phí hết 120 nghìn đồng, mỗi mét vuông trồng hoa chi phí hết 280 nghìn đồng. Tính tổng chi phí (nghìn đồng) của khu vườn trồng hoa và cỏ trong trường hợp diện tích trồng cỏ lớn nhất.