Trong các đường biểu diễn được cho trong Hình 4, chỉ ra trường hợp không phải là đồ thị hàm số và giải thích tại sao?

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số là: D = ℝ \ {– 5}.

+ Xét khoảng (– ∞; – 5):

Lấy hai số x₁, x₂ tùy ý thuộc (– ∞; – 5) sao cho x₁ < x₂.

Ta có: \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{{ - {x_1} - 5}} - \frac{1}{{ - {x_2} - 5}}\)\( = \frac{{ - {x_2} - 5 - \left( { - {x_1} - 5} \right)}}{{\left( { - {x_1} - 5} \right)\left( { - {x_2} - 5} \right)}}\)\( = \frac{{{x_1} - {x_2}}}{{\left( {{x_1} + 5} \right)\left( {{x_2} + 5} \right)}}\).

Vì x₁, x₂ ∈ (– ∞; – 5) nên x₁ + 5 < 0 và x₂ + 5 < 0.

Lại có: x₁ < x₂ nên x₁ – x₂ < 0.

Do đó, f(x₁) – f(x₂) \( = \frac{{{x_1} - {x_2}}}{{\left( {{x_1} + 5} \right)\left( {{x_2} + 5} \right)}}\) < 0 hay f(x₁) < f(x₂).

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; – 5). (1)

+ Xét khoảng (– 5; + ∞):

Lấy hai số x₃, x₄ tùy ý thuộc (– 5; + ∞) sao cho x₃ < x₄.

Ta có: \(f\left( {{x_3}} \right) - f\left( {{x_4}} \right) = \frac{1}{{ - {x_3} - 5}} - \frac{1}{{ - {x_4} - 5}}\)\( = \frac{{ - {x_4} - 5 - \left( { - {x_3} - 5} \right)}}{{\left( { - {x_3} - 5} \right)\left( { - {x_4} - 5} \right)}}\)\( = \frac{{{x_3} - {x_4}}}{{\left( {{x_3} + 5} \right)\left( {{x_4} + 5} \right)}}\).

Vì x₃, x₄ ∈ (– 5; + ∞) nên x₃ + 5 > 0 và x₄ + 5 > 0.

Lại có: x₃ < x₄ nên x₃ – x₄ < 0.

Do đó, f(x₃) – f(x₄) \( = \frac{{{x_3} - {x_4}}}{{\left( {{x_3} + 5} \right)\left( {{x_4} + 5} \right)}}\) < 0 hay f(x₁) < f(x₂).

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (– 5; + ∞). (2)

Từ (1) và (2) suy ra hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (– ∞; – 5) và (– 5; + ∞).