Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm M, N. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Hướng dẫn giải

Theo định lý sin ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)

\( \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{{{\sin }^2}A}} = \frac{{{b^2}}}{{{{\sin }^2}B}} = \frac{{{c^2}}}{{{{\sin }^2}C}} = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{{{{\sin }^2}B - {{\sin }^2}C}}\) (1)

Thay \({a^2} = 2\left( {{b^2} - {c^2}} \right)\) vào (1) ta được:

\(\frac{{2\left( {{b^2} - {c^2}} \right)}}{{{{\sin }^2}A}} = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{{{{\sin }^2}B - {{\sin }^2}C}}\)\( \Leftrightarrow \frac{2}{{{{\sin }^2}A}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}B - {{\sin }^2}C}}\)

Suy ra \({\sin ^2}A = 2\left( {{{\sin }^2}B - {{\sin }^2}C} \right)\).