Cho ABC có ba góc nhọn (AB < AC), vẽ các đường cao BD và CE. a) Chứng minh ∆ABD ᔕ ∆ACE; b) Chứng minh ABC^+EDC^=1800; c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng BD và CE. Vẽ AK là phân giác củ...

a) Xét ∆ABD và ∆ACE có: BAC^ chung, ADB^=AEC^=90°(gt) Suy ra ∆ABD ᔕ ∆ACE (g.g) b) Vì ∆ABD ᔕ ∆ACE (câu a) ⇒ADAE=ABAC (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) Xét ∆AED và ∆ACB có ADAE=ABAC ( chứng minh trên) BAC^ chung, Suy ra, ∆AED ᔕ ∆ACB (c.g.c) ⇒ADE^=ABC^ (hai góc tương ứng) Mặc khác: ADE^+EDC^=180°(hai góc kề bù) Do đó ADE^+EDC^=ABC^+EDC^=180°. Vậy ABC^+EDC^=180°. c) Vì ∆ABD ᔕ ∆ACE (câu a) ⇒ABAC=BDCE (tỉ số đồng dạng) Mà M là trung điểm của BD, N là trung điểm của CE (giả thiết) Nên ta có: BD = 2BM và CE = 2CN ⇒ABAC=BDCE=2BM2CN=BMCN Xét DABM và DACN có: ABAC=BMCN (chứng minh trên), ABM^=ACN^ (do cùng phụ với BAC^) Þ DABM ᔕ DACN (c.g.c) ⇒BAM^=CAN^ (hai góc tương ứng) Lại có AK là tia phân giác của MAN^ (giả thiết) ⇒MAK^=NAK^ (tính chất tia phân giác của một góc) Do đó: BAM^+MAK^=CAN^+NAK^ Hay BAK^=KAC^ Þ AK là tia phân giác của BAC^ Theo tính chất tia phân giác của tam giác ta có: ABAC=KBKC Þ KB.AC = KC.AB (điều phải chứng minh). Vậy KB.AC = KC.AB.

Câu hỏi:

13/07/2024 42,099

Cho ABC có ba góc nhọn (AB < AC), vẽ các đường cao BD và CE.

a) Chứng minh ∆ABD ᔕ ∆ACE;

b) Chứng minh $\hat{A B C} + \hat{E D C} = 180^{0}$ ;

c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng BD và CE. Vẽ AK là phân giác của $\hat{M A N}$ (K Î BC). Chứng minh KB.AC = KC.AB.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra cuối kì 2 Toán 8 có đáp án ( Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

a) Xét ∆ABD và ∆ACE có:

$\hat{B A C}$ chung,

$\hat{A D B} = \hat{A E C} = 90 °$ (gt)

Suy ra ∆ABD ᔕ ∆ACE (g.g)

b) Vì ∆ABD ᔕ ∆ACE (câu a)

$\Rightarrow \frac{A D}{A E} = \frac{A B}{A C}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Xét ∆AED và ∆ACB có

$\frac{A D}{A E} = \frac{A B}{A C}$ ( chứng minh trên)

$\hat{B A C}$ chung,

Suy ra, ∆AED ᔕ ∆ACB (c.g.c)

$\Rightarrow \hat{A D E} = \hat{A B C}$ (hai góc tương ứng)

Mặc khác: $\hat{A D E} + \hat{E D C} = 180 °$ (hai góc kề bù)

Do đó $\hat{A D E} + \hat{E D C} = \hat{A B C} + \hat{E D C} = 180 °$ .

Vậy $\hat{A B C} + \hat{E D C} = 180 ° .$

c) Vì ∆ABD ᔕ ∆ACE (câu a)

$\Rightarrow \frac{A B}{A C} = \frac{B D}{C E}$ (tỉ số đồng dạng)

Mà M là trung điểm của BD, N là trung điểm của CE (giả thiết)

Nên ta có: BD = 2BM và CE = 2CN

\Rightarrow \frac{A B}{A C} = \frac{B D}{C E} = \frac{2 B M}{2 C N} = \frac{B M}{C N}

Xét DABM và DACN có:

$\frac{A B}{A C} = \frac{B M}{C N}$ (chứng minh trên),

$\hat{A B M} = \hat{A C N}$ (do cùng phụ với $\hat{B A C}$ )

Þ DABM ᔕ DACN (c.g.c)

$\Rightarrow \hat{B A M} = \hat{C A N}$ (hai góc tương ứng)

Lại có AK là tia phân giác của $\hat{M A N}$ (giả thiết)

$\Rightarrow \hat{M A K} = \hat{N A K}$ (tính chất tia phân giác của một góc)

Do đó: $\hat{B A M} + \hat{M A K} = \hat{C A N} + \hat{N A K}$

Hay $\hat{B A K} = \hat{K A C}$

Þ AK là tia phân giác của $\hat{B A C}$

Theo tính chất tia phân giác của tam giác ta có:

$\frac{A B}{A C} = \frac{K B}{K C}$

Þ KB.AC = KC.AB (điều phải chứng minh).

Vậy KB.AC = KC.AB.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Nhà bạn An có một bể cá hình hộp chữ nhật với kích thước như sau: chiều dài đáy bể là 1,5 m; chiều rộng đáy bể là 1,2 m và chiều cao của bể là 0,9 m. Ba bạn An đổ nước vào bể cá sao cho khoảng cách từ mặt nước đến miệng bể cá là 0,2 m. Hỏi ba bạn An đã đổ bao nhiêu lít nước vào bể cá?

(Biết thể tích của hình hộp chữ nhật được tính theo công thức: V = S.h, trong đó:

S là điện tích đáy; h là chiều cao).

Xem đáp án

Lời giải

Gọi x (m, x > 0) là chiều cao phần nước mà ba của An đã đổ vào bể cá.

Theo đề bể cá cao 0,9 m và khoảng cách từ từ mặt nước đến miệng bể cá là 0,2 m nên ta được phương trình sau:

0,9 – x = 0,2

Û x = 0,9 – 0,2

Û x = 0,7 ( thõa mãn điều kiện)

Chiều cao phần nước mà ba của An đổ vào bể cá là 0,7 m.

Diện tích đáy của bể cá là 1,5.1,2 = 1,8 (m²)

Suy ra, thể tích của phần nước trong bể cá mà ba của An đổ vào là:

1,8.0,7 = 1,26 (m³) = 1 260 (l)

Vậy ba của An đã đổ vào bể cá l 260 lít nước.

Câu 2

Giải các phương trình sau:

a) 6x + 7 = 3x – 2;

b) x² – 25 = 8(5 – x);

c) $\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{2 (x - 11)}{x^{2} - 4} = \frac{3}{x - 2}$ .

Xem đáp án

Lời giải

a) 6x + 7 = 3x – 2

Û 6x – 3x = – 2 – 7

Û 3x = – 9

Û x = – 3

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {– 3};

b) x² – 25 = 8.(5 – x)

Û x² – 25 – 8.(5 – x) = 0

Û (x + 5)(x – 5) + 8(x – 5) = 0

Û (x – 5)(x + 5 + 8) = 0

Û (x – 5)(x + 13)= 0

\Leftrightarrow [\begin{matrix} x - 5 = 0 \\ x + 13 = 0 \end{matrix}

\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 5 \\ x = - 13 \end{matrix}

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {–13; 5};

c) $\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{2 (x - 11)}{x^{2} - 4} = \frac{3}{x - 2}$

Điều kiện xác định của phương trình:

\{\begin{cases} x + 2 \neq 0 \\ x^{2} - 4 \neq 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + 2 \neq 0 \\ (x - 2) (x + 2) \neq 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{cases}

\Leftrightarrow \{\begin{matrix} x + 2 \neq 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq - 2 \\ x \neq 2 \end{cases}

Với x ≠ 2, x ≠ –2 ta có:

\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{2 (x - 11)}{x^{2} - 4} = \frac{3}{x - 2}

\Leftrightarrow \frac{(x - 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{2 (x - 11)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{3 (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)}

Þ (x – 2)(x – 2) – 2(x – 11) = 3(x + 2)

Û x² – 4x + 4 – 2x + 22 = 3x + 6

Û x² – 4x – 2x – 3x + 4 + 22 – 6 = 0

Û x² – 9x + 20 = 0

Û x² – 5x – 4x + 20 = 0

Û (x² – 5x) – (4x – 20) = 0

Û x(x – 5) – 4 (x – 5) = 0

Û (x – 5)(x – 4) = 0

\Leftrightarrow [\begin{matrix} x - 5 = 0 \\ x - 4 = 0 \end{matrix}

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 5 \\ x = 4 \end{matrix}$ (thõa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {4; 5}.

Câu 3

Ông Tư có mảnh vườn trồng xoài hình chữ nhật với chiều dài hơn chiều rộng 20 m. Nếu tăng chiều rộng thêm 10 m và giảm chiều dài 5 m thì diện tích tăng thêm 350 m².

a) Tính diện tích của mảnh vườn nhà ông Tư.

b) Theo tính toán của ông Tư, vườn xoài của ông nếu đạt năng suất thì phải thu hoạch được ít nhất 700 kg trở lên. Năm vừa qua Ông Tư hoạch xoài và bán 80 % số xoài trong vườn cho lái buôn được 20.000.000 đồng với giá 40.000 đồng/ 1 kg. Phần còn lại ông để ăn và cho bà con hàng xóm. Hỏi vườn xoài của ông thu được tất cả bao nhiêu kilogam và đã đạt được năng suất như ông mong muốn chưa?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

a) 3(x – 5) < x + 7;

b) $\frac{x + 2}{3} - \frac{x - 1}{2} > \frac{x + 1}{4}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho ABC có ba góc nhọn (AB < AC), vẽ các đường cao BD và CE. a) Chứng minh ∆ABD ᔕ ∆ACE; b) Chứng minh ABC^+EDC^=1800; c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng BD và CE. Vẽ AK là phân giác của MAN^ (K Î BC). Chứng minh KB.AC = KC.AB.

Giải các phương trình sau: a) 6x + 7 = 3x – 2; b) x2 – 25 = 8(5 – x);

Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số: a) 3(x – 5) < x + 7; b) x+23−x−12>x+14.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Giải các phương trình sau:

a) 6x + 7 = 3x – 2;

b) x² – 25 = 8(5 – x);

c) $\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{2 (x - 11)}{x^{2} - 4} = \frac{3}{x - 2}$ .

Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

a) 3(x – 5) < x + 7;

b) $\frac{x + 2}{3} - \frac{x - 1}{2} > \frac{x + 1}{4}$ .