Cho $\Delta \text{MNP}$ có PM=PN. Chứng minh: $\widehat{\text{PMN}}=\widehat{\text{PNM}}$ bằng hai cách.

* Xét hai tam giác $\Delta \text{BAF}$ và $\Delta \text{CAE}$ có:

$\text{BA = CA}$ (gt)

$\widehat{\text{A}}$ chung

$\text{AF = AE}$ (gt)

$\Rightarrow \Delta \text{BAF}=\Delta \text{CAE}$(c.g.c)

 $\Rightarrow \text{BF = CE}$ (1)

Ta có: $\text{AE + EB = AB}$

$\text{AF + FC = AC}$

Mà $\text{AB = AC}$, $\text{AE = AF}$ 

$\Rightarrow \text{EB = FC}$ (2)

* Xét hai tam giác $\Delta \text{BEC}$ và $\Delta \text{CFB}$ có:

$\text{BE = CF}$ theo (2)

$\text{EC = FB}$ theo (1)

Cạnh BC chung

$\Rightarrow \Delta \text{BEC}=\Delta \text{CFB}$ (c.c.c)

* Xét hai tam giác $\Delta \text{AOC}$ và $\Delta \text{BOD}$ có:

$\text{OA = OB}$ (gt)

$\widehat{\text{AOC}}=\widehat{\text{BOD}}$ (hai góc đối đỉnh)

$\text{OC = OD}$ (gt)

$\Rightarrow \Delta \text{AOC}=\Delta \text{BOD}$ (c.g.c)

$\Rightarrow \text{AC = DB}$ (2 cạnh tương ứng bằng nhau)

Vì $\Delta \text{AOC}=\Delta \text{BOD}$ nên $\widehat{\text{OCA}}=\widehat{\text{ODB}}$ (2 góc tương ứng bằng nhau)

Mà $\widehat{\text{OCA}}$ và $\widehat{\text{ODB}}$ là hai góc ở vị trí so le trong, cát tuyến $\text{CD}\Rightarrow \text{AC // DB}$.