Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 1}}{{x - 1}},\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 0\\\sqrt {x + 2} ,\,\,\,khi\,\,x > 0\end{array} \right.\). Tập xác định của hàm số là tập hợp nào sau đây?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Từ đồ thị, ta thấy hàm số xác định trên ℝ.

+) Trên khoảng (–∞; 0), đồ thị có dạng đi lên từ trái sang phải nên hàm số này đồng biến trên khoảng (–∞; 0).

+) Trên khoảng (0; 2), đồ thị có dạng đi xuống từ trái sang phải nên hàm số này nghịch biến trên khoảng (0; 2).

+) Trên khoảng (2; +∞), đồ thị có dạng đi lên từ trái sang phải nên hàm số này đồng biến trên khoảng (2; +∞).

Phương án A sai vì hàm số đồng biến trên (–∞; 0) và (2; 3); nhưng nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Phương án B sai vì hàm số đồng biến trên (–∞; 0) nhưng nghịch biến trên khoảng (0; 1).

Phương án C đúng.

Phương án D sai vì hàm số đồng biến trên (–3; 0) và (2; +∞) nhưng nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{3}{x}\) trên khoảng (0; +∞).

Lấy x₁, x₂ tùy ý thuộc khoảng (0; +∞) sao cho x₁ < x₂, ta có:

f(x₁) – f(x₂) = \(\frac{3}{{{x_1}}} - \frac{3}{{{x_2}}} = \frac{{3{x_2} - 3{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{3\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}}\).

Vì x₁ < x₂ nên x₂ – x₁ > 0 và vì x₁, x₂ ∈ (0; +∞) nên x₁x₂ > 0.

Từ đây ta suy ra \(\frac{{3\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}} > 0\).

Do đó f(x₁) – f(x₂) > 0 hay f(x₁) > f(x₂).

Vì vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; +∞).

Vậy ta chọn phương án A.