Một chiếc cổng hình parabol có phương trình \(y = - \frac{1}{2}{x^2}\). Biết cổng có chiều rộng d = 5 m. Chiều cao h của cổng bằng:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hàm số đã cho có dạng y = ax² + bx + c, với a = m, b = –2m, c = –m² – 2 (m ≠ 0).

Suy ra b’ = –m.

∆ = b’² – ac = (–m)² – m.(–m² – 2) = m³ + m² + 2m.

Đỉnh S có tọa độ:

⦁ \[{x_S} = - \frac{{b'}}{a} = - \frac{{ - m}}{m} = 1\];

⦁ \({y_S} = - \frac{{\Delta '}}{a} = - \frac{{{m^3} + {m^2} + 2m}}{m} = - \frac{{m\left( {{m^2} + m + 2} \right)}}{m}\)

Do đó y_S = –m² – m – 2 (vì m ≠ 0).

Suy ra tọa độ đỉnh S(1; –m² – m – 2).

Vì đỉnh S nằm trên đường thẳng y = x – 3 nên ta có:

–m² – m – 2 = 1 – 3.

Suy ra –m² – m = 0

Khi đó m = 0 (loại) hoặc m = –1 (thỏa mãn).

Vì vậy m ∈ (–3; 3).

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 4 tại x = 2.

Tức là đỉnh S(2; 4) và a > 0.

Suy ra 4 = a.2² + b.2 + c.

Do đó 4a + 2b + c = 4   (1)

Ta có x_S = 2.

Suy ra \( - \frac{b}{{2a}} = 2\).

Do đó –b = 4a   (2)

Đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; 6).

Suy ra 6 = a.0² + b.0 + c.

Do đó c = 6       (3)

Thay (2), (3) vào (1), ta được: –b + 2b + 6 = 4.

Suy ra b = –2.

Với b = –2, thay vào (2) ta được 4a = 2.

Suy ra \(a = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn a > 0).

Vì vậy ta có \(a = \frac{1}{2}\), b = –2, c = 6.

Khi đó P = abc = \(\frac{1}{2}.\left( { - 2} \right).6 = - 6\).

Vậy ta chọn phương án A.