Cho biểu thức A=1x−x+1x−1:x+1x−12, với x>0,x≠1. Rút gọn biểu thức A. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=A−9x .

Với điều kiện x>0 , x≠1 ta có A=1x−x+1x−1:x+1x−12=x+1xx−1⋅x−12x+1=x−1x. Với điều kiện x>0 , x≠1 ta có P=A−9x=x−1x−9x=1−1x−9x=1−9x+1x. Theo bất đẳng thức Cô-si ta có 9x+1x≥29x⋅1x⇔9x+1x≥6. Như vậy P≤−5 . Đẳng thức xảy ra khi 9x=1x hay x=19 . Vậy giá trị lớn nhất của P là -5 khi x=19 .

Câu hỏi:

13/07/2024 1,886

Cho biểu thức $A = (\frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1}) : \frac{\sqrt{x} + 1}{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}},$

với $x > 0, x \neq 1.$

Rút gọn biểu thức A.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = A - 9 \sqrt{x}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2019 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Với điều kiện $x > 0$ , $x \neq 1$ ta có $A = (\frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1}) : \frac{\sqrt{x} + 1}{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} \cdot \frac{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}}{\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} .$

Với điều kiện $x > 0$ , $x \neq 1$ ta có $P = A - 9 \sqrt{x} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} - 9 \sqrt{x} = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}} - 9 \sqrt{x} = 1 - (9 \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}) .$

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có $9 \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \geq 2 \sqrt{9 \sqrt{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}} \Leftrightarrow 9 \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \geq 6.$

Như vậy $P \leq - 5$ .

Đẳng thức xảy ra khi $9 \sqrt{x} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ hay $x = \frac{1}{9}$ .

Vậy giá trị lớn nhất của P là -5 khi $x = \frac{1}{9}$ .

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho biểu thức $A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3 x + 9}{x - 9} (x \geq 0; x \neq 9)$

Rút gọn biểu thức A

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A

Xem đáp án

Lời giải

$\begin{array}{l} a) A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3 x + 9}{x - 9} \\ = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3 x + 9}{(\sqrt{x} - 3) . (\sqrt{x} + 3)} = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 3) + 2 \sqrt{x} (\sqrt{x} + 3) - 3 x - 9}{(\sqrt{x} - 3) . (\sqrt{x} + 3)} \\ = \frac{x - 3 \sqrt{x} + 2 x + 6 \sqrt{x} - 3 x - 9}{(\sqrt{x} - 3) . (\sqrt{x} + 3)} = \frac{3 \sqrt{x} - 9}{(\sqrt{x} - 3) . (\sqrt{x} + 3)} = \frac{3 (\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 3) . (\sqrt{x} + 3)} = \frac{3}{\sqrt{x} + 3} \end{array}$

Câu 2

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức $P (x) = (\frac{1}{x^{2} - x} + \frac{1}{x - 1}) : \frac{x + 1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Xem đáp án

Lời giải

$\begin{array}{l} P (x) = (\frac{1}{x^{2} - x} + \frac{1}{x - 1}) : \frac{x + 1}{x^{2} - 2 x + 1} \\ = (\frac{1}{x (x - 1)} + \frac{x}{x (x - 1)}) : \frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{1 + x}{x (x - 1)} . \frac{{(x - 1)}^{2}}{x + 1} = \frac{x - 1}{x} \end{array}$

Câu 3

Cho biểu thức $A = [\frac{x \sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} - \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1}] : (\sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}) (x > 0; x \neq 1)$

Rút gọn biểu thức A

Tìm tất cả các giá trị của x để $A = 3$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho tam giác ABC vuông tại A, $\hat{A C B} = 30 °$ , cạnh AB=5cm . Độ dài cạnh AC là:

A. 10 cm

\frac{5 \sqrt{3}}{2}

cm.

5 \sqrt{3}

D. $\frac{5}{\sqrt{3}}$ cm.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trục căn thức ở mẫu của biểu thức $A = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} .$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho $a > 0$ , rút gọn biểu thức $\frac{\sqrt{a^{3}}}{\sqrt{a}}$ ta được kết quả:

a^{2}

B. a

\pm a

D. -a

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho biểu thức $B = (\frac{6}{a - 1} + \frac{10 - 2 \sqrt{a}}{a \sqrt{a} - a - \sqrt{a} + 1}) . \frac{{(\sqrt{a} - 1)}^{2}}{4 \sqrt{a}}$ (với $a > 0; a \neq 1$ ).

Rút gọn biểu thức B .

Đặt $C = B . (a - \sqrt{a} + 1)$ . So sánh C và 1.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Giáo dục công dân

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học