Một xưởng sản xuất 2 món đồ chơi :

- Mỗi món đồ chơi loại I cần 1 kg nguyên liệu và 20 giờ làm, đem lại mức lời 30 nghìn đồng.

- Mỗi món đồ chơi loại II cần 2 kg nguyên liệu và 27 giờ làm, đem lại mức lời 50 nghìn đồng.

Biết xưởng có 140 kg nguyên liệu và 2150 giờ làm. Nên sản xuất mỗi loại đồ chơi là bao nhiêu để đem lại mức lời cao nhất ?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\left\{\begin{array}{c}y-2x\le 2\\ 2y-x\ge 4\\ x+y\le 5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}y-2x-2\le 0\\ 2y-x-4\ge 0\\ x+y-5\le 0\end{array}\right.$  (1)

Trong mặt phẳng Oxy, vẽ các đường thẳng d₁: y − 2x − 2 = 0, d₂: 2y − x − 4 = 0, d_3­: x + y − 5 = 0.

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC (kể cả biên) như hình vẽ trên.

Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ (1) là:

A(0; 2), B(2; 3), C(1; 4)

Ta có: F(x; y) = 3y − 2x

Khi đó: $\left\{\begin{array}{c}F(0;2)=3.2-2.0=6\\ F(2;3)=3.3-2.2=5\\ F(1;4)=3.4-2.1=10\end{array}\right.$⇒ F_min = 5.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức F bằng 5 tại (x; y) = (2; 3).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Trước hết, ta vẽ đường thẳng: (d₁): 2x + 3y = 5

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 2.0 + 3.0 = 0 < 5, thoả mãn bất phương trình 2x + 3y < 5. Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không bị gạch chéo (không kể biên) của (d₁).

Vẽ đường thẳng (d₂): .

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có $0+\frac{3}{2}.0=0<5$ , thoả mãn bất phương trình $x+\frac{3}{2}y<5$ . Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không bị gạch chéo (không kể biên) của (d₂).

Miền nghiệm được biểu diễn trong hình dưới đây

Từ đồ thị biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ta có S₁ ⊂ S₂; S₁ = S; S₂ S. Vậy S₁ ⊂ S₂.