Giá trị lớn nhất của biểu thức G(x; y) = 10x + 20y trên miền xác định bởi hệ $\left\{\begin{array}{c}x+2y-10\le 0\\ y\le 4\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$  là :

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\left\{\begin{array}{c}y-2x\le 2\\ 2y-x\ge 4\\ x+y\le 5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}y-2x-2\le 0\\ 2y-x-4\ge 0\\ x+y-5\le 0\end{array}\right.$  (1)

Trong mặt phẳng Oxy, vẽ các đường thẳng d₁: y − 2x − 2 = 0, d₂: 2y − x − 4 = 0, d_3­: x + y − 5 = 0.

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC (kể cả biên) như hình vẽ trên.

Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ (1) là:

A(0; 2), B(2; 3), C(1; 4)

Ta có: F(x; y) = 3y − 2x

Khi đó: $\left\{\begin{array}{c}F(0;2)=3.2-2.0=6\\ F(2;3)=3.3-2.2=5\\ F(1;4)=3.4-2.1=10\end{array}\right.$⇒ F_min = 5.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức F bằng 5 tại (x; y) = (2; 3).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Trước hết, ta vẽ đường thẳng: (d₁): 2x + 3y = 5

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 2.0 + 3.0 = 0 < 5, thoả mãn bất phương trình 2x + 3y < 5. Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không bị gạch chéo (không kể biên) của (d₁).

Vẽ đường thẳng (d₂): .

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có $0+\frac{3}{2}.0=0<5$ , thoả mãn bất phương trình $x+\frac{3}{2}y<5$ . Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không bị gạch chéo (không kể biên) của (d₂).

Miền nghiệm được biểu diễn trong hình dưới đây

Từ đồ thị biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ta có S₁ ⊂ S₂; S₁ = S; S₂ S. Vậy S₁ ⊂ S₂.