5 câu Trắc nghiệm Toán 10 Cánh Diều Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (Vận dụng) có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\left\{\begin{array}{c}y-2x\le 2\\ 2y-x\ge 4\\ x+y\le 5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}y-2x-2\le 0\\ 2y-x-4\ge 0\\ x+y-5\le 0\end{array}\right.$  (1)

Trong mặt phẳng Oxy, vẽ các đường thẳng d₁: y − 2x − 2 = 0, d₂: 2y − x − 4 = 0, d_3­: x + y − 5 = 0.

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC (kể cả biên) như hình vẽ trên.

Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ (1) là:

A(0; 2), B(2; 3), C(1; 4)

Ta có: F(x; y) = 3y − 2x

Khi đó: $\left\{\begin{array}{c}F(0;2)=3.2-2.0=6\\ F(2;3)=3.3-2.2=5\\ F(1;4)=3.4-2.1=10\end{array}\right.$⇒ F_min = 5.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức F bằng 5 tại (x; y) = (2; 3).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Trong mặt phẳng Oxy kẻ đường thẳng d₁ : x + 2y − 10 = 0, d₂ : y = 4.

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác OABC (kể cả biên) được tô đậm như hình vẽ.

Xét các đỉnh của miền khép kín được tạo bởi hệ là: O(0; 0), A(0; 4), B(2; 4), C(10; 0)

Ta có : G(x; y) = 10x + 20y

Khi đó:$\left\{\begin{array}{c}G(0;0)=0\\ G(0;4)=80\\ G(2;4)=100\\ G(10;0)=100\end{array}\right.$ ⇒ G_max = 100.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi x, y (đồ chơi) lần lượt là số lượng đồ chơi loại I và loại II cần sản xuất (x, y ∈ ℕ).

Khi đó tổng số nguyên liệu sử dụng là x + 2y (kg).

Mà xưởng có 140 kg nguyên liệu nên x + 2y ≤ 140.

Tổng số giờ làm việc để tạo ra x đồ chơi loại I và y đồ chơi loại II là: 20x + 27y (giờ).

Mà xưởng có 2150 giờ làm nên 20x + 27y ≤ 2150.

Tổng lợi nhuận thu được là: N = 30x + 50y (nghìn đồng)

Khi đó bài toán trở thành tìm số tự nhiên x và y thỏa mãn

 $\left\{\begin{array}{c}x+2y\le 140\\ 20x+27y\le 2150\end{array}\right.$ để N(x; y) = 30x + 50y đạt giá trị lớn nhất.

Ta biểu diễn miền nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{c}x+2y\le 140\\ 20x+27y\le 2150\end{array}\right.$  với x ≥ 0; y ≥ 0.

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác OABC (kể cả biên) với O(0; 0), A(0; 70), B(40; 50), C(110; 0).

N(x; y) đạt giá trị lớn nhất tại các đỉnh của tứ giác OABC.

Ta có: N(0; 0) = 0

N(0; 70) = 30 . 0 + 50 . 70 = 3500

N(40; 50) = 30 . 40 + 50 . 50 = 3700

N(110; 0) = 30 . 110 + 50 . 0 = 3300.

Do đó N_max = 3700, tại x = 40, y = 50.

Vậy nên sản xuất 40 đồ chơi loại I và 50 đồ chơi loại II để lợi nhuận là cao nhất.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi x, y (cái) lần lượt là số áo và số quần mà xưởng cần sản xuất (x, y ∈ ℕ).

Khi đó ta có:

x + 3y (giờ) là thời gian hoạt động của máy I;

2x + 4y (giờ) là thời gian hoạt động của máy II;

3x + 2y (giờ) là thời gian hoạt động của máy III.

Số tiền lãi của nhà máy L = 200x + 300y (nghìn đồng).

Do máy I chỉ hoạt động không quá 50 giờ, máy II hoạt động không quá 70 giờ và máy III hoạt động không quá 48 giờ nên ta có hệ $\left\{\begin{array}{c}x+3y\le 50\\ 2x+4y\le 70\\ 3x+2y\le 48\end{array}\right.$ .

Khi đó bài toán trở thành tìm số tự nhiên x, y thỏa hệ $\left\{\begin{array}{c}x+3y\le 50\\ 2x+4y\le 70\\ 3x+2y\le 48\end{array}\right.$  để L = 200x + 300y đạt giá trị lớn nhất.

Ta biểu diễn miền nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{c}x+3y\le 50\\ 2x+4y\le 70\\ 3x+2y\le 48\end{array}\right.$  với x ≥ 0; y ≥ 0.

Miền nghiệm của hệ là miền ngũ giác OABCD (kể cả biên) với O(0; 0), $A\left(0;\frac{50}{3}\right)$ , B(5; 15), $C\left(\frac{13}{2};\frac{57}{4}\right)$ , D(16; 0).

L lớn nhất tại các đỉnh của ngũ giác OABCD, do x, y ∈ ℕ nên ta chỉ cần tính giá trị của L tại các đỉnh O, B, D và so sánh.

Ta có:

L(0; 0) = 0, L(5; 15) = 5500, L(16; 0) = 3200.

Do đó, L_max  = 5500 tại x = 5 và y = 15.

Vậy phải sản xuất 5 cái áo và 15 cái quần để lợi nhuận lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Trước hết, ta vẽ đường thẳng: (d₁): 2x + 3y = 5

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 2.0 + 3.0 = 0 < 5, thoả mãn bất phương trình 2x + 3y < 5. Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không bị gạch chéo (không kể biên) của (d₁).

Vẽ đường thẳng (d₂): .

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có $0+\frac{3}{2}.0=0<5$ , thoả mãn bất phương trình $x+\frac{3}{2}y<5$ . Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không bị gạch chéo (không kể biên) của (d₂).

Miền nghiệm được biểu diễn trong hình dưới đây

Từ đồ thị biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ta có S₁ ⊂ S₂; S₁ = S; S₂ S. Vậy S₁ ⊂ S₂.