Câu hỏi:

19/08/2025 1,359

Cho phương trình $(m^{2} + m + 1) x^{2} - (m^{2} + 2 m + 2) x - 1 = 0$ (m là tham số)

Giả sử $x_{1}; x_{2}$ là các nghiệm của phương trình trên. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = x_{1} + x_{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương trình (1) có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ khi và chỉ khi

$Δ \geq 0 \Rightarrow {(m^{2} + 2 m + 2)}^{2} + 4 (m^{2} + m + 1) \geq 0$ (luôn đúng với mọi m)

Nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}; x_{2}$

Khi đó, áp dụng định lý Vi-et ta có :

$S = x_{1} + x_{2} = \frac{m^{2} + 2 m + 2}{m^{2} + m + 1}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow m^{2} S + m S + S = m^{2} + 2 m + 2 \\ \Leftrightarrow (S - 1) m^{2} + (S - 2) m + S - 2 = 0 (*) \end{array}$

Th1: $S = 1 \Rightarrow - m + 1 - 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 1$

Th2: $S \neq 1$ . Khi đó phương trình (*) có :

$\begin{array}{l} Δ_{m} = {(S - 2)}^{2} - 4 (S - 1) (S - 2) \\ = S^{2} - 4 S + 4 - 4 (S^{2} - 3 S + 2) = - 3 S^{2} + 8 S - 4 \end{array}$

Để tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = x_{1} + x_{2}$ thì phương trình (*) phải có nghiệm

Khi đó ta có : $Δ_{m} \geq 0 \Leftrightarrow - 3 S^{2} + 8 S - 4 \geq 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 3 S^{2} + 6 S + 2 S - 4 \geq 0 \Leftrightarrow - 3 S (S - 2) + 2 (S - 2) \geq 0 \\ \Leftrightarrow (S - 2) (- 3 S + 2) \geq 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} S - 2 \geq 0 \\ - 3 S + 2 \geq 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} S - 2 \leq 0 \\ - 3 S + 2 \leq 0 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} S \geq 2 \\ S \leq \frac{2}{3} \end{cases} \Rightarrow S \in \emptyset \\ \{\begin{cases} S \leq 2 \\ S \geq \frac{2}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \frac{2}{3} \leq S \leq 2 \end{array} \end{array}$

Do đó GTNN của biểu thức $S = x_{1} + x_{2}$ bằng $\frac{2}{3}$ và GTLN của biểu thức $S = x_{1} + x_{2}$ bằng 2.

Với $S = \frac{2}{3}$ ta có :

$\begin{array}{l} \frac{m^{2} + 2 m + 2}{m^{2} + m + 1} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow 3 (m^{2} + 2 m + 2) = 2 (m^{2} + m + 1) \\ \Leftrightarrow m^{2} + 4 m + 4 = 0 \Leftrightarrow {(m + 2)}^{2} = 0 \Leftrightarrow m = - 2 (t m) \end{array}$

Với S = 2 ta có :

$\begin{array}{l} \frac{m^{2} + 2 m + 2}{m^{2} + m + 1} = 2 \Rightarrow m^{2} + 2 m + 2 = 2 m^{2} + 2 m + 2 \\ \Leftrightarrow m^{2} = 0 \Leftrightarrow m = 0 (t m) \end{array}$

Vậy GTNN của $S = x_{1} + x_{2}$ bằng $\frac{2}{3}$ đạt được khi m = -2

Và GTLN của biểu thức $S = x_{1} + x_{2}$ bằng 2 đạt được khi m = 0

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Nhà bạn Hoàng có một mảnh vườn hình chữ nhật, chiều dài lớn hơn chiều rộng 6m. Diện tích của mảnh vườn bằng $216 m^{2}$ Tính chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn nhà bạn Hoàng.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi chiều rộng của mảnh vườn nhà bạn Hoàng là $x (m) (x > 0)$

Vì chiều dài lớn hơn chiều rộng 6m nên chiều dài mảnh vườn là x + 6 (m)

Do diện tích của mảnh vườn là $216 m^{2}$ nên ta có phương trình :

$x (x + 6) = 216 \Leftrightarrow x^{2} + 6 x - 216 = 0$

Ta có $Δ' = 3^{2} + 216 = 225 = 15^{2} > 0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

$[\begin{array}{l} x_{1} = - 3 + 15 = 12 (t m) \\ x_{2} = - 3 - 15 = - 18 (k t m) \end{array}$

Vậy chiều rộng là 12m và chiều dài của mảnh vườn là 12 + 6 = 18 (m)

Vậy chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn nhà bạn Hoàng lần lượt là 12m và 18m

Câu 2

Cho tam giác ABC vuông tại A có các cạnh AB = 9cm, AC = 12cm

a) Tính độ dài cạnh BC

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác ABC vuông tại A, ta có :

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 9^{2} + 12^{2} = 225 \Rightarrow B C = \sqrt{225} = 15 c m$

Vậy BC = 15 cm

Câu 3