Cho phương trình $(m^{2} + m + 1) x^{2} - (m^{2} + 2 m + 2) x - 1 = 0$ (m là tham số)

Giả sử $x_{1}; x_{2}$ là các nghiệm của phương trình trên. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = x_{1} + x_{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương trình (1) có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ khi và chỉ khi

$Δ \geq 0 \Rightarrow {(m^{2} + 2 m + 2)}^{2} + 4 (m^{2} + m + 1) \geq 0$ (luôn đúng với mọi m)

Nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}; x_{2}$

Khi đó, áp dụng định lý Vi-et ta có :

$S = x_{1} + x_{2} = \frac{m^{2} + 2 m + 2}{m^{2} + m + 1}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow m^{2} S + m S + S = m^{2} + 2 m + 2 \\ \Leftrightarrow (S - 1) m^{2} + (S - 2) m + S - 2 = 0 (*) \end{array}$

Th1: $S = 1 \Rightarrow - m + 1 - 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 1$

Th2: $S \neq 1$ . Khi đó phương trình (*) có :

$\begin{array}{l} Δ_{m} = {(S - 2)}^{2} - 4 (S - 1) (S - 2) \\ = S^{2} - 4 S + 4 - 4 (S^{2} - 3 S + 2) = - 3 S^{2} + 8 S - 4 \end{array}$

Để tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = x_{1} + x_{2}$ thì phương trình (*) phải có nghiệm

Khi đó ta có : $Δ_{m} \geq 0 \Leftrightarrow - 3 S^{2} + 8 S - 4 \geq 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 3 S^{2} + 6 S + 2 S - 4 \geq 0 \Leftrightarrow - 3 S (S - 2) + 2 (S - 2) \geq 0 \\ \Leftrightarrow (S - 2) (- 3 S + 2) \geq 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} S - 2 \geq 0 \\ - 3 S + 2 \geq 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} S - 2 \leq 0 \\ - 3 S + 2 \leq 0 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} S \geq 2 \\ S \leq \frac{2}{3} \end{cases} \Rightarrow S \in \emptyset \\ \{\begin{cases} S \leq 2 \\ S \geq \frac{2}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \frac{2}{3} \leq S \leq 2 \end{array} \end{array}$

Do đó GTNN của biểu thức $S = x_{1} + x_{2}$ bằng $\frac{2}{3}$ và GTLN của biểu thức $S = x_{1} + x_{2}$ bằng 2.

Với $S = \frac{2}{3}$ ta có :

$\begin{array}{l} \frac{m^{2} + 2 m + 2}{m^{2} + m + 1} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow 3 (m^{2} + 2 m + 2) = 2 (m^{2} + m + 1) \\ \Leftrightarrow m^{2} + 4 m + 4 = 0 \Leftrightarrow {(m + 2)}^{2} = 0 \Leftrightarrow m = - 2 (t m) \end{array}$

Với S = 2 ta có :

$\begin{array}{l} \frac{m^{2} + 2 m + 2}{m^{2} + m + 1} = 2 \Rightarrow m^{2} + 2 m + 2 = 2 m^{2} + 2 m + 2 \\ \Leftrightarrow m^{2} = 0 \Leftrightarrow m = 0 (t m) \end{array}$

Vậy GTNN của $S = x_{1} + x_{2}$ bằng $\frac{2}{3}$ đạt được khi m = -2

Và GTLN của biểu thức $S = x_{1} + x_{2}$ bằng 2 đạt được khi m = 0

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Nhà bạn Hoàng có một mảnh vườn hình chữ nhật, chiều dài lớn hơn chiều rộng 6m. Diện tích của mảnh vườn bằng $216 m^{2}$ Tính chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn nhà bạn Hoàng.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi chiều rộng của mảnh vườn nhà bạn Hoàng là $x (m) (x > 0)$

Vì chiều dài lớn hơn chiều rộng 6m nên chiều dài mảnh vườn là x + 6 (m)

Do diện tích của mảnh vườn là $216 m^{2}$ nên ta có phương trình :

$x (x + 6) = 216 \Leftrightarrow x^{2} + 6 x - 216 = 0$

Ta có $Δ' = 3^{2} + 216 = 225 = 15^{2} > 0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

$[\begin{array}{l} x_{1} = - 3 + 15 = 12 (t m) \\ x_{2} = - 3 - 15 = - 18 (k t m) \end{array}$

Vậy chiều rộng là 12m và chiều dài của mảnh vườn là 12 + 6 = 18 (m)

Vậy chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn nhà bạn Hoàng lần lượt là 12m và 18m

Câu 2

Cho tam giác ABC vuông tại A có các cạnh AB = 9cm, AC = 12cm

a) Tính độ dài cạnh BC

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác ABC vuông tại A, ta có :

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 9^{2} + 12^{2} = 225 \Rightarrow B C = \sqrt{225} = 15 c m$

Vậy BC = 15 cm

Câu 3