Câu hỏi:

13/07/2024 368

Cho phương trình $(m^{2} + m + 1) x^{2} - (m^{2} + 2 m + 2) x - 1 = 0$ (m là tham số)

Giả sử $x_{1}; x_{2}$ là các nghiệm của phương trình trên. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = x_{1} + x_{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương trình (1) có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ khi và chỉ khi

$Δ \geq 0 \Rightarrow {(m^{2} + 2 m + 2)}^{2} + 4 (m^{2} + m + 1) \geq 0$ (luôn đúng với mọi m)

Nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}; x_{2}$

Khi đó, áp dụng định lý Vi-et ta có :

$S = x_{1} + x_{2} = \frac{m^{2} + 2 m + 2}{m^{2} + m + 1}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow m^{2} S + m S + S = m^{2} + 2 m + 2 \\ \Leftrightarrow (S - 1) m^{2} + (S - 2) m + S - 2 = 0 (*) \end{array}$

Th1: $S = 1 \Rightarrow - m + 1 - 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 1$

Th2: $S \neq 1$ . Khi đó phương trình (*) có :

$\begin{array}{l} Δ_{m} = {(S - 2)}^{2} - 4 (S - 1) (S - 2) \\ = S^{2} - 4 S + 4 - 4 (S^{2} - 3 S + 2) = - 3 S^{2} + 8 S - 4 \end{array}$

Để tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = x_{1} + x_{2}$ thì phương trình (*) phải có nghiệm

Khi đó ta có : $Δ_{m} \geq 0 \Leftrightarrow - 3 S^{2} + 8 S - 4 \geq 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 3 S^{2} + 6 S + 2 S - 4 \geq 0 \Leftrightarrow - 3 S (S - 2) + 2 (S - 2) \geq 0 \\ \Leftrightarrow (S - 2) (- 3 S + 2) \geq 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} S - 2 \geq 0 \\ - 3 S + 2 \geq 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} S - 2 \leq 0 \\ - 3 S + 2 \leq 0 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} S \geq 2 \\ S \leq \frac{2}{3} \end{cases} \Rightarrow S \in \emptyset \\ \{\begin{cases} S \leq 2 \\ S \geq \frac{2}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \frac{2}{3} \leq S \leq 2 \end{array} \end{array}$

Do đó GTNN của biểu thức $S = x_{1} + x_{2}$ bằng $\frac{2}{3}$ và GTLN của biểu thức $S = x_{1} + x_{2}$ bằng 2.

Với $S = \frac{2}{3}$ ta có :

$\begin{array}{l} \frac{m^{2} + 2 m + 2}{m^{2} + m + 1} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow 3 (m^{2} + 2 m + 2) = 2 (m^{2} + m + 1) \\ \Leftrightarrow m^{2} + 4 m + 4 = 0 \Leftrightarrow {(m + 2)}^{2} = 0 \Leftrightarrow m = - 2 (t m) \end{array}$

Với S = 2 ta có :

$\begin{array}{l} \frac{m^{2} + 2 m + 2}{m^{2} + m + 1} = 2 \Rightarrow m^{2} + 2 m + 2 = 2 m^{2} + 2 m + 2 \\ \Leftrightarrow m^{2} = 0 \Leftrightarrow m = 0 (t m) \end{array}$

Vậy GTNN của $S = x_{1} + x_{2}$ bằng $\frac{2}{3}$ đạt được khi m = -2

Và GTLN của biểu thức $S = x_{1} + x_{2}$ bằng 2 đạt được khi m = 0

Nhà sách vietjack

Xem thêm kho sách »

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Nhà bạn Hoàng có một mảnh vườn hình chữ nhật, chiều dài lớn hơn chiều rộng 6m. Diện tích của mảnh vườn bằng $216 m^{2}$ Tính chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn nhà bạn Hoàng.

Xem đáp án » 13/07/2024 11,705

Câu 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A có các cạnh AB = 9cm, AC = 12cm

a) Tính độ dài cạnh BC

Xem đáp án » 13/07/2024 7,898

Câu 3:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, $∠ B A C = 45 °$ , Vẽ các đường cao BD, CE của tam giác ABC. Gọi H là giao điểm của BD và

a) Chứng minh ADHE là tứ giác nội tiếp

Xem đáp án » 13/07/2024 3,880

Câu 4:

b) Cho hai đường thẳng $(d_{1}) : y = 3 x - 2$ và $(d_{2}) : y = - 2 x + 1$

Hãy cho biết vị trí tương đối của hai đường thẳng trên ? Vì sao ?

Xem đáp án » 13/07/2024 3,574

Câu 5:

b) Kẻ đường cao AH. Tính độ dài đoạn thẳng AH.

Xem đáp án » 13/07/2024 2,970

Câu 6:

a) Thực hiện phép tính : $2 \sqrt{25} - \sqrt{16}$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,414

Câu 7:

c) Giải phương trình 2x - 3 = 7

Xem đáp án » 13/07/2024 2,353

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho phương trình m2+m+1x2−m2+2m+2x−1=0 (m là tham số) Giả sử x1;x2là các nghiệm của phương trình trên. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=x1+x2

Bình luận

Nhà bạn Hoàng có một mảnh vườn hình chữ nhật, chiều dài lớn hơn chiều rộng 6m. Diện tích của mảnh vườn bằng 216m2 Tính chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn nhà bạn Hoàng.

Cho tam giác ABC vuông tại A có các cạnh AB = 9cm, AC = 12cm a) Tính độ dài cạnh BC

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn,∠BAC=45° , Vẽ các đường cao BD, CE của tam giác ABC. Gọi H là giao điểm của BD và a) Chứng minh ADHE là tứ giác nội tiếp

b) Cho hai đường thẳng d1:y=3x−2 và d2:y=−2x+1 Hãy cho biết vị trí tương đối của hai đường thẳng trên ? Vì sao ?

b) Kẻ đường cao AH. Tính độ dài đoạn thẳng AH.

a) Thực hiện phép tính :225−16

c) Giải phương trình 2x - 3 = 7

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho phương trình $(m^{2} + m + 1) x^{2} - (m^{2} + 2 m + 2) x - 1 = 0$ (m là tham số)

Giả sử $x_{1}; x_{2}$ là các nghiệm của phương trình trên. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = x_{1} + x_{2}$

Nhà bạn Hoàng có một mảnh vườn hình chữ nhật, chiều dài lớn hơn chiều rộng 6m. Diện tích của mảnh vườn bằng $216 m^{2}$ Tính chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn nhà bạn Hoàng.

Cho tam giác ABC vuông tại A có các cạnh AB = 9cm, AC = 12cm

a) Tính độ dài cạnh BC

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, $∠ B A C = 45 °$ , Vẽ các đường cao BD, CE của tam giác ABC. Gọi H là giao điểm của BD và

a) Chứng minh ADHE là tứ giác nội tiếp

b) Cho hai đường thẳng $(d_{1}) : y = 3 x - 2$ và $(d_{2}) : y = - 2 x + 1$

Hãy cho biết vị trí tương đối của hai đường thẳng trên ? Vì sao ?

a) Thực hiện phép tính : $2 \sqrt{25} - \sqrt{16}$