Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1;2;1) và hai đường thẳng $d_1: \frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{-1}; d_2: \frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-2}{1}$. Viết phương trình đường thẳng d song song với mặt phẳng (P):2x+3y+4z-6=0, cắt đường thẳng d₁, d₂ lần lượt tại M và N sao cho $\stackrel{\rightharpoonup }{AM}.\stackrel{\rightharpoonup }{AN}=5$ và điểm N có hoành độ nguyên.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(-4; 0;0) và đường thẳng$∆: \left\{\begin{array}{c}x=1-t\\ y=-2+3t\\ z=-2t\end{array}\right.$ . Gọi H(a;b;c) là hình chiếu của M lên $∆$. Tính a+b+c?

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (1;2;4), B (0;0;1) và mặt cầu (S): ${(x+1)}^2+{(y-1)}^2+z^2=4$. Mặt phẳng (P): ax+by+cz+3=0 đi qua A, B và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T = a + b + c.

Có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng $\left(\alpha \right): x+y+z=0$ đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S): $x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z=0$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;-1) và mặt phẳng (P) có phương trình x + y + 2z -13 = 0. Mặt cầu (S) đi qua A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) và có bán kính nhỏ nhất. Điểm I (a;b;c) là tâm của mặt cầu (S), tính giá trị của biểu thức $T=a^2+2b^2+3c^2$

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho (P)là mặt phẳng qua đường thẳng $d: \frac{x-4}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z+4}{-4}$ và tiếp xúc với mặt cầu $\left(S\right): {(x-3)}^2+{(y+3)}^2+{(z-1)}^2=9$  . Khi đó (P)  song song với mặt phẳng nào sau đây?

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi M là điểm biểu diễn số phức z=12i-5  , M’  là điểm biểu diễn cho số phức $z\text{'}=\frac{i+1}{2}z$ . Tính diện tích tam giác OMM’.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P): 3x+y+z=0 và đường thẳng $d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z+3}{2}$. Gọi  là đường thẳng nằm trong (P), cắt và vuông góc với d. Hệ phương trình nào là phương trình tham số của $∆$?