Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn a +b =4ab Chứng minh rằng: a4b2+1+b4a2+1≥12

Ta có: a+b=4ab⇒1a+1b=4≥4a+b ⇒a+b≥1⇒a+b2≥a+b Ta có: a4b2+1=a24ab2+a=a2b2+ab+a Tương tự: b4a2+1=b2a2+ab+b ⇒VT≥a+b2a+b2+a+b≥a+b22a+b2≥12 Dấu "=" xảy ra ⇔a=b=12

Câu hỏi:

06/09/2022 348

Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn a +b =4ab

Chứng minh rằng: $\frac{a}{4 b^{2} + 1} + \frac{b}{4 a^{2} + 1} \geq \frac{1}{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $a + b = 4 a b \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 4 \geq \frac{4}{a + b}$

$\Rightarrow a + b \geq 1 \Rightarrow {(a + b)}^{2} \geq a + b$

Ta có:

$\frac{a}{4 b^{2} + 1} = \frac{a^{2}}{4 a b^{2} + a} = \frac{a^{2}}{b^{2} + a b + a}$

Tương tự: $\frac{b}{4 a^{2} + 1} = \frac{b^{2}}{a^{2} + a b + b}$

$\Rightarrow V T \geq \frac{{(a + b)}^{2}}{{(a + b)}^{2} + (a + b)} \geq \frac{{(a + b)}^{2}}{2 {(a + b)}^{2}} \geq \frac{1}{2}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}$

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường tròn (O) đường kính AB điểm I nằm giữa hai điểm A và O (I khác A và O). Kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại I, đường thẳng này cắt đường tròn (O) tại M và N. Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng BM và AN, qua S kẻ đường thẳng song song với MN đường thẳng này cắt các đường thẳng AB và AM lần lượt tại K và H

a,Chứng minh rằng tứ giác SKAM nội tiếp

Xem đáp án

Lời giải

Cho đường tròn (O) đường kính AB điểm I nằm giữa hai điểm A và O (I khác A và O) (ảnh 1)

a, Vì $M N / / S H$ mà $B I ⊥ M N \Rightarrow B K ⊥ S H \Rightarrow \hat{S K A} = 90^{0}$

$\hat{A M B} = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) $\Rightarrow \hat{S M A} = 90^{0}$

Tứ giác SKAM có $\hat{K} + \hat{M} = 90^{0} + 90^{0} = 180^{0} \Rightarrow S K A M$ là tứ giác nội tiếp.

Câu 2

Bác Bình dự định trồng 300 cây cam theo nguyên tắc trồng thành các hàng, mỗi hàng có số cây bằng nhau. Nhưng khi thực hiện bác Bình đã trồng thêm 2 hàng, mỗi hàng thêm 3 cây so với dự kiến ban đầu nên đã trồng được tất cả 391 cây. Tính số cây trên một hàng mà bác Bình dự kiến trồng ban đầu

Xem đáp án

Lời giải

Gọi x là số cây trên 1 hàng $(x \in ℕ *, x < 300)$ $\Rightarrow$ Số hàng là: $\frac{300}{x}$

Theo đề ta có phương trình:

$\begin{array}{l} (\frac{300}{x} + 2) (x + 3) = 391 \\ \Leftrightarrow 300 + 2 x + \frac{900}{x} + 6 = 391 \\ \Leftrightarrow 2 x^{2} - 85 x + 900 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{45}{2} (k t m) \\ x = 20 (t m) \end{array} \end{array}$

Vậy dự định bác Bình trồng 20 cây/ 1 hàng

Câu 3