Chứng minh rằng:

\(kC_n^k = nC_{n - 1}^{k - 1}\) với 1 ≤ k ≤ n.

Lời giải

Số đoạn thẳng có 2 đầu mút là 2 trong n điểm đã cho là: \(C_n^2 = \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}\).

Theo đề, ta có số đoạn thẳng có hai đầu mút là 2 trong n điểm đã cho bằng 78.

Tức là, \[\frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 78\].

Suy ra \[\frac{{\left( {n - 2} \right)!.\left( {n - 1} \right).n}}{{2.\left( {n - 2} \right)!}} = 78\].

Khi đó \[\frac{{\left( {n - 1} \right).n}}{2} = 78\].

Do đó n² – n = 156.

Vì vậy n² – n – 156 = 0.

Suy ra n = 13 hoặc n = –12.

Vì n > 1 nên ta nhận n = 13.

Vậy n = 13 thỏa mãn yêu cầu bài toán.