Câu hỏi:

09/09/2022 4,657

Cho mệnh đề P: "Tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6"?

Xét tính đúng sai của mệnh đề trên và tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề đó.

A. P đúng,

\bar{P}

: "∀n ∈ ℕ, n(n + 1)(n + 2) ⋮ 6";

B. P sai,

\bar{P}

: "∃n ∈ ℕ, n(n + 1)(n + 2) ⋮ 6";

C. P đúng,

\bar{P}

: "∃n ∈ ℕ, n(n + 1)(n + 2) 6";

D. P sai,

\bar{P}

: "∀n ∈ ℕ, n(n + 1)(n + 2) 6".

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 20 câu Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Mệnh đề có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp n, n+1, n+2.

⇒ n(n+1)(n+2)

Với n = 2k ⇒ 2k(2k+1)(2k+2) chia hết 2

Với n = 2k+1 ⇒ (2k+1)(2k+2)(2k+3) = (2k+1).2(k+1)(2k+3) chia hết 2

⇒ n(n+1)(n+2) chia hết 2 (1)

Với n = 3k ⇒ 3k(3k+1)(3k+2) chia hết 3

Với n = 3k + 1 ⇒ (3k + 1)(3k + 2).3(k + 1) chia hết cho 3

Với n = 3k + 2 ⇒ (3k + 2)(3k + 3)(3k + 4) chia hết 3

⇒ n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 6.

Do đó mệnh đề P đúng.

Ta có:

"Tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6"

⟺ P: "∀n ∈ ℕ, n(n + 1)(n + 2) ⋮ 6".

Ta lại có:

+ Phủ định của "∀" là "∃".

+ Phủ định của ⋮ là .

Do đó mệnh đề của định của P là:

$\bar{P}$ : "∃n ∈ ℕ, n(n + 1)(n + 2) 6".

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. "∀n ∈ ℕ, n(n + 1) là số chính phương";

B. "∀n ∈ ℕ, n(n + 1) là số lẻ";

C. "∃n ∈ ℕ, n(n + 1)(n + 2) là số lẻ";

D. "∀n ∈ ℕ, n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 6".

Lời giải

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có:

+ Với n = 1 ⇒ n(n + 1) = 2 không phải là số chính phương ⇒ A sai.

+ Với n = 1 ⇒ n(n + 1) = 2 là số chẵn ⇒ B sai.

Đặt P = n(n + 1)(n + 2)

TH1: n chẵn ⇒ P chẵn

TH2: n lẻ ⇒ (n + 1) chẵn ⇒ P chẵn

Vậy P chẵn ∀n ∈ ℕ ⇒ C sai.

Ta có một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi số đó chia hết cho cả 2 và 3.

⟹ P ⋮ 6 ⟺ $\{\begin{matrix} P ⋮ 2 (*) \\ P ⋮ 3 (* *) \end{matrix}$

(*) Ở trên ta đã chứng minh P luôn chẵn ⇒ P ⋮ 2

(**) P ⋮ 3

TH1: n ⋮ 3 ⇒ P ⋮ 3

TH2: n chia 3 dư 1 ⇒ (n + 2) ⋮ 3 ⇒ P ⋮ 3

TH3: n chia 3 dư 2 ⇒ (n + 1) ⋮ 3 ⇒ P ⋮ 3

Vậy P ⋮ 3, ∀n ∈ ℕ.

⇒ P ⋮ 6.

Do đó mệnh đề ở câu D đúng.

Câu 2

Cho mệnh đề chứa biến P(x) = {x ∈ ℤ : |x² – 2x – 3| = x² + |2x + 3|}. Trong đoạn [-2020; 2021] có bao nhiêu giá trị của x để mệnh đề chứa biến P(x) là mệnh đề đúng?

A. 2020;

B. 2021;

C. 2022;

D. 2023.

Lời giải

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Số giá trị nguyên để mệnh đề P(x) là mệnh đề đúng chính là số nghiệm nguyên của phương trình |x² – 2x – 3| = x² + |2x + 3| (1).

+ Nếu x ≥ $- \frac{3}{2}$ thì ta có:

(1) ⟺ |x² – 2x – 3| = x² + |2x + 3| ⇔ $[\begin{matrix} x^{2} - 2 x - 3 = x^{2} + 2 x + 3 \\ - x^{2} + 2 x + 3 = x^{2} + 2 x + 3 \end{matrix}$ ⇔ $[\begin{matrix} x = - \frac{3}{2} \\ x = 0 \end{matrix}$ .Mà x ∈ ℤ và x ∈ [-2020; 2021] nên x = 0 thỏa mãn.

+ Nếu x < $- \frac{3}{2}$ thì ta có (1) ⟺ |x² – 2x – 3| = x² – 2x – 3. Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối, kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm của (1) trong trường hợp này:

(1) $\Leftrightarrow \{\begin{matrix} x^{2} - 2 x - 3 \geq 0 \\ x < - \frac{3}{2} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} [\begin{matrix} x \leq - 1 \\ x \geq 3 \end{matrix} \\ x < - \frac{3}{2} \end{matrix} \Leftrightarrow x < - \frac{3}{2}$