Cho mệnh đề chứa biến P(x) = {x ∈ ℤ : |x² – 2x – 3| = x² + |2x + 3|}. Trong đoạn [-2020; 2021] có bao nhiêu giá trị của x để mệnh đề chứa biến P(x) là mệnh đề đúng?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có:

+ Với n = 1 ⇒ n(n + 1) = 2 không phải là số chính phương ⇒ A sai.

+ Với n = 1 ⇒ n(n + 1) = 2 là số chẵn ⇒ B sai.

Đặt P = n(n + 1)(n + 2)

TH1: n chẵn ⇒ P chẵn

TH2: n lẻ ⇒ (n + 1) chẵn ⇒ P chẵn

Vậy P chẵn ∀n ∈ ℕ ⇒ C sai.

Ta có một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi số đó chia hết cho cả 2 và 3.

⟹ P ⋮ 6 ⟺ $\left\{\begin{array}{c}P⋮2(*)\\ P⋮3(**)\end{array}\right.$

(*) Ở trên ta đã chứng minh P luôn chẵn ⇒ P ⋮ 2

(**) P ⋮ 3

TH1: n ⋮ 3 ⇒ P ⋮ 3

TH2: n chia 3 dư 1 ⇒ (n + 2) ⋮ 3 ⇒ P ⋮ 3

TH3: n chia 3 dư 2 ⇒ (n + 1) ⋮ 3 ⇒ P ⋮ 3

Vậy P ⋮ 3, ∀n ∈ ℕ.

⇒ P ⋮ 6.

Do đó mệnh đề ở câu D đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp n, n+1, n+2.

⇒ n(n+1)(n+2)

Với n = 2k ⇒ 2k(2k+1)(2k+2) chia hết 2

Với n = 2k+1 ⇒ (2k+1)(2k+2)(2k+3) = (2k+1).2(k+1)(2k+3) chia hết 2

⇒ n(n+1)(n+2) chia hết 2 (1)

Với n = 3k ⇒ 3k(3k+1)(3k+2) chia hết 3 

Với n = 3k + 1 ⇒ (3k + 1)(3k + 2).3(k + 1) chia hết cho 3

Với n = 3k + 2 ⇒ (3k + 2)(3k + 3)(3k + 4) chia hết 3

⇒ n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 6.

Do đó mệnh đề P đúng.

Ta có:

"Tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6"

⟺ P: "∀n ∈ ℕ, n(n + 1)(n + 2) ⋮ 6".

Ta lại có:

+ Phủ định của "∀" là "∃".

+ Phủ định của ⋮ là .

Do đó mệnh đề của định của P là:

 $\overline{P}$: "∃n ∈ ℕ, n(n + 1)(n + 2)  6".