Cho phương trình x² + 4x + m + 1 = 0 (1), với m là tham số.

a) Xác định các hệ số a, b, b’, c của phương trình (1).

b) Giải phương trình (1) khi m = −6.

c) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm.

d) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn x₁² + x₂² = 10.

a) Phương trình x² + 4x + m + 1 = 0 có:

a = 1, b = 4, c = m + 1, b’ = $\frac{b}{2}$= 2.

b) Thay m = −6 vào phương trình (1), ta được phương trình: x² + 4x – 5 = 0

Û x² – x + 5x – 5 = 0

Û x(x – 1) + 5(x – 1) = 0

Û (x – 1)(x + 5) = 0

Û $\left[\begin{array}{c}x-1=0\\ x+5=0\end{array}\right.$

Û $\left[\begin{array}{c}x=1\\ x=-5\end{array}\right.$

Vậy tập nghiệm phương trình (1) là S = {1; −5}.

c) x² + 4x + m + 1 = 0

∆ = b² – 4ac = 4² – 4.1.(m + 1)

= 16 – 4m – 4 = 12 – 4m

Để phương trình (1) có nghiệm thì ∆ ≥ 0 Û 12 – 4m ≥ 0

Û 4m ≤ 12 Û m ≤ 3.

Vậy với m ≤ 3 thì phương trình (1) có nghiệm.

d) Theo định lý Vi-et, ta có:

S = x₁ + x₂ =  $\frac{-b}{a}$= −4;

P = x₁x₂ = $\frac{c}{a}$= m + 1.

Ta có: x₁² + x₂² = 10

Û (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ = 10

Û (−4)² – 2.(m + 1) = 10

Û 2(m + 1) = 6

Û m + 1 = 3 Û m = 2.

Vậy để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán thì m = 2.