Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), AB < AC. Các đường cao AD và BK cắt nhau tại H (D Î BC, K Î AC).

a) Chứng minh tứ giác CDHK nội tiếp được đường tròn.

b) Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E. Chứng minh  $\widehat{CBE}=\widehat{CAE}$.

c) Chứng minh BC là tia phân giác của  $\widehat{HBE}$.

a) Phương trình x² + 4x + m + 1 = 0 có:

a = 1, b = 4, c = m + 1, b’ = $\frac{b}{2}$= 2.

b) Thay m = −6 vào phương trình (1), ta được phương trình: x² + 4x – 5 = 0

Û x² – x + 5x – 5 = 0

Û x(x – 1) + 5(x – 1) = 0

Û (x – 1)(x + 5) = 0

Û $\left[\begin{array}{c}x-1=0\\ x+5=0\end{array}\right.$

Û $\left[\begin{array}{c}x=1\\ x=-5\end{array}\right.$

Vậy tập nghiệm phương trình (1) là S = {1; −5}.

c) x² + 4x + m + 1 = 0

∆ = b² – 4ac = 4² – 4.1.(m + 1)

= 16 – 4m – 4 = 12 – 4m

Để phương trình (1) có nghiệm thì ∆ ≥ 0 Û 12 – 4m ≥ 0

Û 4m ≤ 12 Û m ≤ 3.

Vậy với m ≤ 3 thì phương trình (1) có nghiệm.

d) Theo định lý Vi-et, ta có:

S = x₁ + x₂ =  $\frac{-b}{a}$= −4;

P = x₁x₂ = $\frac{c}{a}$= m + 1.

Ta có: x₁² + x₂² = 10

Û (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ = 10

Û (−4)² – 2.(m + 1) = 10

Û 2(m + 1) = 6

Û m + 1 = 3 Û m = 2.

Vậy để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán thì m = 2.

a) Vì 2 > 0 nên hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0.

b) Bảng giá trị.

Trên mặt phẳng tọa độ lấy các điểm: A(−1; 2); B$\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$; O(0; 0), C$\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$; D(1; 2).