3. Chứng minh EM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF.

3) Chứng minh EM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆BEF

Trong tứ giác BFEC có: $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}={90}^o$ (vì BE ^ AC và CF ^ AB)

mà hai góc này cùng chắn cạnh BC nên tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC.

Hay ∆BEF nội tiếp đường tròn đường kính BC.

Vì M là trung điểm của cạnh huyền AH trong tam giác vuông AEH nên ME = MH Þ ∆MEH cân tại M

Þ $\widehat{MEH}=\widehat{MHE}$ hay $\widehat{MEB}=\widehat{AHE}$ mà $\widehat{AHE}$ phụ $\widehat{HAE}$ (∆AHE vuông tại E)

Þ $\widehat{MEB}$ phụ $\widehat{HAE}$ hay $\widehat{MEB}$ phụ $\widehat{DAC}$

Mặt khác $\widehat{ACD}$ phụ $\widehat{DAC}$ (∆ADC vuông tại D) hay $\widehat{ECB}$ phụ $\widehat{DAC}$

Vậy  $\widehat{MEB}=\widehat{ECB}$ (cùng phụ $\widehat{DAC}$)

Trong đường tròn ngoại tiếp ∆BEF có $\widehat{MEB}=\widehat{ECB}$ Þ ME là tiếp tuyến tại E của đường tròn này (vì có góc tạo bởi tia tiếp tuyến và góc nội tiếp cùng chắn cung EB)

Cách 2: Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh ME ^ EO

Trong tứ giác BFEC có: $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}={90}^o$ (vì BE ^ AC và CF ^ AB) mà hai góc này cùng chắn cạnh BC nên tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn có tâm O là trung điểm BC.

Hay ∆BEF nội tiếp đường tròn tâm O.

Vì M là trung điểm của cạnh huyền AH trong tam giác vuông AEH nên ME = MH Þ ∆MEH cân tại M

Þ $\widehat{MEH}=\widehat{MHE}$ mà $\widehat{MHE}=\widehat{BHD}$ nên $\widehat{MEH}=\widehat{BHD}$ (1)

Tương tự:

Lại có O là trung điểm của cạnh huyền BC trong tam giác vuông BEC nên OE = OB

Þ ∆OBE cân tại O

Þ $\widehat{BEO}=\widehat{EBO}$ hay $\widehat{HEO}=\widehat{HBD}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\widehat{MEH}+\widehat{HEO}=\widehat{BHD}+\widehat{HBD}$

$\Rightarrow \widehat{MEO}={90}^o$ (vì ∆HBD vuông tại D)

Þ ME ^ OE mà E thuộc đường tròn (O) ngoại tiếp ∆BEF