Chuyên đề 8: Hình học (có đáp án)

110 người thi tuần này 5.0 12.9 K lượt thi 191 câu hỏi 90 phút

Câu 1/191

Cho điểm C thuộc nửa đường tròn đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn đó (Ax nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB chứa nửa đường tròn). Tia phân giác của góc CAx cắt nửa đường tròn tại D. Kéo dài AD vafBC cắt nhau tại E. Kẻ EH vuông góc với Ax tại H.

a) Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp đường tròn

Xem đáp án

Lời giải

Cho điểm C thuộc nửa đường tròn đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn đó (Ax nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB chứa nửa đường tròn). (ảnh 1)

a) Ta có $\hat{A C B} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra $\hat{A C E} = 90 °$ (kề bù)

Xét tứ giác AHEC ta có:

\hat{A C E} = \hat{A H E} = 90 °

, suy ra tứ giác AHEC nội tiếp đường tròn đường kính AE (tổng hai góc đối diện bằng 180^o)

Câu 2/191

b) Chứng minh $\hat{A B D} = \hat{B D C}$

Xem đáp án

Lời giải

b) Ta có ABCD nội tiếp nên $\hat{B D C} = \hat{D A C}$ (1) (cùng nhìn cạnh DC).

Lại có: $\hat{A B D} = \frac{1}{2} \overset{⏜}{A D}$ (góc nội tiếp).

$\hat{D A x} = \frac{1}{2} \overset{⏜}{A D}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung).

Suy ra $\hat{A B D} = \hat{D A x}$ .

Mà $\hat{D A x} = \hat{D A C}$ (do ADlà phân giác).

Suy ra $\hat{A B D} = \hat{D A C}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{A B D} = \hat{B D C}$

Câu 3/191

c) Chứng minh tam giác ABE cân

Xem đáp án

Lời giải

c) Xét $Δ D A B$ và $Δ D E B$ có:

$\hat{A D B} = \hat{E D B} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn – kề bù).

BD chung.

$\hat{A B D} = \hat{B D C}$ (cmt).

$\Rightarrow Δ D A B = Δ D E B$ (g-c-g).

$\Rightarrow B A = B E$ (tương ứng).

$\Rightarrow Δ A B E$ cân tại

Câu 4/191

d) Tia BD cắt AC và Ax lần lượt tại F và K. Chứng minh AKEF là hình thoi

Xem đáp án

Lời giải

d) Theo câu c) $Δ D A B = Δ D E B \Rightarrow D A = D E \Rightarrow D$ là trung điểm AE (3)

Xét $Δ D A F$ và $Δ D A K$ có:

$\hat{A D F} = \hat{A D K} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn – kề bù).

AD chung.

$\hat{D A F} = \hat{D A K}$ (do ADlà phân giác).

$\Rightarrow Δ D A F = Δ D A K$ (g-c-g)

$\Rightarrow D K = D F$ (tương ứng).

$\Rightarrow D$ là trung điểm KF (4)

Từ (3) và (4) ta có AKEF là hình bình hành (tứ giác có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

Mà

A E ⊥ K F \Rightarrow A K E F

là hình thoi.

Câu 5/191

Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên OA lấy điểm H (H khác O, H khác A). Qua H dựng đường thẳng vuông góc với AB, đường thẳng này cắt nửa đường tròn tại C. Trên cung BC lấy điểm M (M khác B, M khác C). Dựng CK vuông góc với AM tại K.
a) Chứng minh tứ giác ACKH nội tiếp đường tròn

Xem đáp án

Lời giải

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Trên OA lấy điểm H (H khác O, H khác A). (ảnh 1)

Ta có $\hat{C H A} = \hat{C K A} = 90 ° \Rightarrow$ Tứ giác ACHK nội tiếp đường tròn đường kính AC

Câu 6/191

b) Chứng minh $\hat{C H K} = \hat{C B M} .$

Xem đáp án

Lời giải

$\hat{C H K} = \hat{C A K} = \hat{C A M}$ (do tứ giác ACKH nội tiếp). Mà $\hat{C A M} = \hat{C B M}$ (cùng chắn cung CM).

Vậy $\hat{C H K} = \hat{C B M}$ .

Câu 7/191

c) Gọi N là giao điểm của AM và CH. Tính theo R giá trị biểu thức $P = A M . A N + B C^{2} .$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $\hat{A C N} = \hat{A B C} (= 90 ° - \hat{H C B}); \hat{A B C} = \hat{A M C} \Rightarrow \hat{A C N} = \hat{A M C}$

Do đó $Δ A C N ∽ Δ A M C$ (g.g) $\Rightarrow \frac{A N}{A C} = \frac{A C}{A M} \Rightarrow A M . A N = A C^{2} .$

C thuộc nửa đường tròn đường kính AB nên tam giác ABC vuông tại $C, \Rightarrow A C^{2} + B C^{2} = A B^{2}$ .

Vậy $P = A M . A N + B C^{2} = A B^{2} = 4 R^{2} .$

Câu 8/191

Cho $Δ A B C$ nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C cắt nhau tại D. OD cắt BC tại E. Qua D vẽ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt AC tại K. đường thẳng OK cắt AB tại F. Tính tỉ số diện tích $\frac{S_{Δ A B F}}{S_{Δ A B C}}$

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C cắt nhau tại D. (ảnh 1)

Ta có $\hat{B A C} = \hat{D B C}$ (cùng chắn $\overset{⏜}{B C}$ ), $\hat{B A C} = \hat{D K C}$ (đồng vị) $\Rightarrow \hat{D B C} = \hat{D K C}$

$\Rightarrow D B K C$ nội tiếp.

Mà: $\hat{O B D} = \hat{O C D} = 90 °$ nên các điểm B, C, D thuộc đường tròn đường kính OD

$\Rightarrow K$ cũng thuộc đường tròn đường kính OD

$\Rightarrow O K ⊥ K D \Rightarrow O K ⊥ A B \Rightarrow F$ là trung điểm của AB.

Do $O B = O C, D B = D C \Rightarrow O D$ là trung trực của BC

$\Rightarrow E$ là trung điểm của BC

Hai tam giác BEF và BAC đồng dạng có tỉ lệ đồng dạng là $\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{S_{Δ B E F}}{S_{Δ A B C}} = \frac{1}{4} .$

Câu 9/191