Chuyên đề 8: Hình học (có đáp án)

Câu 1

Cho điểm C thuộc nửa đường tròn đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn đó (Ax nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB chứa nửa đường tròn). Tia phân giác của góc CAx cắt nửa đường tròn tại D. Kéo dài AD vafBC cắt nhau tại E. Kẻ EH vuông góc với Ax tại H.

a) Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp đường tròn

Xem đáp án

Lời giải

Cho điểm C thuộc nửa đường tròn đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn đó (Ax nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB chứa nửa đường tròn). (ảnh 1)

a) Ta có $\hat{A C B} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra $\hat{A C E} = 90 °$ (kề bù)

Xét tứ giác AHEC ta có:

\hat{A C E} = \hat{A H E} = 90 °

, suy ra tứ giác AHEC nội tiếp đường tròn đường kính AE (tổng hai góc đối diện bằng 180^o)

Câu 2

b) Chứng minh $\hat{A B D} = \hat{B D C}$

Xem đáp án

Lời giải

b) Ta có ABCD nội tiếp nên $\hat{B D C} = \hat{D A C}$ (1) (cùng nhìn cạnh DC).

Lại có: $\hat{A B D} = \frac{1}{2} \overset{⏜}{A D}$ (góc nội tiếp).

$\hat{D A x} = \frac{1}{2} \overset{⏜}{A D}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung).

Suy ra $\hat{A B D} = \hat{D A x}$ .

Mà $\hat{D A x} = \hat{D A C}$ (do ADlà phân giác).

Suy ra $\hat{A B D} = \hat{D A C}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{A B D} = \hat{B D C}$

Câu 3

c) Chứng minh tam giác ABE cân

Xem đáp án

Lời giải

c) Xét $Δ D A B$ và $Δ D E B$ có:

$\hat{A D B} = \hat{E D B} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn – kề bù).

BD chung.

$\hat{A B D} = \hat{B D C}$ (cmt).

$\Rightarrow Δ D A B = Δ D E B$ (g-c-g).

$\Rightarrow B A = B E$ (tương ứng).

$\Rightarrow Δ A B E$ cân tại

Câu 4

d) Tia BD cắt AC và Ax lần lượt tại F và K. Chứng minh AKEF là hình thoi

Xem đáp án

Lời giải

d) Theo câu c) $Δ D A B = Δ D E B \Rightarrow D A = D E \Rightarrow D$ là trung điểm AE (3)

Xét $Δ D A F$ và $Δ D A K$ có:

$\hat{A D F} = \hat{A D K} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn – kề bù).

AD chung.

$\hat{D A F} = \hat{D A K}$ (do ADlà phân giác).

$\Rightarrow Δ D A F = Δ D A K$ (g-c-g)

$\Rightarrow D K = D F$ (tương ứng).

$\Rightarrow D$ là trung điểm KF (4)

Từ (3) và (4) ta có AKEF là hình bình hành (tứ giác có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

Mà

A E ⊥ K F \Rightarrow A K E F

Nâng cấp VIP

Câu 105

c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh rằng IC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 106

Lúc 6h sáng, bạn An đi xe đạp từ nhà (điểm A) đến trường (điểm B) phải leo lên và xuống một con dốc (như hình vẽ bên dưới). Cho biết đoạn thẳng AB dài 762m, góc A bằng 6^o và góc B bằng 4^o.

a) Tính chiều cao h của con dốc

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 187

Một bình hình trụ có đường kính đáy 1dm, chiều cao 2dm bên trong có chứa viên bi hình cầu có bán kính 4 cm. Hỏi phải đổ vào bình bao nhiêu lít nước để nước đầy bình. Cho biết:

$V = π r^{2} . h$ với r là bán kính đáy; h là chiều cao hình trụ.

$V = \frac{4}{3} π R^{3}$ với R là bán kính hình cầu.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 188

Kính lão đeo mắt của người già thường là loại thấu kính hội tụ. Bạn An đã dùng một chiếc kính lão của ông ngoại để tạo ra hình ảnh của một cây nến trên một tấm màn. Xét cây nến là một vật sáng có hình dạng là đoạn AB đặt vuông góc với trục chính của một thấu kính hội tụ, cách thấu kính một đoạn OA=2cm. Thấu kính có quang tâm O và tiêu điểm F. Vật AB cho ảnh thật A'B' gấp 3 lần AB. Tính tiêu cự (OF') của thấu kính ? Biết rằng đường đi của tia sáng được mô tả trong hình vẽ sau :

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 189

Cho tam giác ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O) có AD, BE là hai đường cao cắt nhau tại H, vẽ đường kính AK của đường tròn (O), kẻ $B F ⊥ A K (F \in A K)$

a) Chứng minh 5 điểm A, B, D, E, F cùng thuộc một đường tròn, xác định tâm I của đường tròn này.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 190

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh 3 điểm H, M, K thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 191

c) Chứng minh IM là đường trung trực của DF

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Chuyên đề 8: Hình học (có đáp án)

🔥 Đề thi HOT:

Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án

Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01

Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Đắk Lắk

15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án

Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án

123 bài tập Nón trụ cầu và hình khối có lời giải

Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án

Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án (Đề số 1)

Nội dung liên quan:

Đề ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án (Mới nhất)

Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2020 có đáp án

Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2019 có đáp án

Bộ 30 đề thi vào 10 môn Toán có lời giải chi tiết

Tổng hợp các bài toán thực tế ôn thi vào 10 Toán 9 có đáp án

Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1)

Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1)

Danh sách câu hỏi:

b) Chứng minh ABD^=BDC^

c) Chứng minh tam giác ABE cân

d) Tia BD cắt AC và Ax lần lượt tại F và K. Chứng minh AKEF là hình thoi

b) Chứng minh CHK^=CBM^.

c) Gọi N là giao điểm của AM và CH. Tính theo R giá trị biểu thức P=AM.AN+BC2.

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (C) tâm O bán kính R. Hai đường cao AE và BK tam giác ABC cắt nhau tại H (với E thuộc BC, K thuộc AC). 1. Chứng minh rằng tứ giác ABEK nội tiếp được trong một đường tròn.

2. Chứng minh CE.CB=CK.CA

3. Chứng minh OCA^=BAE^.

4. Cho B, C cố định và A di động trên (C) nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện tam giác ABC nhọn; khi đó H thuộc cung tròn (T) cố định. Xác định I và bán kính r của đường tròn (T), biết R=3cm

b) Chứng minh EBM^=DNH^

c) Chứng minh DM.DN=DB.DC

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNE. Chứng minh OE⊥DE.

Cho tam giác ABC, M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Kéo dài AM cắt BC tại P, BM cắt Q, CM cắt AB tại K. Chứng minh MA.MB.MC≥8MP.MQ.MK

Hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại 2 điểm A, B. Gọi M là trung điểm OO'. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt đường tròn (O) và (O') lần lượt ở C và D. Chứng minh rằng AC=AD

Cho đường tròn (O) đường kính AB, cung CD⏜ năm cùng phía đối với AB(D thuộc cung nhỏ BC⏜). Gọi E là giao điểm của AC và BD, F là giao điểm của AD và BC. a. Tính góc AFB^ khi số đo cung CD⏜ bằng 80o

b. Tính số đo cung CD⏜ khi góc AEB^=55°.

Cho tam giác nhọn ABC(AB<AC). Đường tròn tâm (O) đường kính BC cắt AC, AB lần lượt tại D và E. H là giao điểm của BD và CE, K là giao điểm của DE và AH, I là giao điểm của AH và BC, M là trung điểm của AH. Chứng minh rằng: MD2=MK.MI

2) Hai tam giác CDE và CFD đồng dạng

3) Tia đối của tia CD là tia phân giác góc ECF^

4) Đường thẳng IK song song với đường thẳng AB

b) AM2=MK.MB.

c) KAC^=OMB^.

d) N là trung điểm của CH

Cho tam giác AMB cân tại M nội tiếp đường tròn(O; R). Kẻ MH vuông góc với AB (H∈AB). MH cắt đường tròn tại N. Biết MA=10cm, AB=12cm. 1. Tính MH và bán kính R của đường tròn.

Trên tia đối của tia BA lấy điểm C, MC cắt đường tròn tại D. ND cắt AB tại E. Chứng minh rằng tứ giác MDEH nội tiếp và chứng minh các hệ thức sau: NB2=NE.ND và AC.BE=BC.AE.

3. Chứng minh NB tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE

b) Chứng minh D, E, F thẳng hàng

c) BCMD=ACME+ABMF

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, Biết BH=4cm, CH=9cm a) Tính độ dài đường cao AH và ABC⏜ của tam giác ABC.

b) Vẽ đường trung tuyến AM(M∈BC) của tam giác ABC, tính AM và diện tích tam giác AHM

b) Chứng minh: AC.AE=AD.CE

c) Đường thẳng CO cắt tia BD, tia BE lần lượt tại M và N. Chứng minh: AM//BN

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AD=2R..Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Kẻ EF vuông góc với AD tại F 1. Chứng minh ABEF nội tiếp.

2. Chứng minh DBC^=DBF^

3. Tia BF cắt (O) tại K. Chứng minh EF//CK

4. Giả sử EFB^=600 Tính theo R diện tích giới hạn dây BC và cung nhỏ BC.

2. Chứng minh OF ⊥ MQ và PM.PF=PO.PQ

3. Xác định vị trí điểm E trên cung MN để tổng MF+2ME đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AB=5cm; AC=12cm. a) Tính cạnh BC

b) AM cắt OE tại P, BM cắt OF tại Q. Chứng minh tứ giác MPOQ là hình chữ nhật.

b) Gọi M là giao điểm của AH và BC. Chứng minh: CM.CB=CE.CA

c) Chứng minh ID là tiếp tuyến của đường tròn (O)

d) Tính theo R diện tích của tam giác ABC, biết ABC^=45°, ACB^=60° và BC=2R.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AN=5cm; AC=12 cm. a) Tính cạnh BC;

b) Kẻ đường cao AH. Tính AH

b) AM cắt OE tại P, BM cắt OF tại Q. Chứng minh tứ giác MPOQ là hình chữ nhật.

2. Chứng minh rắng OMH^=OIP^

3. Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên đường thẳng d thì điểm I luôn cố định.

4. Biết OH=R2, tính IP.IQ

b) DF song song với CE, từ đó suy ra NE.NF=NC.ND.

c) CA là tia phân giác góc BCE^

d) HN vuông góc với AB

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB=2R. Gọi M là điểm chính giữa của cung AB, N là điểm bất kỳ thuộc cung MB (N khác M và B). Tia AM và AN cắt tiếp tuyến tại B của nửa đường tròn tâm O lần lượt tại C và D 1. Tính số đo ACB^.

2. Chứng minh tứ giác MNDC nội tiếp một đường tròn

4. Chứng minh AM.AC=AN.AD=4R2.

Cho hình nón có đường sinh bằng 26cm diện tích xung quanh là 260πcm2. Tính bán kính đáy và thể tích của hình nón.

Cho tam giác ABC nhọn có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại điểm H. Gọi M là trung điểm của đoạn AH. 1) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn.

2. Chứng minh CE.CA=CB.CD

3. Chứng minh EM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF.

4) Gọi I và J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp hai tam giác BDF và EDC. Chứng minh DIJ^=DFC^.

b) Gọi I là giao điểm của AB và MQ. Chứng minh tam giác IBM cân

b) Chứng minh $\hat{A B D} = \hat{B D C}$

b) Chứng minh $\hat{C H K} = \hat{C B M} .$

c) Gọi N là giao điểm của AM và CH. Tính theo R giá trị biểu thức $P = A M . A N + B C^{2} .$

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (C) tâm O bán kính R. Hai đường cao AE và BK tam giác ABC cắt nhau tại H (với E thuộc BC, K thuộc AC).

1. Chứng minh rằng tứ giác ABEK nội tiếp được trong một đường tròn.

3. Chứng minh $\hat{O C A} = \hat{B A E}$ .

b) Chứng minh $\hat{E B M} = \hat{D N H}$

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNE. Chứng minh $O E ⊥ D E$ .

Cho tam giác ABC, M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Kéo dài AM cắt BC tại P, BM cắt Q, CM cắt AB tại K. Chứng minh $M A . M B . M C \geq 8 M P . M Q . M K$

Hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại 2 điểm A, B. Gọi M là trung điểm OO'. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt đường tròn (O) và (O') lần lượt ở C và D.

Chứng minh rằng AC=AD

b. Tính số đo cung $\overset{⏜}{C D}$ khi góc $\hat{A E B} = 55 °$ .

Cho tam giác nhọn ABC(AB<AC). Đường tròn tâm (O) đường kính BC cắt AC, AB lần lượt tại D và E. H là giao điểm của BD và CE, K là giao điểm của DE và AH, I là giao điểm của AH và BC, M là trung điểm của AH. Chứng minh rằng: $M D^{2} = M K . M I$

3) Tia đối của tia CD là tia phân giác góc $\hat{E C F}$

b) $A M^{2} = M K . M B .$

c) $\hat{K A C} = \hat{O M B} .$

Cho tam giác AMB cân tại M nội tiếp đường tròn(O; R). Kẻ MH vuông góc với AB $(H \in A B)$ . MH cắt đường tròn tại N. Biết $M A = 10 c m, A B = 12 c m$ .

1. Tính MH và bán kính R của đường tròn.

Trên tia đối của tia BA lấy điểm C, MC cắt đường tròn tại D. ND cắt AB tại E. Chứng minh rằng tứ giác MDEH nội tiếp và chứng minh các hệ thức sau: $N B^{2} = N E . N D$ và $A C . B E = B C . A E$ .

c) $\frac{B C}{M D} = \frac{A C}{M E} + \frac{A B}{M F}$

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, Biết BH=4cm, CH=9cm

a) Tính độ dài đường cao AH và $\overset{⏜}{A B C}$ của tam giác ABC.

b) Vẽ đường trung tuyến $A M (M \in B C)$ của tam giác ABC, tính AM và diện tích tam giác AHM

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AD=2R..Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Kẻ EF vuông góc với AD tại F

1. Chứng minh ABEF nội tiếp.

2. Chứng minh $\hat{D B C} = \hat{D B F}$

4. Giả sử $\hat{E F B} = 60^{0}$ Tính theo R diện tích giới hạn dây BC và cung nhỏ BC.

2. Chứng minh OF $⊥$ MQ và PM.PF=PO.PQ

Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AB=5cm; AC=12cm.

a) Tính cạnh BC

d) Tính theo R diện tích của tam giác ABC, biết $\hat{A B C} = 45 °$ , $\hat{A C B} = 60 °$ và BC=2R.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AN=5cm; AC=12 cm.

a) Tính cạnh BC;

2. Chứng minh rắng $\hat{O M H} = \hat{O I P}$

4. Biết $O H = R \sqrt{2}$ , tính IP.IQ

c) CA là tia phân giác góc $\hat{B C E}$

4. Chứng minh $A M . A C = A N . A D = 4 R^{2} .$

Cho hình nón có đường sinh bằng 26cm diện tích xung quanh là $260 π c m^{2} .$ Tính bán kính đáy và thể tích của hình nón.

Cho tam giác ABC nhọn có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại điểm H. Gọi M là trung điểm của đoạn AH.

1) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn.

4) Gọi I và J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp hai tam giác BDF và EDC. Chứng minh $\hat{D I J} = \hat{D F C}$ .

3. Chứng minh $M N^{2} = N F . N A .$

2. Chứng minh: $M N^{2} = N F . N A$ và MN=NH

3. Chứng minh: $\frac{H B^{2}}{H F^{2}} - \frac{E F}{M F} = 1$

2. Chứng minh $N B^{2} = N K . N M$

Cho đường tròn tâm O, bán kính R, đường kính BC. Gọi A là một điểm thuộc đường tròn (A khác B và C). Đường phân giác $\hat{B A C}$ cắt BC tại D và cắt đường tròn tại M

1. Chứng minh MB=MC và OM vuông góc với BC.

2. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O), (B, C là hai tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp được đường tròn.

b) Vẽ cát tuyến ADE của (O) sao cho cát tuyến ADE nằm giữa 2 tia AO, AB; D, E thuộc đường tròn (O) và D nằm giữa A, E. Chứng minh $A B^{2} = A D . A E$ .

1. Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O; R) vẽ các tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng bốn điểm M, A, O, B cùng nằm trên một đường tròn;

2. Hình trụ có đường kính đáy bằng 4cm và chiều cao bằng đường kính đáy. Tính thể tích hình trụ (lấy $π = 3, 14$ ).

Lúc 6h sáng, bạn An đi xe đạp từ nhà (điểm A) đến trường (điểm B) phải leo lên và xuống một con dốc (như hình vẽ bên dưới). Cho biết đoạn thẳng AB dài 762m, góc A bằng 6^o và góc B bằng 4^o.

a) Tính chiều cao h của con dốc

Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn tâm O đường kính AB cắt các đoạn BC và OC lần lượt tại D và I gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên OC; AH cắt BC tại M.

a) Chứng minh: Tứ giác ACDH là nội tiếp và $\hat{C H D} = \hat{A B C}$ .

d) Gọi E là giao điểm của AM và OK; J là giao điểm của IM và (O) (J khác I ).

Chứng Minh: Hai đường thẳng OC và EI cắt nhau tại một điểm trên (O).

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AB. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E, F là hình chiếu vuông góc của E trên AB.

1. Chứng minh tứ giác ADEF nội tiếp.

Cho đường tròn (O;OA). Trên bán kính OA lấy điểm I sao cho $O I = \frac{1}{3} O A$ . Vẽ dây BC vuông góc với OA tại điểm I và vẽ đường kính BD. Gọi E là giao điểm của AD và BC.

a) Chứng minh DA là tia phân giác của $\hat{B D C}$ .

Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC lần lượt tại H và K

a) Chứng minh tứ giác BHCD nội tiếp đường tròn.

c) Giả sử hình vuông ABCD có cạnh là 3cm. Tính độ dài cung CH có số đo bằng 40^o của đường tròn đường kính BD (làm tròn kết quả đến một chữ số thập phân).

2. Chứng minh $\hat{A N M} = \hat{A I N}$

Cho đường tròn (O;R) có dây MN cố định (MN<2R), P là một điểm trên cung lớn MN sao cho tam giác MNP có ba góc nhọn. Các đường cao ME và NK của tam giác MNP cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng tứ giác PKHE nội tiếp đường tròn