Chuyên đề 3: Bất đẳng thức

Thi Online Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2018 có đáp án

Chuyên đề 3: Bất đẳng thức

3302 lượt thi
24 câu hỏi
45 phút

Câu 1:

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn $2 a + 3 b \leq 4$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$Q = \frac{2002}{a} + \frac{2017}{b} + 2996 a - 5501 b$ .

Ta có $Q = \frac{2002}{a} + \frac{2017}{b} + 2996 a - 5501 b = \frac{2002}{a} + 8008 a + \frac{2017}{b} + 2017 b - (5012 a + 7518 b) = 2002 (\frac{1}{a} + 4 a) + 2017 (\frac{1}{b} + b) - 2506 (2 a + 3 b) \geq 2002.2 \sqrt{\frac{1}{a} .4 a} + 2017.2 \sqrt{\frac{1}{b} . b} - 2506 (2 a + 3 b) (B D T C o S i) \geq 2002.4 + 2017.2 - 2506.4 = 2018.$

Do đó Q đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2018 khi $a = \frac{1}{2}$ và b=1

Câu 2:

Cho bốn số thực dương x, y, z, t thỏa mãn x+y+z+t=2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = \frac{(x + y + z) (x + y)}{x y z t}$

Xem đáp án

Ta có

$4 A = \frac{{(x + y + z + t)}^{2} (x + y + z) (x + y)}{x y z t} \geq \frac{4 (x + y + z) t (x + y + z) (x + y)}{x y z t} . = \frac{4 {(x + y + z)}^{2} (x + y)}{x y z} \geq \frac{4.4 (x + y) z (x + y)}{x y z} . = \frac{16 {(x + y)}^{2}}{x y} \geq \frac{16.4 x y}{x y} \geq 64. \Rightarrow A \geq 16$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

$\{\begin{cases} x + y + z + t = 2 \\ x + y + z = t \\ x + y = z \\ x = y \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = y = \frac{1}{4} \\ z = \frac{1}{2} \\ t = 1 \end{cases} .$

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 16, xảy ra khi và chỉ khi $x = y = \frac{1}{4}, z = \frac{1}{2}, t = 1$

Câu 3:

Cho a, b, c là ba số thực dương. CMR: $\frac{a^{5}}{b c} + \frac{b^{5}}{c a} + \frac{c^{5}}{a b} \geq a^{3} + b^{3} + c^{3}$

Xem đáp án

Ta có $\frac{a^{5}}{b c} + \frac{b^{5}}{c a} + \frac{c^{5}}{a b} = \frac{a^{6}}{a b c} + \frac{b^{6}}{a b c} + \frac{c^{6}}{a b c} = \frac{{(a^{3})}^{2}}{a b c} + \frac{{(b^{3})}^{2}}{a b c} + \frac{{(b^{3})}^{2}}{a b c}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$\frac{a^{5}}{b c} + \frac{b^{5}}{c a} + \frac{c^{5}}{a b} = \frac{{(a^{3})}^{2}}{a b c} + \frac{{(b^{3})}^{2}}{a b c} + \frac{{(b^{3})}^{2}}{a b c} \geq \frac{{(a^{3} + b^{3} + c^{3})}^{2}}{a b c + a b c + a b c} = \frac{(a^{3} + b^{3} + c^{3}) (a^{3} + b^{3} + c^{3})}{3 a b c}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số $a^{3}, b^{3}, c^{3}$ ta được:

$a^{3} + b^{3} + c^{3} \geq 3 \sqrt[3]{a^{3} b^{3} c^{3}} = 3 a b c$

Do đó:

$\frac{a^{5}}{b c} + \frac{b^{5}}{c a} + \frac{c^{5}}{a b} \geq \frac{(a^{3} + b^{3} + c^{3}) (a^{3} + b^{3} + c^{3})}{3 a b c} \geq \frac{(a^{3} + b^{3} + c^{3}) 3 a b c}{3 a b c} = a^{3} + b^{3} + c^{3}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a = b = c$

Câu 4:

Cho a, b, c là các số dương thay đổi thỏa mãn: $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} = 2017$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P = \frac{1}{2 a + 3 b + 3 c} + \frac{1}{3 a + 2 b + 3 c} + \frac{1}{3 a + 3 b + 2 c}$

Xem đáp án

Đặt $x = a + b; y = b + c; z = a + c; \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2017 P = \frac{1}{x + 2 y + z} + \frac{1}{x + y + 2 z} + \frac{1}{2 x + y + z} T a c ó : \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y} \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{4}{y + z} \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \geq \frac{4}{x + z} \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq 2 (\frac{1}{x + y} + \frac{1}{y + z} + \frac{1}{x + z}) \geq 4 (\frac{1}{2 x + y + z} + \frac{1}{2 y + x + z} + \frac{1}{2 z + x + y}) \Rightarrow P \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) = \frac{2017}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c= $\frac{3}{4034}$

Câu 5:

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M = x^{2} + y^{2} + \frac{3}{x + y + 1}$

Xem đáp án

Với $\{\begin{cases} x; y > 0 \\ x y = 1 \end{cases}$ ta có: ${(x + y)}^{2} \geq 4 x y = 4 \Rightarrow x + y \geq 2$

Đặt t=x+y; $t \geq 2$

Khi đó: $M = x^{2} + y^{2} + \frac{3}{x + y + 1} = {(x + y)}^{2} - 2 x y + \frac{3}{x + y + 1} = t^{2} - 2 + \frac{3}{t + 1} = \frac{t^{3} + t^{2} - 2 t + 1}{t + 1}$

$= \frac{(t - 2) (t^{2} + 3 t + 1) + 3 (t + 1)}{t + 1} = \frac{(t - 2) (t^{2} + 3 t + 1)}{t + 1} + 3 \geq 3$ (Vì $t \geq 2$ ).

Vậy $\min M = 3 \Leftrightarrow t = 2 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y = 2 \\ x y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow x = y = 1$

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Bài thi liên quan:

Các bài thi hot trong chương:

Đánh giá trung bình

Thi Online Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2018 có đáp án