Chuyên đề 3: Bất đẳng thức

Câu 1

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn $2 a + 3 b \leq 4$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$Q = \frac{2002}{a} + \frac{2017}{b} + 2996 a - 5501 b$ .

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $Q = \frac{2002}{a} + \frac{2017}{b} + 2996 a - 5501 b = \frac{2002}{a} + 8008 a + \frac{2017}{b} + 2017 b - (5012 a + 7518 b) = 2002 (\frac{1}{a} + 4 a) + 2017 (\frac{1}{b} + b) - 2506 (2 a + 3 b) \geq 2002.2 \sqrt{\frac{1}{a} .4 a} + 2017.2 \sqrt{\frac{1}{b} . b} - 2506 (2 a + 3 b) (B D T C o S i) \geq 2002.4 + 2017.2 - 2506.4 = 2018.$

Do đó Q đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2018 khi $a = \frac{1}{2}$ và b=1

Câu 2

Cho bốn số thực dương x, y, z, t thỏa mãn x+y+z+t=2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = \frac{(x + y + z) (x + y)}{x y z t}$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có

$4 A = \frac{{(x + y + z + t)}^{2} (x + y + z) (x + y)}{x y z t} \geq \frac{4 (x + y + z) t (x + y + z) (x + y)}{x y z t} . = \frac{4 {(x + y + z)}^{2} (x + y)}{x y z} \geq \frac{4.4 (x + y) z (x + y)}{x y z} . = \frac{16 {(x + y)}^{2}}{x y} \geq \frac{16.4 x y}{x y} \geq 64. \Rightarrow A \geq 16$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

$\{\begin{cases} x + y + z + t = 2 \\ x + y + z = t \\ x + y = z \\ x = y \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = y = \frac{1}{4} \\ z = \frac{1}{2} \\ t = 1 \end{cases} .$

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 16, xảy ra khi và chỉ khi $x = y = \frac{1}{4}, z = \frac{1}{2}, t = 1$

Câu 3

Cho a, b, c là ba số thực dương. CMR: $\frac{a^{5}}{b c} + \frac{b^{5}}{c a} + \frac{c^{5}}{a b} \geq a^{3} + b^{3} + c^{3}$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $\frac{a^{5}}{b c} + \frac{b^{5}}{c a} + \frac{c^{5}}{a b} = \frac{a^{6}}{a b c} + \frac{b^{6}}{a b c} + \frac{c^{6}}{a b c} = \frac{{(a^{3})}^{2}}{a b c} + \frac{{(b^{3})}^{2}}{a b c} + \frac{{(b^{3})}^{2}}{a b c}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$\frac{a^{5}}{b c} + \frac{b^{5}}{c a} + \frac{c^{5}}{a b} = \frac{{(a^{3})}^{2}}{a b c} + \frac{{(b^{3})}^{2}}{a b c} + \frac{{(b^{3})}^{2}}{a b c} \geq \frac{{(a^{3} + b^{3} + c^{3})}^{2}}{a b c + a b c + a b c} = \frac{(a^{3} + b^{3} + c^{3}) (a^{3} + b^{3} + c^{3})}{3 a b c}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số $a^{3}, b^{3}, c^{3}$ ta được:

$a^{3} + b^{3} + c^{3} \geq 3 \sqrt[3]{a^{3} b^{3} c^{3}} = 3 a b c$

Do đó:

$\frac{a^{5}}{b c} + \frac{b^{5}}{c a} + \frac{c^{5}}{a b} \geq \frac{(a^{3} + b^{3} + c^{3}) (a^{3} + b^{3} + c^{3})}{3 a b c} \geq \frac{(a^{3} + b^{3} + c^{3}) 3 a b c}{3 a b c} = a^{3} + b^{3} + c^{3}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a = b = c$

Câu 4

Cho a, b, c là các số dương thay đổi thỏa mãn: $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} = 2017$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P = \frac{1}{2 a + 3 b + 3 c} + \frac{1}{3 a + 2 b + 3 c} + \frac{1}{3 a + 3 b + 2 c}$

Xem đáp án

Lời giải

Đặt $x = a + b; y = b + c; z = a + c; \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2017 P = \frac{1}{x + 2 y + z} + \frac{1}{x + y + 2 z} + \frac{1}{2 x + y + z} T a c ó : \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y} \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{4}{y + z} \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \geq \frac{4}{x + z} \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq 2 (\frac{1}{x + y} + \frac{1}{y + z} + \frac{1}{x + z}) \geq 4 (\frac{1}{2 x + y + z} + \frac{1}{2 y + x + z} + \frac{1}{2 z + x + y}) \Rightarrow P \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) = \frac{2017}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c= $\frac{3}{4034}$

Câu 5

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M = x^{2} + y^{2} + \frac{3}{x + y + 1}$

Xem đáp án

Lời giải

Với $\{\begin{cases} x; y > 0 \\ x y = 1 \end{cases}$ ta có: ${(x + y)}^{2} \geq 4 x y = 4 \Rightarrow x + y \geq 2$

Đặt t=x+y; $t \geq 2$

Khi đó: $M = x^{2} + y^{2} + \frac{3}{x + y + 1} = {(x + y)}^{2} - 2 x y + \frac{3}{x + y + 1} = t^{2} - 2 + \frac{3}{t + 1} = \frac{t^{3} + t^{2} - 2 t + 1}{t + 1}$

$= \frac{(t - 2) (t^{2} + 3 t + 1) + 3 (t + 1)}{t + 1} = \frac{(t - 2) (t^{2} + 3 t + 1)}{t + 1} + 3 \geq 3$ (Vì $t \geq 2$ ).

Vậy $\min M = 3 \Leftrightarrow t = 2 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y = 2 \\ x y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow x = y = 1$

Câu 6

Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện $a b + b c + c a = 3$ và $c \leq a .$

Tìm giá trị nhỏ nhát của biểu thức $P = \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{3}{{(c + 1)}^{2}} .$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tiếng Anh

Công nghệ

Tin học

ĐHQG Hà Nội

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa Hà Nội

ĐHSP Hà Nội

Bộ Công an

Bộ Quốc phòng

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Bright

Explore new worlds

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý