Chuyên đề 3: Bất đẳng thức

Câu 1

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn $2 a + 3 b \leq 4$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$Q = \frac{2002}{a} + \frac{2017}{b} + 2996 a - 5501 b$ .

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $Q = \frac{2002}{a} + \frac{2017}{b} + 2996 a - 5501 b = \frac{2002}{a} + 8008 a + \frac{2017}{b} + 2017 b - (5012 a + 7518 b) = 2002 (\frac{1}{a} + 4 a) + 2017 (\frac{1}{b} + b) - 2506 (2 a + 3 b) \geq 2002.2 \sqrt{\frac{1}{a} .4 a} + 2017.2 \sqrt{\frac{1}{b} . b} - 2506 (2 a + 3 b) (B D T C o S i) \geq 2002.4 + 2017.2 - 2506.4 = 2018.$

Do đó Q đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2018 khi $a = \frac{1}{2}$ và b=1

Câu 2

Cho bốn số thực dương x, y, z, t thỏa mãn x+y+z+t=2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = \frac{(x + y + z) (x + y)}{x y z t}$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có

$4 A = \frac{{(x + y + z + t)}^{2} (x + y + z) (x + y)}{x y z t} \geq \frac{4 (x + y + z) t (x + y + z) (x + y)}{x y z t} . = \frac{4 {(x + y + z)}^{2} (x + y)}{x y z} \geq \frac{4.4 (x + y) z (x + y)}{x y z} . = \frac{16 {(x + y)}^{2}}{x y} \geq \frac{16.4 x y}{x y} \geq 64. \Rightarrow A \geq 16$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

$\{\begin{cases} x + y + z + t = 2 \\ x + y + z = t \\ x + y = z \\ x = y \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = y = \frac{1}{4} \\ z = \frac{1}{2} \\ t = 1 \end{cases} .$

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 16, xảy ra khi và chỉ khi $x = y = \frac{1}{4}, z = \frac{1}{2}, t = 1$

Câu 3

Cho a, b, c là ba số thực dương. CMR: $\frac{a^{5}}{b c} + \frac{b^{5}}{c a} + \frac{c^{5}}{a b} \geq a^{3} + b^{3} + c^{3}$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $\frac{a^{5}}{b c} + \frac{b^{5}}{c a} + \frac{c^{5}}{a b} = \frac{a^{6}}{a b c} + \frac{b^{6}}{a b c} + \frac{c^{6}}{a b c} = \frac{{(a^{3})}^{2}}{a b c} + \frac{{(b^{3})}^{2}}{a b c} + \frac{{(b^{3})}^{2}}{a b c}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$\frac{a^{5}}{b c} + \frac{b^{5}}{c a} + \frac{c^{5}}{a b} = \frac{{(a^{3})}^{2}}{a b c} + \frac{{(b^{3})}^{2}}{a b c} + \frac{{(b^{3})}^{2}}{a b c} \geq \frac{{(a^{3} + b^{3} + c^{3})}^{2}}{a b c + a b c + a b c} = \frac{(a^{3} + b^{3} + c^{3}) (a^{3} + b^{3} + c^{3})}{3 a b c}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số $a^{3}, b^{3}, c^{3}$ ta được:

$a^{3} + b^{3} + c^{3} \geq 3 \sqrt[3]{a^{3} b^{3} c^{3}} = 3 a b c$

Do đó:

$\frac{a^{5}}{b c} + \frac{b^{5}}{c a} + \frac{c^{5}}{a b} \geq \frac{(a^{3} + b^{3} + c^{3}) (a^{3} + b^{3} + c^{3})}{3 a b c} \geq \frac{(a^{3} + b^{3} + c^{3}) 3 a b c}{3 a b c} = a^{3} + b^{3} + c^{3}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a = b = c$

Câu 4

Cho a, b, c là các số dương thay đổi thỏa mãn: $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} = 2017$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P = \frac{1}{2 a + 3 b + 3 c} + \frac{1}{3 a + 2 b + 3 c} + \frac{1}{3 a + 3 b + 2 c}$

Xem đáp án

Lời giải

Đặt $x = a + b; y = b + c; z = a + c; \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2017 P = \frac{1}{x + 2 y + z} + \frac{1}{x + y + 2 z} + \frac{1}{2 x + y + z} T a c ó : \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y} \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{4}{y + z} \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \geq \frac{4}{x + z} \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq 2 (\frac{1}{x + y} + \frac{1}{y + z} + \frac{1}{x + z}) \geq 4 (\frac{1}{2 x + y + z} + \frac{1}{2 y + x + z} + \frac{1}{2 z + x + y}) \Rightarrow P \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) = \frac{2017}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c= $\frac{3}{4034}$

Câu 5

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M = x^{2} + y^{2} + \frac{3}{x + y + 1}$

Xem đáp án

Lời giải

Với $\{\begin{cases} x; y > 0 \\ x y = 1 \end{cases}$ ta có: ${(x + y)}^{2} \geq 4 x y = 4 \Rightarrow x + y \geq 2$

Đặt t=x+y; $t \geq 2$

Khi đó: $M = x^{2} + y^{2} + \frac{3}{x + y + 1} = {(x + y)}^{2} - 2 x y + \frac{3}{x + y + 1} = t^{2} - 2 + \frac{3}{t + 1} = \frac{t^{3} + t^{2} - 2 t + 1}{t + 1}$

$= \frac{(t - 2) (t^{2} + 3 t + 1) + 3 (t + 1)}{t + 1} = \frac{(t - 2) (t^{2} + 3 t + 1)}{t + 1} + 3 \geq 3$ (Vì $t \geq 2$ ).

Vậy $\min M = 3 \Leftrightarrow t = 2 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y = 2 \\ x y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow x = y = 1$

Câu 6

Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện $a b + b c + c a = 3$ và $c \leq a .$

Tìm giá trị nhỏ nhát của biểu thức $P = \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{3}{{(c + 1)}^{2}} .$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Chuyên đề 3: Bất đẳng thức

🔥 Đề thi HOT:

Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án

Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01

Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Đắk Lắk

15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án

Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án

123 bài tập Nón trụ cầu và hình khối có lời giải

Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án

Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án (Đề số 1)

Nội dung liên quan:

Đề ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án (Mới nhất)

Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2020 có đáp án

Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2019 có đáp án

Bộ 30 đề thi vào 10 môn Toán có lời giải chi tiết

Tổng hợp các bài toán thực tế ôn thi vào 10 Toán 9 có đáp án

Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1)

Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1)

Danh sách câu hỏi:

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn 2a+3b≤4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q=2002a+2017b+2996a−5501b.

Cho bốn số thực dương x, y, z, t thỏa mãn x+y+z+t=2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcA=(x+y+z)(x+y)xyzt

Cho a, b, c là ba số thực dương. CMR:a5bc+b5ca+c5ab≥a3+b3+c3

Cho a, b, c là các số dương thay đổi thỏa mãn: 1a+b+1b+c+1c+a=2017 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P=12a+3b+3c+13a+2b+3c+13a+3b+2c

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M=x2+y2+3x+y+1

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca=3 và c≤a. Tìm giá trị nhỏ nhát của biểu thức P=1a+12+2b+12+3c+12.

Tìm các chữ số a, b, c biết abc¯−ac¯=2.cb→+bc→.

Cho a,b,c là ba số không âm thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh a+2b+c≥41−a1−b1−c.

Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn: x+y+z=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q=x+11+y2+y+11+z2+z+11+x2.

Cho các số thực a,b,c thay đổi luôn thỏa mãn: a≥1,b≥1,c≥1 và ab+bc+ca=9. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P=a2+b2+c2.

Cho hai số x>0,y>0. Chứng minh rằng 1x+y≤141x+1y⋅

Chứng minh rằng: 13a+2b+c+1a+3b+2c+12a+b+3c≤83⋅

Cho x∈ℝ, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=x4+3x2+4x2+1

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng: a1−a+b1−b+c1−c>2.

Cho x, y là các số thực. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P=x2−y21−x2y21+x221+y22

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x+y≤4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=2x2+y2+35xy+2xy

Cho các số thực x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q=x3+y3+x2+y2.

Cho x, y, z là ba số thực dương, thoả mãn: xy+yz+xz=xyz. Chứng minh rằng: xyz31+x1+y+yzx31+y1+z+zxy31+z1+x≥116

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x+y≥6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3x+2y+6x+8y

Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3a2+2ab+3b2+3b2+2bc+3c2+3c2+2ca+3a2.

Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện x-y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q=3x2+y2+8.

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C=x2+y2+xy

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=xy+3xz+y2+yz2.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn $2 a + 3 b \leq 4$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$Q = \frac{2002}{a} + \frac{2017}{b} + 2996 a - 5501 b$ .

Cho bốn số thực dương x, y, z, t thỏa mãn x+y+z+t=2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = \frac{(x + y + z) (x + y)}{x y z t}$

Cho a, b, c là ba số thực dương. CMR: $\frac{a^{5}}{b c} + \frac{b^{5}}{c a} + \frac{c^{5}}{a b} \geq a^{3} + b^{3} + c^{3}$

Cho a, b, c là các số dương thay đổi thỏa mãn: $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} = 2017$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P = \frac{1}{2 a + 3 b + 3 c} + \frac{1}{3 a + 2 b + 3 c} + \frac{1}{3 a + 3 b + 2 c}$

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M = x^{2} + y^{2} + \frac{3}{x + y + 1}$

Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện $a b + b c + c a = 3$ và $c \leq a .$

Tìm giá trị nhỏ nhát của biểu thức $P = \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{3}{{(c + 1)}^{2}} .$

Tìm các chữ số a, b, c biết $\bar{a b c} - \bar{a c} = 2. \vec{c b} + \vec{b c}$ .

Cho $a, b, c$ là ba số không âm thỏa mãn $a + b + c = 1$

Chứng minh $a + 2 b + c \geq 4 (1 - a) (1 - b) (1 - c) .$

Cho $x, y, z$ là ba số thực dương thỏa mãn: $x + y + z = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q = \frac{x + 1}{1 + y^{2}} + \frac{y + 1}{1 + z^{2}} + \frac{z + 1}{1 + x^{2}}$ .

Cho các số thực $a, b, c$ thay đổi luôn thỏa mãn: $a \geq 1, b \geq 1, c \geq 1$ và $a b + b c + c a = 9$ .

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $P = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .

Cho hai số $x > 0, y > 0$ . Chứng minh rằng $\frac{1}{x + y} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot$

Chứng minh rằng: $\frac{1}{3 a + 2 b + c} + \frac{1}{a + 3 b + 2 c} + \frac{1}{2 a + b + 3 c} \leq \frac{8}{3} \cdot$

Cho $x \in ℝ$ , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \frac{x^{4} + 3 x^{2} + 4}{x^{2} + 1}$

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=1.

Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{a}{1 - a}} + \sqrt{\frac{b}{1 - b}} + \sqrt{\frac{c}{1 - c}} > 2$ .

Cho x, y là các số thực. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P = \frac{(x^{2} - y^{2}) (1 - x^{2} y^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} {(1 + y^{2})}^{2}}$

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện $x + y \leq 4$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P = \frac{2}{x^{2} + y^{2}} + \frac{35}{x y} + 2 x y$

Cho các số thực x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = x^{3} + y^{3} + x^{2} + y^{2}$ .

Cho x, y, z là ba số thực dương, thoả mãn: xy+yz+xz=xyz.

Chứng minh rằng: $\frac{x y}{z^{3} (1 + x) (1 + y)} + \frac{y z}{x^{3} (1 + y) (1 + z)} + \frac{z x}{y^{3} (1 + z) (1 + x)} \geq \frac{1}{16}$

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện $x + y \geq 6$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y}$

Cho các số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \sqrt{3 a^{2} + 2 a b + 3 b^{2}} + \sqrt{3 b^{2} + 2 b c + 3 c^{2}} + \sqrt{3 c^{2} + 2 c a + 3 a^{2}}$ .

Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện x-y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = 3 x^{2} + y^{2} + 8$ .

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = x^{2} + y^{2} + x y$

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \sqrt{x y + 3 x z} + \sqrt{\frac{y^{2} + y z}{2}}$ .