Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3a2+2ab+3b2+3b2+2bc+3c2+3c2+2ca+3a2.

3a2+2ab+3b2=2(a+b)2+(a−b)2≥2(a+b)2 ⇒3a2+2ab+3b2≥2(a+b) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b. Chứng minh tương tự ta có: 3b2+2bc+3c2≥2(b+c) 3c2+2ca+3a2≥2(c+a) P=3a2+2ab+3b2+3b2+2bc+3c2+3c2+2ca+3a2 (1) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c. Áp dụng bất đẳng thức Côsi: a+1≥2a;b+1≥2b;c+1≥2c ⇒a+b+c≥2(a+b+c)−3=3 (2). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1. Từ (1) và (2) suy ra: P≥62. Đẳng thức xảy ra ⇔a=b=c=1. Vậy minP=62, khi a=b=c=1.

Câu hỏi:

12/07/2024 1,579

Cho các số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \sqrt{3 a^{2} + 2 a b + 3 b^{2}} + \sqrt{3 b^{2} + 2 b c + 3 c^{2}} + \sqrt{3 c^{2} + 2 c a + 3 a^{2}}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2018 có đáp án !!

Sale Tết giảm 50% 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Sách đề toán-lý-hóa Sách văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$3 a^{2} + 2 a b + 3 b^{2} = 2 {(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} \geq 2 {(a + b)}^{2}$

$\Rightarrow \sqrt{3 a^{2} + 2 a b + 3 b^{2}} \geq \sqrt{2} (a + b)$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b.

Chứng minh tương tự ta có: $\sqrt{3 b^{2} + 2 b c + 3 c^{2}} \geq \sqrt{2} (b + c)$

$\sqrt{3 c^{2} + 2 c a + 3 a^{2}} \geq \sqrt{2} (c + a)$

$P = \sqrt{3 a^{2} + 2 a b + 3 b^{2}} + \sqrt{3 b^{2} + 2 b c + 3 c^{2}} + \sqrt{3 c^{2} + 2 c a + 3 a^{2}} (1)$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c$ .

Áp dụng bất đẳng thức Côsi: $a + 1 \geq 2 \sqrt{a}; b + 1 \geq 2 \sqrt{b}; c + 1 \geq 2 \sqrt{c}$

$\Rightarrow a + b + c \geq 2 (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) - 3 = 3$ (2).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c = 1$ .

Từ (1) và (2) suy ra: $P \geq 6 \sqrt{2}$ . Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1$ .

Vậy $\min P = 6 \sqrt{2}$ , khi $a = b = c = 1$ .

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = x^{2} + y^{2} + x y$

Xem đáp án » 12/07/2024 3,521

Câu 2:

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện $x + y \geq 6$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y}$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,790

Câu 3:

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \sqrt{x y + 3 x z} + \sqrt{\frac{y^{2} + y z}{2}}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 2,385

Câu 4:

Cho hai số $x > 0, y > 0$ . Chứng minh rằng $\frac{1}{x + y} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,149

Câu 5:

Cho $x, y, z$ là ba số thực dương thỏa mãn: $x + y + z = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q = \frac{x + 1}{1 + y^{2}} + \frac{y + 1}{1 + z^{2}} + \frac{z + 1}{1 + x^{2}}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 2,081

Câu 6:

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M = x^{2} + y^{2} + \frac{3}{x + y + 1}$

Xem đáp án » 27/08/2022 1,823

Câu 7:

Cho các số thực x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = x^{3} + y^{3} + x^{2} + y^{2}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 1,584

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP