Câu hỏi:

12/07/2024 2,080

Cho $x, y, z$ là ba số thực dương thỏa mãn: $x + y + z = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q = \frac{x + 1}{1 + y^{2}} + \frac{y + 1}{1 + z^{2}} + \frac{z + 1}{1 + x^{2}}$ .

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2018 có đáp án !!

Sale Tết giảm 50% 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Sách đề toán-lý-hóa Sách văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Q = \frac{x + 1}{1 + y^{2}} + \frac{y + 1}{1 + z^{2}} + \frac{z + 1}{1 + x^{2}} = (\frac{x}{1 + y^{2}} + \frac{y}{1 + z^{2}} + \frac{z}{1 + x^{2}}) + (\frac{1}{1 + y^{2}} + \frac{1}{1 + z^{2}} + \frac{1}{1 + x^{2}}) = M + N$

Xét $M = \frac{x}{1 + y^{2}} + \frac{y}{1 + z^{2}} + \frac{z}{1 + x^{2}}$ , áp dụng kỹ thuật Côsi ngược dấu ta có:

$\frac{x}{1 + y^{2}} = \frac{x (1 + y^{2}) - x y^{2}}{1 + y^{2}} = x - \frac{x y^{2}}{1 + y^{2}} \geq x - \frac{x y^{2}}{2 y} = x - \frac{x y}{2}$

Tương tự: $\frac{y}{1 + z^{2}} \geq y - \frac{y z}{2}$ ; $\frac{z}{1 + x^{2}} \geq z - \frac{z x}{2}$ ;

Suy ra $M = \frac{x}{1 + y^{2}} + \frac{y}{1 + z^{2}} + \frac{z}{1 + x^{2}} \geq x + y + z - \frac{x y + y z + z x}{2} = 3 - \frac{x y + y z + z x}{2}$

Lại có: $x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq x y + y z + z x \Rightarrow {(x + y + z)}^{2} \geq 3 (x y + y z + z x) \Rightarrow x y + y z + z x \leq 3$

Suy ra: $M \geq 3 - \frac{x y + y z + z x}{2} \geq 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x = y = z$ .

Xét $N = \frac{1}{1 + y^{2}} + \frac{1}{1 + z^{2}} + \frac{1}{1 + x^{2}}$ , ta có:

$3 - N = (1 - \frac{1}{1 + y^{2}}) + (1 - \frac{1}{1 + z^{2}}) + (1 - \frac{1}{1 + x^{2}})$

$= \frac{y^{2}}{1 + y^{2}} + \frac{z^{2}}{1 + z^{2}} + \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} \leq \frac{y^{2}}{2 y} + \frac{z^{2}}{2 z} + \frac{x^{2}}{2 x} = \frac{x + y + z}{2} = \frac{3}{2}$

Suy ra: $N \geq 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ .

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x = y = z = 1$

Từ đó suy ra: $Q \geq 3$ . Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x = y = z = 1$

Vậy $Q_{\min} = 3 \Leftrightarrow x = y = z = 1$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = x^{2} + y^{2} + x y$

Xem đáp án » 12/07/2024 3,521

Câu 2:

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện $x + y \geq 6$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y}$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,790

Câu 3:

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \sqrt{x y + 3 x z} + \sqrt{\frac{y^{2} + y z}{2}}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 2,385

Câu 4:

Cho hai số $x > 0, y > 0$ . Chứng minh rằng $\frac{1}{x + y} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,149

Câu 5:

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M = x^{2} + y^{2} + \frac{3}{x + y + 1}$

Xem đáp án » 27/08/2022 1,823

Câu 6:

Cho các số thực x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = x^{3} + y^{3} + x^{2} + y^{2}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 1,584

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP