Câu hỏi:

12/07/2024 3,780

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C=x2+y2+xy

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Cách 1:

Nhận xét: trong tất cả các điều kiện và biểu thức, vai trò của x, y đều bình đẳng nên C đạt GTNN khi x=y. Do đó, ta biến đổi như bên dưới.

Ta có: C=x2+y2+xy=a(x+y)2+b(xy)2=(a+b)(x2+y2)+2(ab)xy.

Suy ra {a+b=1ab=12{a=34b=14.

Hay ta có: C=34(x+y)2+14(xy)2=34.1+14(xy)234

Dấu “=” xảy ra khi {x=yx+y=1x=y=12.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của C là minC=34 khi x=y=12.

Cách 2:

Do x+y=1y=1x. Khi đó, ta có:

C=x2+y2+xy=x2+(1x)2+x(1x)=x2x+1=(x12)2+3434.

Dấu “=” xảy ra khi {x=12x+y=1x=y=12.

Vậy, minC=34 khi x=y=12.

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x+y6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3x+2y+6x+8y

Xem đáp án » 12/07/2024 3,015

Câu 2:

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=xy+3xz+y2+yz2.

Xem đáp án » 12/07/2024 2,598

Câu 3:

Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn: x+y+z=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q=x+11+y2+y+11+z2+z+11+x2.

Xem đáp án » 12/07/2024 2,481

Câu 4:

Cho hai số x>0,y>0. Chứng minh rằng  1x+y14(1x+1y)

Xem đáp án » 12/07/2024 2,357

Câu 5:

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M=x2+y2+3x+y+1

Xem đáp án » 27/08/2022 1,936

Câu 6:

Cho các số thực x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q=x3+y3+x2+y2.

Xem đáp án » 12/07/2024 1,850