Câu hỏi:
12/07/2024 3,780Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C=x2+y2+xy
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).
Quảng cáo
Trả lời:
Cách 1:
Nhận xét: trong tất cả các điều kiện và biểu thức, vai trò của x, y đều bình đẳng nên C đạt GTNN khi x=y. Do đó, ta biến đổi như bên dưới.
Ta có: C=x2+y2+xy=a(x+y)2+b(x−y)2=(a+b)(x2+y2)+2(a−b)xy.
Suy ra {a+b=1a−b=12⇔{a=34b=14.
Hay ta có: C=34(x+y)2+14(x−y)2=34.1+14(x−y)2≥34
Dấu “=” xảy ra khi {x=yx+y=1⇔x=y=12.
Vậy, giá trị nhỏ nhất của C là minC=34 khi x=y=12.
Cách 2:
Do x+y=1⇒y=1−x. Khi đó, ta có:
C=x2+y2+xy=x2+(1−x)2+x(1−x)=x2−x+1=(x−12)2+34≥34.
Dấu “=” xảy ra khi {x=12x+y=1⇔x=y=12.
Vậy, minC=34 khi x=y=12.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x+y≥6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3x+2y+6x+8y
Câu 2:
Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=√xy+3xz+√y2+yz2.
Câu 3:
Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn: x+y+z=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q=x+11+y2+y+11+z2+z+11+x2.
Câu 5:
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M=x2+y2+3x+y+1
Câu 6:
Cho các số thực x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q=x3+y3+x2+y2.
Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án
23 câu Trắc nghiệm Toán 9 Bài 1: Căn thức bậc hai có đáp án
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 02
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 03
Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận