Cho hai số x>0,y>0. Chứng minh rằng 1x+y≤141x+1y⋅

a) Xét hiệu: 141x+1y−1x+y=x+y4xy−1x+y=x+y2−4xy4xyx+y=x−y24xyx+y≥0(do x>0; y>0) Vậy 1x+y≤141x+1y⋅ Dấu "=" xảy ra ⇔x=y⋅

Câu hỏi:

12/07/2024 2,294

Cho hai số $x > 0, y > 0$ . Chứng minh rằng $\frac{1}{x + y} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot$

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2018 có đáp án !!

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Đề toán-lý-hóa Đề văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Xét hiệu:

$\frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) - \frac{1}{x + y} = \frac{x + y}{4 x y} - \frac{1}{x + y} = \frac{{(x + y)}^{2} - 4 x y}{4 x y (x + y)} = \frac{{(x - y)}^{2}}{4 x y (x + y)} \geq 0$ (do x>0; y>0)

Vậy $\frac{1}{x + y} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x = y \cdot$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = x^{2} + y^{2} + x y$

Xem đáp án » 12/07/2024 3,691

Câu 2:

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện $x + y \geq 6$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y}$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,931

Câu 3:

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \sqrt{x y + 3 x z} + \sqrt{\frac{y^{2} + y z}{2}}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 2,528

Câu 4:

Cho $x, y, z$ là ba số thực dương thỏa mãn: $x + y + z = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q = \frac{x + 1}{1 + y^{2}} + \frac{y + 1}{1 + z^{2}} + \frac{z + 1}{1 + x^{2}}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 2,354

Câu 5:

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M = x^{2} + y^{2} + \frac{3}{x + y + 1}$

Xem đáp án » 27/08/2022 1,883

Câu 6:

Cho các số thực x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = x^{3} + y^{3} + x^{2} + y^{2}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 1,760

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hai số $x > 0, y > 0$ . Chứng minh rằng $\frac{1}{x + y} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot$

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = x^{2} + y^{2} + x y$

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện $x + y \geq 6$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y}$

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \sqrt{x y + 3 x z} + \sqrt{\frac{y^{2} + y z}{2}}$ .

Cho $x, y, z$ là ba số thực dương thỏa mãn: $x + y + z = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q = \frac{x + 1}{1 + y^{2}} + \frac{y + 1}{1 + z^{2}} + \frac{z + 1}{1 + x^{2}}$ .

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M = x^{2} + y^{2} + \frac{3}{x + y + 1}$

Cho các số thực x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = x^{3} + y^{3} + x^{2} + y^{2}$ .

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho hai số x>0,y>0. Chứng minh rằng 1x+y≤141x+1y⋅

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C=x2+y2+xy

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x+y≥6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3x+2y+6x+8y

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=xy+3xz+y2+yz2.

Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn: x+y+z=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q=x+11+y2+y+11+z2+z+11+x2.

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M=x2+y2+3x+y+1

Cho các số thực x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q=x3+y3+x2+y2.

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hai số $x > 0, y > 0$ . Chứng minh rằng $\frac{1}{x + y} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot$

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = x^{2} + y^{2} + x y$

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện $x + y \geq 6$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y}$

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \sqrt{x y + 3 x z} + \sqrt{\frac{y^{2} + y z}{2}}$ .

Cho $x, y, z$ là ba số thực dương thỏa mãn: $x + y + z = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q = \frac{x + 1}{1 + y^{2}} + \frac{y + 1}{1 + z^{2}} + \frac{z + 1}{1 + x^{2}}$ .

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M = x^{2} + y^{2} + \frac{3}{x + y + 1}$

Cho các số thực x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = x^{3} + y^{3} + x^{2} + y^{2}$ .