Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M = x^{2} + y^{2} + \frac{3}{x + y + 1}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2018 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Với $\{\begin{cases} x; y > 0 \\ x y = 1 \end{cases}$ ta có: ${(x + y)}^{2} \geq 4 x y = 4 \Rightarrow x + y \geq 2$

Đặt t=x+y; $t \geq 2$

Khi đó: $M = x^{2} + y^{2} + \frac{3}{x + y + 1} = {(x + y)}^{2} - 2 x y + \frac{3}{x + y + 1} = t^{2} - 2 + \frac{3}{t + 1} = \frac{t^{3} + t^{2} - 2 t + 1}{t + 1}$

$= \frac{(t - 2) (t^{2} + 3 t + 1) + 3 (t + 1)}{t + 1} = \frac{(t - 2) (t^{2} + 3 t + 1)}{t + 1} + 3 \geq 3$ (Vì $t \geq 2$ ).

Vậy $\min M = 3 \Leftrightarrow t = 2 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y = 2 \\ x y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow x = y = 1$

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = x^{2} + y^{2} + x y$

Xem đáp án

Lời giải

Cách 1:

Nhận xét: trong tất cả các điều kiện và biểu thức, vai trò của x, y đều bình đẳng nên C đạt GTNN khi x=y. Do đó, ta biến đổi như bên dưới.

Ta có: $C = x^{2} + y^{2} + x y = a {(x + y)}^{2} + b {(x - y)}^{2} = (a + b) (x^{2} + y^{2}) + 2 (a - b) x y$ .

Suy ra $\{\begin{cases} a + b = 1 \\ a - b = \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{3}{4} \\ b = \frac{1}{4} \end{cases}$ .

Hay ta có: $C = \frac{3}{4} {(x + y)}^{2} + \frac{1}{4} {(x - y)}^{2} = \frac{3}{4} .1 + \frac{1}{4} {(x - y)}^{2} \geq \frac{3}{4}$

Dấu “=” xảy ra khi $\{\begin{cases} x = y \\ x + y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}$ .

Vậy, giá trị nhỏ nhất của C là $\min C = \frac{3}{4}$ khi $x = y = \frac{1}{2}$ .

Cách 2:

Do $x + y = 1 \Rightarrow y = 1 - x$ . Khi đó, ta có:

$C = x^{2} + y^{2} + x y = x^{2} + {(1 - x)}^{2} + x (1 - x) = x^{2} - x + 1 = {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}$ .

Dấu “=” xảy ra khi $\{\begin{cases} x = \frac{1}{2} \\ x + y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}$ .

Vậy, $\min C = \frac{3}{4}$ khi $x = y = \frac{1}{2}$ .

Câu 2

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện $x + y \geq 6$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y}$

Xem đáp án

Lời giải

- Dùng máy tính casio ta chọn được điểm rơi tại x = 2, y = 4. Nên ta có:

$P = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y} = (\frac{3 x}{2} + \frac{6}{x}) + (\frac{2 y}{4} + \frac{8}{y}) + 1, 5 x + 1, 5 y$

- Áp dụng BĐT Cô-si cho từng cặp số trong ngoặc ta được

$P \geq 6 + 4 + 1, 5 (x + y) = 6 + 4 + 1, 5.6 = 19$

Dấu bằng xảy ra khi: $\{\begin{cases} \frac{3 x}{2} = \frac{6}{x} \\ \frac{2 y}{4} = \frac{8}{y} \\ x + y \geq 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \pm 2 \\ y = \pm 4 \\ x + y \geq 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 4 \end{cases}$

Vậy P_min= 19 tại $\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 4 \end{cases}$ .

Câu 3