Cho a,b,c là ba số không âm thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh a+2b+c≥41−a1−b1−c.

Từ giả thiết: a+b+c=1⇒1−a=b+c ;1−b=a+c ;1−c=a+b Suy ra a+2b+c≥41−a1−b1−c ⇔(a+b)+(b+c)≥4a+bb+cc+a Đặt x=a+b ; y=b+c ; z=c+a x,y,z≥0 Suy ra x+y+z=2,ta phải chứng minh x+y≥4xyz Áp dụng BĐT Cauchy ta có : x+y+z=x+y+z≥2(x+y).z suy ra 2≥2(x+y).z suy ra 1≥x+yz, do x+y≥0 suy ra x+y≥(x+y)2z (1) Mặt khác x+y2≥4xy, do z≥0 suy x+y2z≥4xyz (2) Từ (1) và (2) suy ra x+y≥4xyz suy ra bài toán được chứng minh.

Câu hỏi:

27/08/2022 246

Cho $a, b, c$ là ba số không âm thỏa mãn $a + b + c = 1$

Chứng minh $a + 2 b + c \geq 4 (1 - a) (1 - b) (1 - c) .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2018 có đáp án !!

Sale Tết giảm 50% 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Sách đề toán-lý-hóa Sách văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Từ giả thiết: $a + b + c = 1 \Rightarrow 1 - a = b + c$ ; $1 - b = a + c$ ; $1 - c = a + b$

Suy ra $a + 2 b + c \geq 4 (1 - a) (1 - b) (1 - c)$

$\Leftrightarrow (a + b) + (b + c) \geq 4 (a + b) (b + c) (c + a)$

Đặt $x = a + b; y = b + c; z = c + a$ $(x, y, z \geq 0)$

Suy ra $x + y + z = 2,$ ta phải chứng minh $x + y \geq 4 x y z$

Áp dụng BĐT Cauchy ta có : $x + y + z = (x + y) + z \geq 2 \sqrt{(x + y) . z}$ suy ra $2 \geq 2 \sqrt{(x + y) . z}$

suy ra $1 \geq (x + y) z$ , do $x + y \geq 0$ suy ra $x + y \geq {(x + y)}^{2} z$ (1)

Mặt khác ${(x + y)}^{2} \geq 4 x y,$ do $z \geq 0$ suy ${(x + y)}^{2} z \geq 4 x y z$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $x + y \geq 4 x y z$ suy ra bài toán được chứng minh.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = x^{2} + y^{2} + x y$

Xem đáp án » 12/07/2024 3,521

Câu 2:

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện $x + y \geq 6$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y}$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,791

Câu 3:

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \sqrt{x y + 3 x z} + \sqrt{\frac{y^{2} + y z}{2}}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 2,385

Câu 4:

Cho hai số $x > 0, y > 0$ . Chứng minh rằng $\frac{1}{x + y} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,149

Câu 5:

Cho $x, y, z$ là ba số thực dương thỏa mãn: $x + y + z = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q = \frac{x + 1}{1 + y^{2}} + \frac{y + 1}{1 + z^{2}} + \frac{z + 1}{1 + x^{2}}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 2,081

Câu 6:

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M = x^{2} + y^{2} + \frac{3}{x + y + 1}$

Xem đáp án » 27/08/2022 1,823

Câu 7:

Cho các số thực x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = x^{3} + y^{3} + x^{2} + y^{2}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 1,584

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP