Cho a,b,c là ba số không âm thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh a+2b+c≥41−a1−b1−c.

Từ giả thiết: a+b+c=1⇒1−a=b+c ;1−b=a+c ;1−c=a+b Suy ra a+2b+c≥41−a1−b1−c ⇔(a+b)+(b+c)≥4a+bb+cc+a Đặt x=a+b ; y=b+c ; z=c+a x,y,z≥0 Suy ra x+y+z=2,ta phải chứng minh x+y≥4xyz Áp dụng BĐT Cauchy ta có : x+y+z=x+y+z≥2(x+y).z suy ra 2≥2(x+y).z suy ra 1≥x+yz, do x+y≥0 suy ra x+y≥(x+y)2z (1) Mặt khác x+y2≥4xy, do z≥0 suy x+y2z≥4xyz (2) Từ (1) và (2) suy ra x+y≥4xyz suy ra bài toán được chứng minh.

Câu hỏi:

27/08/2022 309

Cho $a, b, c$ là ba số không âm thỏa mãn $a + b + c = 1$

Chứng minh $a + 2 b + c \geq 4 (1 - a) (1 - b) (1 - c) .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2018 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Từ giả thiết: $a + b + c = 1 \Rightarrow 1 - a = b + c$ ; $1 - b = a + c$ ; $1 - c = a + b$

Suy ra $a + 2 b + c \geq 4 (1 - a) (1 - b) (1 - c)$

$\Leftrightarrow (a + b) + (b + c) \geq 4 (a + b) (b + c) (c + a)$

Đặt $x = a + b; y = b + c; z = c + a$ $(x, y, z \geq 0)$

Suy ra $x + y + z = 2,$ ta phải chứng minh $x + y \geq 4 x y z$

Áp dụng BĐT Cauchy ta có : $x + y + z = (x + y) + z \geq 2 \sqrt{(x + y) . z}$ suy ra $2 \geq 2 \sqrt{(x + y) . z}$

suy ra $1 \geq (x + y) z$ , do $x + y \geq 0$ suy ra $x + y \geq {(x + y)}^{2} z$ (1)

Mặt khác ${(x + y)}^{2} \geq 4 x y,$ do $z \geq 0$ suy ${(x + y)}^{2} z \geq 4 x y z$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $x + y \geq 4 x y z$ suy ra bài toán được chứng minh.

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = x^{2} + y^{2} + x y$

Xem đáp án

Lời giải

Cách 1:

Nhận xét: trong tất cả các điều kiện và biểu thức, vai trò của x, y đều bình đẳng nên C đạt GTNN khi x=y. Do đó, ta biến đổi như bên dưới.

Ta có: $C = x^{2} + y^{2} + x y = a {(x + y)}^{2} + b {(x - y)}^{2} = (a + b) (x^{2} + y^{2}) + 2 (a - b) x y$ .

Suy ra $\{\begin{cases} a + b = 1 \\ a - b = \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{3}{4} \\ b = \frac{1}{4} \end{cases}$ .

Hay ta có: $C = \frac{3}{4} {(x + y)}^{2} + \frac{1}{4} {(x - y)}^{2} = \frac{3}{4} .1 + \frac{1}{4} {(x - y)}^{2} \geq \frac{3}{4}$

Dấu “=” xảy ra khi $\{\begin{cases} x = y \\ x + y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}$ .

Vậy, giá trị nhỏ nhất của C là $\min C = \frac{3}{4}$ khi $x = y = \frac{1}{2}$ .

Cách 2:

Do $x + y = 1 \Rightarrow y = 1 - x$ . Khi đó, ta có:

$C = x^{2} + y^{2} + x y = x^{2} + {(1 - x)}^{2} + x (1 - x) = x^{2} - x + 1 = {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}$ .

Dấu “=” xảy ra khi $\{\begin{cases} x = \frac{1}{2} \\ x + y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}$ .

Vậy, $\min C = \frac{3}{4}$ khi $x = y = \frac{1}{2}$ .

Câu 2

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện $x + y \geq 6$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y}$

Xem đáp án

Lời giải

- Dùng máy tính casio ta chọn được điểm rơi tại x = 2, y = 4. Nên ta có:

$P = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y} = (\frac{3 x}{2} + \frac{6}{x}) + (\frac{2 y}{4} + \frac{8}{y}) + 1, 5 x + 1, 5 y$

- Áp dụng BĐT Cô-si cho từng cặp số trong ngoặc ta được

$P \geq 6 + 4 + 1, 5 (x + y) = 6 + 4 + 1, 5.6 = 19$

Dấu bằng xảy ra khi: $\{\begin{cases} \frac{3 x}{2} = \frac{6}{x} \\ \frac{2 y}{4} = \frac{8}{y} \\ x + y \geq 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \pm 2 \\ y = \pm 4 \\ x + y \geq 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 4 \end{cases}$

Vậy P_min= 19 tại $\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 4 \end{cases}$ .

Câu 3