Cho x, y là các số thực. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P=x2−y21−x2y21+x221+y22

Đặt a=x2; b=y2 (a≥0; b≥0) thì P=(a−b)(1−ab)(1+a)2(1+b)2 Vì a≥0; b≥0 nên: (a−b)(1−ab)=a−a2b−b+ab2≤a+ab2=a1+b2≤a1+2b+b2=a1+b2 Lại có: (1+a)2=(1−a)2+4a≥4a ⇒P≤a(1+b)24a(1+b)2=14 Dấu bằng xảy ra: ⇔a=1b=0⇔x=±1y=0 Vậy max P=14⇔x=±1y=0 .

Câu hỏi:

19/08/2025 884

Cho x, y là các số thực. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P = \frac{(x^{2} - y^{2}) (1 - x^{2} y^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} {(1 + y^{2})}^{2}}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2018 có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt $a = x^{2}$ ; $b = y^{2}$ ( $a \geq 0$ ; $b \geq 0$ ) thì $P = \frac{(a - b) (1 - a b)}{{(1 + a)}^{2} {(1 + b)}^{2}}$

Vì $a \geq 0$ ; $b \geq 0$ nên:

$\begin{array}{l} (a - b) (1 - a b) = a - a^{2} b - b + a b^{2} \\ \leq a + a b^{2} = a (1 + b^{2}) \leq a (1 + 2 b + b^{2}) = a {(1 + b)}^{2} \end{array}$

Lại có: ${(1 + a)}^{2} = {(1 - a)}^{2} + 4 a \geq 4 a$

$\Rightarrow P \leq \frac{a {(1 + b)}^{2}}{4 a {(1 + b)}^{2}} = \frac{1}{4}$

Dấu bằng xảy ra: $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \pm 1 \\ y = 0 \end{cases}$

Vậy max $P = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \pm 1 \\ y = 0 \end{cases}$ .

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện $x + y \geq 6$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y}$

Xem đáp án

Lời giải

- Dùng máy tính casio ta chọn được điểm rơi tại x = 2, y = 4. Nên ta có:

$P = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y} = (\frac{3 x}{2} + \frac{6}{x}) + (\frac{2 y}{4} + \frac{8}{y}) + 1, 5 x + 1, 5 y$

- Áp dụng BĐT Cô-si cho từng cặp số trong ngoặc ta được

$P \geq 6 + 4 + 1, 5 (x + y) = 6 + 4 + 1, 5.6 = 19$

Dấu bằng xảy ra khi: $\{\begin{cases} \frac{3 x}{2} = \frac{6}{x} \\ \frac{2 y}{4} = \frac{8}{y} \\ x + y \geq 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \pm 2 \\ y = \pm 4 \\ x + y \geq 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 4 \end{cases}$

Vậy P_min= 19 tại $\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 4 \end{cases}$ .

Câu 2

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = x^{2} + y^{2} + x y$

Xem đáp án

Lời giải

Cách 1:

Nhận xét: trong tất cả các điều kiện và biểu thức, vai trò của x, y đều bình đẳng nên C đạt GTNN khi x=y. Do đó, ta biến đổi như bên dưới.

Ta có: $C = x^{2} + y^{2} + x y = a {(x + y)}^{2} + b {(x - y)}^{2} = (a + b) (x^{2} + y^{2}) + 2 (a - b) x y$ .

Suy ra $\{\begin{cases} a + b = 1 \\ a - b = \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{3}{4} \\ b = \frac{1}{4} \end{cases}$ .

Hay ta có: $C = \frac{3}{4} {(x + y)}^{2} + \frac{1}{4} {(x - y)}^{2} = \frac{3}{4} .1 + \frac{1}{4} {(x - y)}^{2} \geq \frac{3}{4}$

Dấu “=” xảy ra khi $\{\begin{cases} x = y \\ x + y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}$ .

Vậy, giá trị nhỏ nhất của C là $\min C = \frac{3}{4}$ khi $x = y = \frac{1}{2}$ .

Cách 2:

Do $x + y = 1 \Rightarrow y = 1 - x$ . Khi đó, ta có:

$C = x^{2} + y^{2} + x y = x^{2} + {(1 - x)}^{2} + x (1 - x) = x^{2} - x + 1 = {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}$ .

Dấu “=” xảy ra khi $\{\begin{cases} x = \frac{1}{2} \\ x + y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}$ .

Vậy, $\min C = \frac{3}{4}$ khi $x = y = \frac{1}{2}$ .

Câu 3