Cho x, y là các số thực. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P=x2−y21−x2y21+x221+y22

Đặt a=x2; b=y2 (a≥0; b≥0) thì P=(a−b)(1−ab)(1+a)2(1+b)2 Vì a≥0; b≥0 nên: (a−b)(1−ab)=a−a2b−b+ab2≤a+ab2=a1+b2≤a1+2b+b2=a1+b2 Lại có: (1+a)2=(1−a)2+4a≥4a ⇒P≤a(1+b)24a(1+b)2=14 Dấu bằng xảy ra: ⇔a=1b=0⇔x=±1y=0 Vậy max P=14⇔x=±1y=0 .

Câu hỏi:

12/07/2024 345

Cho x, y là các số thực. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P = \frac{(x^{2} - y^{2}) (1 - x^{2} y^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} {(1 + y^{2})}^{2}}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2018 có đáp án !!

Sale Tết giảm 50% 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Sách đề toán-lý-hóa Sách văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt $a = x^{2}$ ; $b = y^{2}$ ( $a \geq 0$ ; $b \geq 0$ ) thì $P = \frac{(a - b) (1 - a b)}{{(1 + a)}^{2} {(1 + b)}^{2}}$

Vì $a \geq 0$ ; $b \geq 0$ nên:

$\begin{array}{l} (a - b) (1 - a b) = a - a^{2} b - b + a b^{2} \\ \leq a + a b^{2} = a (1 + b^{2}) \leq a (1 + 2 b + b^{2}) = a {(1 + b)}^{2} \end{array}$

Lại có: ${(1 + a)}^{2} = {(1 - a)}^{2} + 4 a \geq 4 a$

$\Rightarrow P \leq \frac{a {(1 + b)}^{2}}{4 a {(1 + b)}^{2}} = \frac{1}{4}$

Dấu bằng xảy ra: $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \pm 1 \\ y = 0 \end{cases}$

Vậy max $P = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \pm 1 \\ y = 0 \end{cases}$ .

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = x^{2} + y^{2} + x y$

Xem đáp án » 12/07/2024 3,521

Câu 2:

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện $x + y \geq 6$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y}$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,790

Câu 3:

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \sqrt{x y + 3 x z} + \sqrt{\frac{y^{2} + y z}{2}}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 2,385

Câu 4:

Cho hai số $x > 0, y > 0$ . Chứng minh rằng $\frac{1}{x + y} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,149

Câu 5:

Cho $x, y, z$ là ba số thực dương thỏa mãn: $x + y + z = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q = \frac{x + 1}{1 + y^{2}} + \frac{y + 1}{1 + z^{2}} + \frac{z + 1}{1 + x^{2}}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 2,080

Câu 6:

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M = x^{2} + y^{2} + \frac{3}{x + y + 1}$

Xem đáp án » 27/08/2022 1,823

Câu 7:

Cho các số thực x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = x^{3} + y^{3} + x^{2} + y^{2}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 1,584

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP