Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca=3 và c≤a. Tìm giá trị nhỏ nhát của biểu thức P=1a+12+2b+12+3c+12.

Cách 1: Theo đề bài ab+bc+ca=3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3=ab+bc+ac≥3a2b2c23⇒abc≤1,(1)a+b+c2≥3ab+bc+ac=9⇒a+b+c≥3,(2)Từ 1 và 2 ⇒a+b+c≥3abc.Đặt x=1a+1;y=1b+1;z=1c+1⇒x,y,z>0; z≥x⇒P=x2+2y2+3z2=x2+z2+2y2+2z2≥2x2+y2+z2⇒P≥2x2+y2+z2≥2xy+yz+xz.(*) Ta tìm giá trị nhỏ nhất của xy+yz+xz .xy+yz+xz=1a+1b+1+1c+1b+1+1a+1c+1⇔xy+yz+xz=a+b+c+3a+1b+1c+1=a+b+c+3abc+a+b+c+4⇔xy+yz+xz=a+b+c+3abc+a+b+c+4=3a+b+c+33abc+3a+b+c+12⇔xy+yz+xz=3a+b+c+33abc+3a+b+c+12≥3a+b+c+3a+b+c+3a+b+c+12=34⇒P≥2.34=32. Dấu bằng xảy ra khi x=y=z⇒a=b=c=1. Vậy giá trị nhỏ nhất của P=32. Cách 2: Vì Vì a≥c⇒P=1a+12+2b+12+3c+12≥1a+12+2b+12+2c+12+1a+12 ⇒P≥2a+12+2b+12+2c+12 Ta chứng minh đẳng thức với x, y không âm. 1x+12+1y+12≥11+xy ⇔1+xyx2+y2+2x+2y+2−xy+x+y+12≥0⇔1+xyx2+y2−2xy+2xy+2x+2y+2−xy+x+y+12≥0⇔1+xyx−y2+21+xyxy+x+y+1−xy+x+y+12≥0⇔1+xyx−y2+xy−x−y+1xy+x+y+1≥0⇔xyx−y2+x−y2+xy+12−x+y2≥0⇔xyx−y2+xy−12≥0. Luôn đúng, dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1. ⇒P=1a+12+2b+12+3c+12≥1a+12+2b+12+2c+12+1a+12 ⇒P≥1a+12+1b+12+1b+12+1c+12+1a+12≥11+ab+11+bc+11+ac. Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm ta có x+y+z1x+1y+1z≥9⇒1x+1y+1z≥9x+y+z⇒P≥11+ab+11+bc+11+ac≥93+ab+bc+ac=96=32. Vậy GTNN của P=32 khi a=b=c=1.

Câu hỏi:

19/08/2025 3,102

Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện $a b + b c + c a = 3$ và $c \leq a .$

Tìm giá trị nhỏ nhát của biểu thức $P = \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{3}{{(c + 1)}^{2}} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2018 có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cách 1: Theo đề bài $a b + b c + c a = 3.$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

$3 = a b + b c + a c \geq 3 \sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}} \Rightarrow a b c \leq 1, (1) {(a + b + c)}^{2} \geq 3 (a b + b c + a c) = 9 \Rightarrow a + b + c \geq 3, (2) T ừ (1) v à (2) \Rightarrow a + b + c \geq 3 a b c . Đ ặ t x = \frac{1}{a + 1}; y = \frac{1}{b + 1}; z = \frac{1}{c + 1} (\Rightarrow x, y, z > 0; z \geq x) \Rightarrow P = x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} = x^{2} + z^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} \geq 2 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \Rightarrow P \geq 2 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq 2 (x y + y z + x z) . (*)$

$T a t ì m g i á t r ị n h ỏ n h ấ t c ủ a x y + y z + x z . x y + y z + x z = \frac{1}{(a + 1) (b + 1)} + \frac{1}{(c + 1) (b + 1)} + \frac{1}{(a + 1) (c + 1)} \Leftrightarrow x y + y z + x z = \frac{a + b + c + 3}{(a + 1) (b + 1) (c + 1)} = \frac{a + b + c + 3}{a b c + a + b + c + 4} \Leftrightarrow x y + y z + x z = \frac{a + b + c + 3}{a b c + a + b + c + 4} = \frac{3 (a + b + c + 3)}{3 a b c + 3 (a + b + c) + 12} \Leftrightarrow x y + y z + x z = \frac{3 (a + b + c + 3)}{3 a b c + 3 (a + b + c) + 12} \geq \frac{3 (a + b + c + 3)}{(a + b + c) + 3 (a + b + c) + 12} = \frac{3}{4} \Rightarrow P \geq 2. \frac{3}{4} = \frac{3}{2} .$

Dấu bằng xảy ra khi $x = y = z \Rightarrow a = b = c = 1.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P = \frac{3}{2} .$

Cách 2: Vì $V ì a \geq c \Rightarrow P = \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{3}{{(c + 1)}^{2}} \geq \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(c + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(a + 1)}^{2}}$

$\Rightarrow P \geq \frac{2}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(c + 1)}^{2}}$

Ta chứng minh đẳng thức với x, y không âm.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \geq \frac{1}{1 + x y}$

$\Leftrightarrow (1 + x y) (x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y + 2) - {(x y + x + y + 1)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow (1 + x y) (x^{2} + y^{2} - 2 x y + 2 x y + 2 x + 2 y + 2) - {(x y + x + y + 1)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow (1 + x y) {(x - y)}^{2} + 2 (1 + x y) (x y + x + y + 1) - {(x y + x + y + 1)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow (1 + x y) {(x - y)}^{2} + (x y - x - y + 1) (x y + x + y + 1) \geq 0 \Leftrightarrow x y {(x - y)}^{2} + {(x - y)}^{2} + {(x y + 1)}^{2} - {(x + y)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow x y {(x - y)}^{2} + {(x y - 1)}^{2} \geq 0.$

Luôn đúng, dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1.

$\Rightarrow P = \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{3}{{(c + 1)}^{2}} \geq \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(c + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(a + 1)}^{2}}$

$\Rightarrow P \geq \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(c + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} \geq \frac{1}{1 + a b} + \frac{1}{1 + b c} + \frac{1}{1 + a c} .$

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm ta có

$(x + y + z) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \geq 9 \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{9}{x + y + z} \Rightarrow P \geq \frac{1}{1 + a b} + \frac{1}{1 + b c} + \frac{1}{1 + a c} \geq \frac{9}{3 + a b + b c + a c} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} .$

Vậy GTNN của $P = \frac{3}{2}$ khi $a = b = c = 1.$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện $x + y \geq 6$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y}$

Xem đáp án

Lời giải

- Dùng máy tính casio ta chọn được điểm rơi tại x = 2, y = 4. Nên ta có:

$P = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y} = (\frac{3 x}{2} + \frac{6}{x}) + (\frac{2 y}{4} + \frac{8}{y}) + 1, 5 x + 1, 5 y$

- Áp dụng BĐT Cô-si cho từng cặp số trong ngoặc ta được

$P \geq 6 + 4 + 1, 5 (x + y) = 6 + 4 + 1, 5.6 = 19$

Dấu bằng xảy ra khi: $\{\begin{cases} \frac{3 x}{2} = \frac{6}{x} \\ \frac{2 y}{4} = \frac{8}{y} \\ x + y \geq 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \pm 2 \\ y = \pm 4 \\ x + y \geq 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 4 \end{cases}$

Vậy P_min= 19 tại $\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 4 \end{cases}$ .

Câu 2

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = x^{2} + y^{2} + x y$

Xem đáp án

Lời giải

Cách 1:

Nhận xét: trong tất cả các điều kiện và biểu thức, vai trò của x, y đều bình đẳng nên C đạt GTNN khi x=y. Do đó, ta biến đổi như bên dưới.

Ta có: $C = x^{2} + y^{2} + x y = a {(x + y)}^{2} + b {(x - y)}^{2} = (a + b) (x^{2} + y^{2}) + 2 (a - b) x y$ .

Suy ra $\{\begin{cases} a + b = 1 \\ a - b = \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{3}{4} \\ b = \frac{1}{4} \end{cases}$ .

Hay ta có: $C = \frac{3}{4} {(x + y)}^{2} + \frac{1}{4} {(x - y)}^{2} = \frac{3}{4} .1 + \frac{1}{4} {(x - y)}^{2} \geq \frac{3}{4}$

Dấu “=” xảy ra khi $\{\begin{cases} x = y \\ x + y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}$ .

Vậy, giá trị nhỏ nhất của C là $\min C = \frac{3}{4}$ khi $x = y = \frac{1}{2}$ .

Cách 2:

Do $x + y = 1 \Rightarrow y = 1 - x$ . Khi đó, ta có:

$C = x^{2} + y^{2} + x y = x^{2} + {(1 - x)}^{2} + x (1 - x) = x^{2} - x + 1 = {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}$ .

Dấu “=” xảy ra khi $\{\begin{cases} x = \frac{1}{2} \\ x + y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}$ .

Vậy, $\min C = \frac{3}{4}$ khi $x = y = \frac{1}{2}$ .

Câu 3