Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca=3 và c≤a. Tìm giá trị nhỏ nhát của biểu thức P=1a+12+2b+12+3c+12.

Cách 1: Theo đề bài ab+bc+ca=3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3=ab+bc+ac≥3a2b2c23⇒abc≤1,(1)a+b+c2≥3ab+bc+ac=9⇒a+b+c≥3,(2)Từ 1 và 2 ⇒a+b+c≥3abc.Đặt x=1a+1;y=1b+1;z=1c+1⇒x,y,z>0; z≥x⇒P=x2+2y2+3z2=x2+z2+2y2+2z2≥2x2+y2+z2⇒P≥2x2+y2+z2≥2xy+yz+xz.(*) Ta tìm giá trị nhỏ nhất của xy+yz+xz .xy+yz+xz=1a+1b+1+1c+1b+1+1a+1c+1⇔xy+yz+xz=a+b+c+3a+1b+1c+1=a+b+c+3abc+a+b+c+4⇔xy+yz+xz=a+b+c+3abc+a+b+c+4=3a+b+c+33abc+3a+b+c+12⇔xy+yz+xz=3a+b+c+33abc+3a+b+c+12≥3a+b+c+3a+b+c+3a+b+c+12=34⇒P≥2.34=32. Dấu bằng xảy ra khi x=y=z⇒a=b=c=1. Vậy giá trị nhỏ nhất của P=32. Cách 2: Vì Vì a≥c⇒P=1a+12+2b+12+3c+12≥1a+12+2b+12+2c+12+1a+12 ⇒P≥2a+12+2b+12+2c+12 Ta chứng minh đẳng thức với x, y không âm. 1x+12+1y+12≥11+xy ⇔1+xyx2+y2+2x+2y+2−xy+x+y+12≥0⇔1+xyx2+y2−2xy+2xy+2x+2y+2−xy+x+y+12≥0⇔1+xyx−y2+21+xyxy+x+y+1−xy+x+y+12≥0⇔1+xyx−y2+xy−x−y+1xy+x+y+1≥0⇔xyx−y2+x−y2+xy+12−x+y2≥0⇔xyx−y2+xy−12≥0. Luôn đúng, dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1. ⇒P=1a+12+2b+12+3c+12≥1a+12+2b+12+2c+12+1a+12 ⇒P≥1a+12+1b+12+1b+12+1c+12+1a+12≥11+ab+11+bc+11+ac. Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm ta có x+y+z1x+1y+1z≥9⇒1x+1y+1z≥9x+y+z⇒P≥11+ab+11+bc+11+ac≥93+ab+bc+ac=96=32. Vậy GTNN của P=32 khi a=b=c=1.

Câu hỏi:

27/08/2022 730

Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện $a b + b c + c a = 3$ và $c \leq a .$

Tìm giá trị nhỏ nhát của biểu thức $P = \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{3}{{(c + 1)}^{2}} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2018 có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn lý Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cách 1: Theo đề bài $a b + b c + c a = 3.$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

$3 = a b + b c + a c \geq 3 \sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}} \Rightarrow a b c \leq 1, (1) {(a + b + c)}^{2} \geq 3 (a b + b c + a c) = 9 \Rightarrow a + b + c \geq 3, (2) T ừ (1) v à (2) \Rightarrow a + b + c \geq 3 a b c . Đ ặ t x = \frac{1}{a + 1}; y = \frac{1}{b + 1}; z = \frac{1}{c + 1} (\Rightarrow x, y, z > 0; z \geq x) \Rightarrow P = x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} = x^{2} + z^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} \geq 2 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \Rightarrow P \geq 2 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq 2 (x y + y z + x z) . (*)$

$T a t ì m g i á t r ị n h ỏ n h ấ t c ủ a x y + y z + x z . x y + y z + x z = \frac{1}{(a + 1) (b + 1)} + \frac{1}{(c + 1) (b + 1)} + \frac{1}{(a + 1) (c + 1)} \Leftrightarrow x y + y z + x z = \frac{a + b + c + 3}{(a + 1) (b + 1) (c + 1)} = \frac{a + b + c + 3}{a b c + a + b + c + 4} \Leftrightarrow x y + y z + x z = \frac{a + b + c + 3}{a b c + a + b + c + 4} = \frac{3 (a + b + c + 3)}{3 a b c + 3 (a + b + c) + 12} \Leftrightarrow x y + y z + x z = \frac{3 (a + b + c + 3)}{3 a b c + 3 (a + b + c) + 12} \geq \frac{3 (a + b + c + 3)}{(a + b + c) + 3 (a + b + c) + 12} = \frac{3}{4} \Rightarrow P \geq 2. \frac{3}{4} = \frac{3}{2} .$

Dấu bằng xảy ra khi $x = y = z \Rightarrow a = b = c = 1.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P = \frac{3}{2} .$

Cách 2: Vì $V ì a \geq c \Rightarrow P = \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{3}{{(c + 1)}^{2}} \geq \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(c + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(a + 1)}^{2}}$

$\Rightarrow P \geq \frac{2}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(c + 1)}^{2}}$

Ta chứng minh đẳng thức với x, y không âm.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \geq \frac{1}{1 + x y}$

$\Leftrightarrow (1 + x y) (x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y + 2) - {(x y + x + y + 1)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow (1 + x y) (x^{2} + y^{2} - 2 x y + 2 x y + 2 x + 2 y + 2) - {(x y + x + y + 1)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow (1 + x y) {(x - y)}^{2} + 2 (1 + x y) (x y + x + y + 1) - {(x y + x + y + 1)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow (1 + x y) {(x - y)}^{2} + (x y - x - y + 1) (x y + x + y + 1) \geq 0 \Leftrightarrow x y {(x - y)}^{2} + {(x - y)}^{2} + {(x y + 1)}^{2} - {(x + y)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow x y {(x - y)}^{2} + {(x y - 1)}^{2} \geq 0.$

Luôn đúng, dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1.

$\Rightarrow P = \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{3}{{(c + 1)}^{2}} \geq \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(c + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(a + 1)}^{2}}$

$\Rightarrow P \geq \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(c + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} \geq \frac{1}{1 + a b} + \frac{1}{1 + b c} + \frac{1}{1 + a c} .$

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm ta có

$(x + y + z) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \geq 9 \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{9}{x + y + z} \Rightarrow P \geq \frac{1}{1 + a b} + \frac{1}{1 + b c} + \frac{1}{1 + a c} \geq \frac{9}{3 + a b + b c + a c} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} .$

Vậy GTNN của $P = \frac{3}{2}$ khi $a = b = c = 1.$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = x^{2} + y^{2} + x y$

Xem đáp án » 12/07/2024 3,010

Câu 2:

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện $x + y \geq 6$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y}$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,253

Câu 3:

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \sqrt{x y + 3 x z} + \sqrt{\frac{y^{2} + y z}{2}}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 2,086

Câu 4:

Cho hai số $x > 0, y > 0$ . Chứng minh rằng $\frac{1}{x + y} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot$

Xem đáp án » 12/07/2024 1,906

Câu 5:

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M = x^{2} + y^{2} + \frac{3}{x + y + 1}$

Xem đáp án » 27/08/2022 1,676

Câu 6:

Cho $x, y, z$ là ba số thực dương thỏa mãn: $x + y + z = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q = \frac{x + 1}{1 + y^{2}} + \frac{y + 1}{1 + z^{2}} + \frac{z + 1}{1 + x^{2}}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 1,669

Câu 7:

Cho $x \in ℝ$ , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \frac{x^{4} + 3 x^{2} + 4}{x^{2} + 1}$

Xem đáp án » 12/07/2024 1,334

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Đăng ký gói thi VIP

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

ĐỀ THI LIÊN QUAN

Trắc nghiệm Toán 9 (Có đáp án): Căn thức bậc hai

2 đề 44,922 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Toán 9 Bài 1 (có đáp án): Căn bậc hai

2 đề 12,925 lượt thi Thi thử
Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1)

31 đề 12,348 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 có đáp án (Mới nhất)

41 đề 11,670 lượt thi Thi thử
Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1)

31 đề 10,789 lượt thi Thi thử
Bộ 30 đề thi vào 10 môn Toán có lời giải chi tiết

29 đề 10,182 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra 15 phút Toán 9 Chương 1 Đại Số (có đáp án)

7 đề 9,324 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 5: Các bài toán thực tế giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình có đáp án

10 đề 8,622 lượt thi Thi thử
Đề thi Học kì 1 Toán 9 có đáp án năm 2022-2023

31 đề 8,501 lượt thi Thi thử
Đề thi Học kì 2 Toán 9 chọn lọc, có đáp án

17 đề 8,433 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài tập

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca=3 và c≤a. Tìm giá trị nhỏ nhát của biểu thức P=1a+12+2b+12+3c+12.

Nhà sách VIETJACK:

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C=x2+y2+xy

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x+y≥6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3x+2y+6x+8y

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=xy+3xz+y2+yz2.

Cho hai số x>0,y>0. Chứng minh rằng 1x+y≤141x+1y⋅

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M=x2+y2+3x+y+1

Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn: x+y+z=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q=x+11+y2+y+11+z2+z+11+x2.

Cho x∈ℝ, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=x4+3x2+4x2+1

Bình luận

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện $a b + b c + c a = 3$ và $c \leq a .$

Tìm giá trị nhỏ nhát của biểu thức $P = \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{3}{{(c + 1)}^{2}} .$

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = x^{2} + y^{2} + x y$

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện $x + y \geq 6$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y}$

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \sqrt{x y + 3 x z} + \sqrt{\frac{y^{2} + y z}{2}}$ .

Cho hai số $x > 0, y > 0$ . Chứng minh rằng $\frac{1}{x + y} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot$

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M = x^{2} + y^{2} + \frac{3}{x + y + 1}$

Cho $x, y, z$ là ba số thực dương thỏa mãn: $x + y + z = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q = \frac{x + 1}{1 + y^{2}} + \frac{y + 1}{1 + z^{2}} + \frac{z + 1}{1 + x^{2}}$ .

Cho $x \in ℝ$ , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \frac{x^{4} + 3 x^{2} + 4}{x^{2} + 1}$