Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca=3 và c≤a. Tìm giá trị nhỏ nhát của biểu thức P=1a+12+2b+12+3c+12.

Cách 1: Theo đề bài ab+bc+ca=3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3=ab+bc+ac≥3a2b2c23⇒abc≤1,(1)a+b+c2≥3ab+bc+ac=9⇒a+b+c≥3,(2)Từ 1 và 2 ⇒a+b+c≥3abc.Đặt x=1a+1;y=1b+1;z=1c+1⇒x,y,z>0; z≥x⇒P=x2+2y2+3z2=x2+z2+2y2+2z2≥2x2+y2+z2⇒P≥2x2+y2+z2≥2xy+yz+xz.(*) Ta tìm giá trị nhỏ nhất của xy+yz+xz .xy+yz+xz=1a+1b+1+1c+1b+1+1a+1c+1⇔xy+yz+xz=a+b+c+3a+1b+1c+1=a+b+c+3abc+a+b+c+4⇔xy+yz+xz=a+b+c+3abc+a+b+c+4=3a+b+c+33abc+3a+b+c+12⇔xy+yz+xz=3a+b+c+33abc+3a+b+c+12≥3a+b+c+3a+b+c+3a+b+c+12=34⇒P≥2.34=32. Dấu bằng xảy ra khi x=y=z⇒a=b=c=1. Vậy giá trị nhỏ nhất của P=32. Cách 2: Vì Vì a≥c⇒P=1a+12+2b+12+3c+12≥1a+12+2b+12+2c+12+1a+12 ⇒P≥2a+12+2b+12+2c+12 Ta chứng minh đẳng thức với x, y không âm. 1x+12+1y+12≥11+xy ⇔1+xyx2+y2+2x+2y+2−xy+x+y+12≥0⇔1+xyx2+y2−2xy+2xy+2x+2y+2−xy+x+y+12≥0⇔1+xyx−y2+21+xyxy+x+y+1−xy+x+y+12≥0⇔1+xyx−y2+xy−x−y+1xy+x+y+1≥0⇔xyx−y2+x−y2+xy+12−x+y2≥0⇔xyx−y2+xy−12≥0. Luôn đúng, dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1. ⇒P=1a+12+2b+12+3c+12≥1a+12+2b+12+2c+12+1a+12 ⇒P≥1a+12+1b+12+1b+12+1c+12+1a+12≥11+ab+11+bc+11+ac. Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm ta có x+y+z1x+1y+1z≥9⇒1x+1y+1z≥9x+y+z⇒P≥11+ab+11+bc+11+ac≥93+ab+bc+ac=96=32. Vậy GTNN của P=32 khi a=b=c=1.

Câu hỏi:

27/08/2022 1,543

Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện $a b + b c + c a = 3$ và $c \leq a .$

Tìm giá trị nhỏ nhát của biểu thức $P = \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{3}{{(c + 1)}^{2}} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2018 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cách 1: Theo đề bài $a b + b c + c a = 3.$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

$3 = a b + b c + a c \geq 3 \sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}} \Rightarrow a b c \leq 1, (1) {(a + b + c)}^{2} \geq 3 (a b + b c + a c) = 9 \Rightarrow a + b + c \geq 3, (2) T ừ (1) v à (2) \Rightarrow a + b + c \geq 3 a b c . Đ ặ t x = \frac{1}{a + 1}; y = \frac{1}{b + 1}; z = \frac{1}{c + 1} (\Rightarrow x, y, z > 0; z \geq x) \Rightarrow P = x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} = x^{2} + z^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} \geq 2 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \Rightarrow P \geq 2 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq 2 (x y + y z + x z) . (*)$

$T a t ì m g i á t r ị n h ỏ n h ấ t c ủ a x y + y z + x z . x y + y z + x z = \frac{1}{(a + 1) (b + 1)} + \frac{1}{(c + 1) (b + 1)} + \frac{1}{(a + 1) (c + 1)} \Leftrightarrow x y + y z + x z = \frac{a + b + c + 3}{(a + 1) (b + 1) (c + 1)} = \frac{a + b + c + 3}{a b c + a + b + c + 4} \Leftrightarrow x y + y z + x z = \frac{a + b + c + 3}{a b c + a + b + c + 4} = \frac{3 (a + b + c + 3)}{3 a b c + 3 (a + b + c) + 12} \Leftrightarrow x y + y z + x z = \frac{3 (a + b + c + 3)}{3 a b c + 3 (a + b + c) + 12} \geq \frac{3 (a + b + c + 3)}{(a + b + c) + 3 (a + b + c) + 12} = \frac{3}{4} \Rightarrow P \geq 2. \frac{3}{4} = \frac{3}{2} .$

Dấu bằng xảy ra khi $x = y = z \Rightarrow a = b = c = 1.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P = \frac{3}{2} .$

Cách 2: Vì $V ì a \geq c \Rightarrow P = \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{3}{{(c + 1)}^{2}} \geq \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(c + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(a + 1)}^{2}}$

$\Rightarrow P \geq \frac{2}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(c + 1)}^{2}}$

Ta chứng minh đẳng thức với x, y không âm.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \geq \frac{1}{1 + x y}$

$\Leftrightarrow (1 + x y) (x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y + 2) - {(x y + x + y + 1)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow (1 + x y) (x^{2} + y^{2} - 2 x y + 2 x y + 2 x + 2 y + 2) - {(x y + x + y + 1)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow (1 + x y) {(x - y)}^{2} + 2 (1 + x y) (x y + x + y + 1) - {(x y + x + y + 1)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow (1 + x y) {(x - y)}^{2} + (x y - x - y + 1) (x y + x + y + 1) \geq 0 \Leftrightarrow x y {(x - y)}^{2} + {(x - y)}^{2} + {(x y + 1)}^{2} - {(x + y)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow x y {(x - y)}^{2} + {(x y - 1)}^{2} \geq 0.$

Luôn đúng, dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1.

$\Rightarrow P = \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{3}{{(c + 1)}^{2}} \geq \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(c + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(a + 1)}^{2}}$

$\Rightarrow P \geq \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(c + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} \geq \frac{1}{1 + a b} + \frac{1}{1 + b c} + \frac{1}{1 + a c} .$

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm ta có

$(x + y + z) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \geq 9 \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{9}{x + y + z} \Rightarrow P \geq \frac{1}{1 + a b} + \frac{1}{1 + b c} + \frac{1}{1 + a c} \geq \frac{9}{3 + a b + b c + a c} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} .$

Vậy GTNN của $P = \frac{3}{2}$ khi $a = b = c = 1.$

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Toán

Đã bán 261

₫ 195.000 ₫ 95.000

Hà Nội

Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Ngữ Văn

Đã bán 111

₫ 180.000 ₫ 97.000

Hà Nội

Lớp 9 - Siêu trọng tâm Toán, Văn, Anh

Đã bán 411

₫ 180.000 ₫ 97.000

Hà Nội

Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Tiếng Anh

Đã bán 1k

₫ 180.000 ₫ 97.000

Hà Nội

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = x^{2} + y^{2} + x y$

Xem đáp án » 12/07/2024 4,097

Câu 2:

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện $x + y \geq 6$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y}$

Xem đáp án » 12/07/2024 3,219

Câu 3:

Cho các số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \sqrt{3 a^{2} + 2 a b + 3 b^{2}} + \sqrt{3 b^{2} + 2 b c + 3 c^{2}} + \sqrt{3 c^{2} + 2 c a + 3 a^{2}}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 2,952

Câu 4:

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \sqrt{x y + 3 x z} + \sqrt{\frac{y^{2} + y z}{2}}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 2,787

Câu 5:

Cho $x, y, z$ là ba số thực dương thỏa mãn: $x + y + z = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q = \frac{x + 1}{1 + y^{2}} + \frac{y + 1}{1 + z^{2}} + \frac{z + 1}{1 + x^{2}}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 2,730

Câu 6:

Cho hai số $x > 0, y > 0$ . Chứng minh rằng $\frac{1}{x + y} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,569

Câu 7:

Cho các số thực x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = x^{3} + y^{3} + x^{2} + y^{2}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 2,185

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca=3 và c≤a. Tìm giá trị nhỏ nhát của biểu thức P=1a+12+2b+12+3c+12.

Bình luận

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C=x2+y2+xy

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x+y≥6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3x+2y+6x+8y

Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3a2+2ab+3b2+3b2+2bc+3c2+3c2+2ca+3a2.

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=xy+3xz+y2+yz2.

Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn: x+y+z=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q=x+11+y2+y+11+z2+z+11+x2.

Cho hai số x>0,y>0. Chứng minh rằng 1x+y≤141x+1y⋅

Cho các số thực x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q=x3+y3+x2+y2.

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện $a b + b c + c a = 3$ và $c \leq a .$

Tìm giá trị nhỏ nhát của biểu thức $P = \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{3}{{(c + 1)}^{2}} .$

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = x^{2} + y^{2} + x y$

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện $x + y \geq 6$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y}$

Cho các số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \sqrt{3 a^{2} + 2 a b + 3 b^{2}} + \sqrt{3 b^{2} + 2 b c + 3 c^{2}} + \sqrt{3 c^{2} + 2 c a + 3 a^{2}}$ .

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \sqrt{x y + 3 x z} + \sqrt{\frac{y^{2} + y z}{2}}$ .

Cho $x, y, z$ là ba số thực dương thỏa mãn: $x + y + z = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q = \frac{x + 1}{1 + y^{2}} + \frac{y + 1}{1 + z^{2}} + \frac{z + 1}{1 + x^{2}}$ .

Cho hai số $x > 0, y > 0$ . Chứng minh rằng $\frac{1}{x + y} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot$

Cho các số thực x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = x^{3} + y^{3} + x^{2} + y^{2}$ .