Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca=3 và c≤a. Tìm giá trị nhỏ nhát của biểu thức P=1a+12+2b+12+3c+12.

Cách 1: Theo đề bài ab+bc+ca=3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3=ab+bc+ac≥3a2b2c23⇒abc≤1,(1)a+b+c2≥3ab+bc+ac=9⇒a+b+c≥3,(2)Từ 1 và 2 ⇒a+b+c≥3abc.Đặt x=1a+1;y=1b+1;z=1c+1⇒x,y,z>0; z≥x⇒P=x2+2y2+3z2=x2+z2+2y2+2z2≥2x2+y2+z2⇒P≥2x2+y2+z2≥2xy+yz+xz.(*) Ta tìm giá trị nhỏ nhất của xy+yz+xz .xy+yz+xz=1a+1b+1+1c+1b+1+1a+1c+1⇔xy+yz+xz=a+b+c+3a+1b+1c+1=a+b+c+3abc+a+b+c+4⇔xy+yz+xz=a+b+c+3abc+a+b+c+4=3a+b+c+33abc+3a+b+c+12⇔xy+yz+xz=3a+b+c+33abc+3a+b+c+12≥3a+b+c+3a+b+c+3a+b+c+12=34⇒P≥2.34=32. Dấu bằng xảy ra khi x=y=z⇒a=b=c=1. Vậy giá trị nhỏ nhất của P=32. Cách 2: Vì Vì a≥c⇒P=1a+12+2b+12+3c+12≥1a+12+2b+12+2c+12+1a+12 ⇒P≥2a+12+2b+12+2c+12 Ta chứng minh đẳng thức với x, y không âm. 1x+12+1y+12≥11+xy ⇔1+xyx2+y2+2x+2y+2−xy+x+y+12≥0⇔1+xyx2+y2−2xy+2xy+2x+2y+2−xy+x+y+12≥0⇔1+xyx−y2+21+xyxy+x+y+1−xy+x+y+12≥0⇔1+xyx−y2+xy−x−y+1xy+x+y+1≥0⇔xyx−y2+x−y2+xy+12−x+y2≥0⇔xyx−y2+xy−12≥0. Luôn đúng, dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1. ⇒P=1a+12+2b+12+3c+12≥1a+12+2b+12+2c+12+1a+12 ⇒P≥1a+12+1b+12+1b+12+1c+12+1a+12≥11+ab+11+bc+11+ac. Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm ta có x+y+z1x+1y+1z≥9⇒1x+1y+1z≥9x+y+z⇒P≥11+ab+11+bc+11+ac≥93+ab+bc+ac=96=32. Vậy GTNN của P=32 khi a=b=c=1.

Câu hỏi:

27/08/2022 1,255

Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện $a b + b c + c a = 3$ và $c \leq a .$

Tìm giá trị nhỏ nhát của biểu thức $P = \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{3}{{(c + 1)}^{2}} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2018 có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cách 1: Theo đề bài $a b + b c + c a = 3.$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

$3 = a b + b c + a c \geq 3 \sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}} \Rightarrow a b c \leq 1, (1) {(a + b + c)}^{2} \geq 3 (a b + b c + a c) = 9 \Rightarrow a + b + c \geq 3, (2) T ừ (1) v à (2) \Rightarrow a + b + c \geq 3 a b c . Đ ặ t x = \frac{1}{a + 1}; y = \frac{1}{b + 1}; z = \frac{1}{c + 1} (\Rightarrow x, y, z > 0; z \geq x) \Rightarrow P = x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} = x^{2} + z^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} \geq 2 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \Rightarrow P \geq 2 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq 2 (x y + y z + x z) . (*)$

$T a t ì m g i á t r ị n h ỏ n h ấ t c ủ a x y + y z + x z . x y + y z + x z = \frac{1}{(a + 1) (b + 1)} + \frac{1}{(c + 1) (b + 1)} + \frac{1}{(a + 1) (c + 1)} \Leftrightarrow x y + y z + x z = \frac{a + b + c + 3}{(a + 1) (b + 1) (c + 1)} = \frac{a + b + c + 3}{a b c + a + b + c + 4} \Leftrightarrow x y + y z + x z = \frac{a + b + c + 3}{a b c + a + b + c + 4} = \frac{3 (a + b + c + 3)}{3 a b c + 3 (a + b + c) + 12} \Leftrightarrow x y + y z + x z = \frac{3 (a + b + c + 3)}{3 a b c + 3 (a + b + c) + 12} \geq \frac{3 (a + b + c + 3)}{(a + b + c) + 3 (a + b + c) + 12} = \frac{3}{4} \Rightarrow P \geq 2. \frac{3}{4} = \frac{3}{2} .$

Dấu bằng xảy ra khi $x = y = z \Rightarrow a = b = c = 1.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P = \frac{3}{2} .$

Cách 2: Vì $V ì a \geq c \Rightarrow P = \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{3}{{(c + 1)}^{2}} \geq \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(c + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(a + 1)}^{2}}$

$\Rightarrow P \geq \frac{2}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(c + 1)}^{2}}$

Ta chứng minh đẳng thức với x, y không âm.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \geq \frac{1}{1 + x y}$

$\Leftrightarrow (1 + x y) (x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y + 2) - {(x y + x + y + 1)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow (1 + x y) (x^{2} + y^{2} - 2 x y + 2 x y + 2 x + 2 y + 2) - {(x y + x + y + 1)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow (1 + x y) {(x - y)}^{2} + 2 (1 + x y) (x y + x + y + 1) - {(x y + x + y + 1)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow (1 + x y) {(x - y)}^{2} + (x y - x - y + 1) (x y + x + y + 1) \geq 0 \Leftrightarrow x y {(x - y)}^{2} + {(x - y)}^{2} + {(x y + 1)}^{2} - {(x + y)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow x y {(x - y)}^{2} + {(x y - 1)}^{2} \geq 0.$

Luôn đúng, dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1.

$\Rightarrow P = \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{3}{{(c + 1)}^{2}} \geq \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(c + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(a + 1)}^{2}}$

$\Rightarrow P \geq \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(c + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} \geq \frac{1}{1 + a b} + \frac{1}{1 + b c} + \frac{1}{1 + a c} .$

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm ta có

$(x + y + z) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \geq 9 \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{9}{x + y + z} \Rightarrow P \geq \frac{1}{1 + a b} + \frac{1}{1 + b c} + \frac{1}{1 + a c} \geq \frac{9}{3 + a b + b c + a c} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} .$

Vậy GTNN của $P = \frac{3}{2}$ khi $a = b = c = 1.$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Sách Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Toán VietJack

Đã bán 261

₫ 195.000 ₫ 95.000

Hà Nội

Sách Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Ngữ Văn VietJack

Đã bán 111

₫ 180.000 ₫ 97.000

Hà Nội

Sách Lớp 9 - Siêu trọng tâm Toán, Văn, Anh VietJack

Đã bán 411

₫ 180.000 ₫ 970.000

Hà Nội

Sách Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Tiếng Anh VietJack

Đã bán 1k

₫ 180.000 ₫ 97.000

Hà Nội

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = x^{2} + y^{2} + x y$

Xem đáp án » 12/07/2024 3,861

Câu 2:

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện $x + y \geq 6$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y}$

Xem đáp án » 12/07/2024 3,062

Câu 3:

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \sqrt{x y + 3 x z} + \sqrt{\frac{y^{2} + y z}{2}}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 2,647

Câu 4:

Cho $x, y, z$ là ba số thực dương thỏa mãn: $x + y + z = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q = \frac{x + 1}{1 + y^{2}} + \frac{y + 1}{1 + z^{2}} + \frac{z + 1}{1 + x^{2}}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 2,546

Câu 5:

Cho hai số $x > 0, y > 0$ . Chứng minh rằng $\frac{1}{x + y} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,404

Câu 6:

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M = x^{2} + y^{2} + \frac{3}{x + y + 1}$

Xem đáp án » 27/08/2022 1,969

Câu 7:

Cho các số thực x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = x^{3} + y^{3} + x^{2} + y^{2}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 1,969

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca=3 và c≤a. Tìm giá trị nhỏ nhát của biểu thức P=1a+12+2b+12+3c+12.

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C=x2+y2+xy

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x+y≥6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3x+2y+6x+8y

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=xy+3xz+y2+yz2.

Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn: x+y+z=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q=x+11+y2+y+11+z2+z+11+x2.

Cho hai số x>0,y>0. Chứng minh rằng 1x+y≤141x+1y⋅

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M=x2+y2+3x+y+1

Cho các số thực x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q=x3+y3+x2+y2.

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện $a b + b c + c a = 3$ và $c \leq a .$

Tìm giá trị nhỏ nhát của biểu thức $P = \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{3}{{(c + 1)}^{2}} .$

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = x^{2} + y^{2} + x y$

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện $x + y \geq 6$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y}$

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \sqrt{x y + 3 x z} + \sqrt{\frac{y^{2} + y z}{2}}$ .

Cho $x, y, z$ là ba số thực dương thỏa mãn: $x + y + z = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q = \frac{x + 1}{1 + y^{2}} + \frac{y + 1}{1 + z^{2}} + \frac{z + 1}{1 + x^{2}}$ .

Cho hai số $x > 0, y > 0$ . Chứng minh rằng $\frac{1}{x + y} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot$

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M = x^{2} + y^{2} + \frac{3}{x + y + 1}$

Cho các số thực x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = x^{3} + y^{3} + x^{2} + y^{2}$ .