Cho các số thực $a,b,c$ thay đổi luôn thỏa mãn: $a\ge 1,b\ge 1,c\ge 1$ và $ab+bc+ca=9$.

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $P=a^2+b^2+c^2$.

Cách 1:

Nhận xét: trong tất cả các điều kiện và biểu thức, vai trò của x, y đều bình đẳng nên C đạt GTNN khi x=y. Do đó, ta biến đổi như bên dưới.

Ta có: $C=x^2+y^2+xy=a{\left(x+y\right)}^2+b{\left(x-y\right)}^2=\left(a+b\right)\left(x^2+y^2\right)+2\left(a-b\right)xy$.

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}a+b=1\\ a-b=\frac{1}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{3}{4}\\ b=\frac{1}{4}\end{array}\right.$.

Hay ta có: $C=\frac{3}{4}{\left(x+y\right)}^2+\frac{1}{4}{\left(x-y\right)}^2=\frac{3}{4}.1+\frac{1}{4}{\left(x-y\right)}^2\ge \frac{3}{4}$

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}x=y\\ x+y=1\end{array}\right.\iff x=y=\frac{1}{2}$.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của C là $\min C=\frac{3}{4}$ khi $x=y=\frac{1}{2}$.

Cách 2:

Do $x+y=1\Rightarrow y=1-x$. Khi đó, ta có:

$C=x^2+y^2+xy=x^2+{\left(1-x\right)}^2+x\left(1-x\right)=x^2-x+1={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}$.

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ x+y=1\end{array}\right.\iff x=y=\frac{1}{2}$.

Vậy, $\min C=\frac{3}{4}$ khi $x=y=\frac{1}{2}$.

- Dùng máy tính casio ta chọn được điểm rơi tại x = 2, y = 4. Nên ta có:

$P=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}=\left(\frac{3x}{2}+\frac{6}{x}\right)+\left(\frac{2y}{4}+\frac{8}{y}\right)+1,5x+1,5y$

- Áp dụng BĐT Cô-si cho từng cặp số trong ngoặc ta được

$P\ge 6+4+1,5(x+y)=6+4+1,5.6=19$

Dấu bằng xảy ra khi: $\left\{\begin{array}{l}\frac{3x}{2}=\frac{6}{x}\\ \frac{2y}{4}=\frac{8}{y}\\ x+y\ge 6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\pm 2\\ y=\pm 4\\ x+y\ge 6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=4\end{array}\right.$

Vậy P_min = 19 tại $\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=4\end{array}\right.$.