Cho các số thực a,b,c thay đổi luôn thỏa mãn: a≥1,b≥1,c≥1 và ab+bc+ca=9. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P=a2+b2+c2.

+ Tìm giá trị nhỏ nhất. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có:a2+b2≥2abb2+c2≥2bcc2+a2≥2ca⇒2a2+b2+c2≥2ab+bc+ca ⇒P=a2+b2+c2≥ab+bc+ca=9 Dấu ‘=’ xảy ra ⇔a=b=c≥1ab+bc+ca=9⇔a=b=c=3. + Tìm giá trị lớn nhất. Vì a≥1b≥1c≥1⇒a−1b−1≥0b−1c−1≥0c−1a−1≥0⇒ab−a−b+1≥0bc−b−c+1≥0ca−c−a+1≥0 ⇒ab+bc+ca−2a+b+c+3≥0 ⇒3≤a+b+c≤ab+bc+ca+32=6 ⇒a+b+c2≤36 ⇒a2+b2+c2+2ab+bc+ca≤36 ⇒P≤36−2ab+bc+ca=18 Dấu ‘=’ xảy ra ⇔a=4,b=c=1b=4,c=a=1c=4,a=b=1. Vậy GTNN của P là 9, xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=3. GTLN của P là 18, xảy ra khi và chỉ khi a=4,b=c=1b=4,c=a=1c=4,a=b=1.

Câu hỏi:

12/07/2024 927

Cho các số thực $a, b, c$ thay đổi luôn thỏa mãn: $a \geq 1, b \geq 1, c \geq 1$ và $a b + b c + c a = 9$ .

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $P = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2018 có đáp án !!

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 110k).

20 đề Toán 20 đề Văn Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

+ Tìm giá trị nhỏ nhất.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có: $\{\begin{matrix} a^{2} + b^{2} \geq 2 a b \\ b^{2} + c^{2} \geq 2 b c \\ c^{2} + a^{2} \geq 2 c a \end{matrix} \Rightarrow 2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq 2 (a b + b c + c a)$

$\Rightarrow P = a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a = 9$

Dấu ‘=’ xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{matrix} a = b = c \geq 1 \\ a b + b c + c a = 9 \end{matrix} \Leftrightarrow a = b = c = \sqrt{3}$ .

+ Tìm giá trị lớn nhất.

Vì $\{\begin{matrix} a \geq 1 \\ b \geq 1 \\ c \geq 1 \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} (a - 1) (b - 1) \geq 0 \\ (b - 1) (c - 1) \geq 0 \\ (c - 1) (a - 1) \geq 0 \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} a b - a - b + 1 \geq 0 \\ b c - b - c + 1 \geq 0 \\ c a - c - a + 1 \geq 0 \end{matrix}$

$\Rightarrow a b + b c + c a - 2 (a + b + c) + 3 \geq 0$

$\Rightarrow 3 \leq a + b + c \leq \frac{a b + b c + c a + 3}{2} = 6$

$\Rightarrow {(a + b + c)}^{2} \leq 36$

$\Rightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 (a b + b c + c a) \leq 36$

$\Rightarrow P \leq 36 - 2 (a b + b c + c a) = 18$

Dấu ‘=’ xảy ra $\Leftrightarrow [\begin{matrix} a = 4, b = c = 1 \\ b = 4, c = a = 1 \\ c = 4, a = b = 1 \end{matrix}$ .

Vậy GTNN của P là 9, xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c = \sqrt{3}$ .

GTLN của P là 18, xảy ra khi và chỉ khi $[\begin{matrix} a = 4, b = c = 1 \\ b = 4, c = a = 1 \\ c = 4, a = b = 1 \end{matrix}$ .

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = x^{2} + y^{2} + x y$

Xem đáp án » 12/07/2024 3,333

Câu 2:

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện $x + y \geq 6$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y}$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,631

Câu 3:

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \sqrt{x y + 3 x z} + \sqrt{\frac{y^{2} + y z}{2}}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 2,289

Câu 4:

Cho hai số $x > 0, y > 0$ . Chứng minh rằng $\frac{1}{x + y} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,036

Câu 5:

Cho $x, y, z$ là ba số thực dương thỏa mãn: $x + y + z = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q = \frac{x + 1}{1 + y^{2}} + \frac{y + 1}{1 + z^{2}} + \frac{z + 1}{1 + x^{2}}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 1,939

Câu 6:

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M = x^{2} + y^{2} + \frac{3}{x + y + 1}$

Xem đáp án » 27/08/2022 1,780

Câu 7:

Cho các số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \sqrt{3 a^{2} + 2 a b + 3 b^{2}} + \sqrt{3 b^{2} + 2 b c + 3 c^{2}} + \sqrt{3 c^{2} + 2 c a + 3 a^{2}}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 1,462

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho các số thực a,b,c thay đổi luôn thỏa mãn: a≥1,b≥1,c≥1 và ab+bc+ca=9. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P=a2+b2+c2.

Nhà sách VIETJACK:

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C=x2+y2+xy

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x+y≥6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3x+2y+6x+8y

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=xy+3xz+y2+yz2.

Cho hai số x>0,y>0. Chứng minh rằng 1x+y≤141x+1y⋅

Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn: x+y+z=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q=x+11+y2+y+11+z2+z+11+x2.

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M=x2+y2+3x+y+1

Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3a2+2ab+3b2+3b2+2bc+3c2+3c2+2ca+3a2.

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho các số thực $a, b, c$ thay đổi luôn thỏa mãn: $a \geq 1, b \geq 1, c \geq 1$ và $a b + b c + c a = 9$ .

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $P = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = x^{2} + y^{2} + x y$

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện $x + y \geq 6$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y}$

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \sqrt{x y + 3 x z} + \sqrt{\frac{y^{2} + y z}{2}}$ .

Cho hai số $x > 0, y > 0$ . Chứng minh rằng $\frac{1}{x + y} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot$

Cho $x, y, z$ là ba số thực dương thỏa mãn: $x + y + z = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q = \frac{x + 1}{1 + y^{2}} + \frac{y + 1}{1 + z^{2}} + \frac{z + 1}{1 + x^{2}}$ .

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M = x^{2} + y^{2} + \frac{3}{x + y + 1}$

Cho các số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \sqrt{3 a^{2} + 2 a b + 3 b^{2}} + \sqrt{3 b^{2} + 2 b c + 3 c^{2}} + \sqrt{3 c^{2} + 2 c a + 3 a^{2}}$ .