Cho các số thực a,b,c thay đổi luôn thỏa mãn: a≥1,b≥1,c≥1 và ab+bc+ca=9. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P=a2+b2+c2.

+ Tìm giá trị nhỏ nhất. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có:a2+b2≥2abb2+c2≥2bcc2+a2≥2ca⇒2a2+b2+c2≥2ab+bc+ca ⇒P=a2+b2+c2≥ab+bc+ca=9 Dấu ‘=’ xảy ra ⇔a=b=c≥1ab+bc+ca=9⇔a=b=c=3. + Tìm giá trị lớn nhất. Vì a≥1b≥1c≥1⇒a−1b−1≥0b−1c−1≥0c−1a−1≥0⇒ab−a−b+1≥0bc−b−c+1≥0ca−c−a+1≥0 ⇒ab+bc+ca−2a+b+c+3≥0 ⇒3≤a+b+c≤ab+bc+ca+32=6 ⇒a+b+c2≤36 ⇒a2+b2+c2+2ab+bc+ca≤36 ⇒P≤36−2ab+bc+ca=18 Dấu ‘=’ xảy ra ⇔a=4,b=c=1b=4,c=a=1c=4,a=b=1. Vậy GTNN của P là 9, xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=3. GTLN của P là 18, xảy ra khi và chỉ khi a=4,b=c=1b=4,c=a=1c=4,a=b=1.

Câu hỏi:

12/07/2024 968

Cho các số thực $a, b, c$ thay đổi luôn thỏa mãn: $a \geq 1, b \geq 1, c \geq 1$ và $a b + b c + c a = 9$ .

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $P = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2018 có đáp án !!

Sale Tết giảm 50% 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Sách đề toán-lý-hóa Sách văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

+ Tìm giá trị nhỏ nhất.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có: $\{\begin{matrix} a^{2} + b^{2} \geq 2 a b \\ b^{2} + c^{2} \geq 2 b c \\ c^{2} + a^{2} \geq 2 c a \end{matrix} \Rightarrow 2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq 2 (a b + b c + c a)$

$\Rightarrow P = a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a = 9$

Dấu ‘=’ xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{matrix} a = b = c \geq 1 \\ a b + b c + c a = 9 \end{matrix} \Leftrightarrow a = b = c = \sqrt{3}$ .

+ Tìm giá trị lớn nhất.

Vì $\{\begin{matrix} a \geq 1 \\ b \geq 1 \\ c \geq 1 \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} (a - 1) (b - 1) \geq 0 \\ (b - 1) (c - 1) \geq 0 \\ (c - 1) (a - 1) \geq 0 \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} a b - a - b + 1 \geq 0 \\ b c - b - c + 1 \geq 0 \\ c a - c - a + 1 \geq 0 \end{matrix}$

$\Rightarrow a b + b c + c a - 2 (a + b + c) + 3 \geq 0$

$\Rightarrow 3 \leq a + b + c \leq \frac{a b + b c + c a + 3}{2} = 6$

$\Rightarrow {(a + b + c)}^{2} \leq 36$

$\Rightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 (a b + b c + c a) \leq 36$

$\Rightarrow P \leq 36 - 2 (a b + b c + c a) = 18$

Dấu ‘=’ xảy ra $\Leftrightarrow [\begin{matrix} a = 4, b = c = 1 \\ b = 4, c = a = 1 \\ c = 4, a = b = 1 \end{matrix}$ .

Vậy GTNN của P là 9, xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c = \sqrt{3}$ .

GTLN của P là 18, xảy ra khi và chỉ khi $[\begin{matrix} a = 4, b = c = 1 \\ b = 4, c = a = 1 \\ c = 4, a = b = 1 \end{matrix}$ .

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = x^{2} + y^{2} + x y$

Xem đáp án » 12/07/2024 3,521

Câu 2:

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện $x + y \geq 6$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y}$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,790

Câu 3:

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \sqrt{x y + 3 x z} + \sqrt{\frac{y^{2} + y z}{2}}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 2,385

Câu 4:

Cho hai số $x > 0, y > 0$ . Chứng minh rằng $\frac{1}{x + y} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,149

Câu 5:

Cho $x, y, z$ là ba số thực dương thỏa mãn: $x + y + z = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q = \frac{x + 1}{1 + y^{2}} + \frac{y + 1}{1 + z^{2}} + \frac{z + 1}{1 + x^{2}}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 2,080

Câu 6:

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M = x^{2} + y^{2} + \frac{3}{x + y + 1}$

Xem đáp án » 27/08/2022 1,823

Câu 7:

Cho các số thực x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = x^{3} + y^{3} + x^{2} + y^{2}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 1,584

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP