Chuyên đề 4: Giải toán bằng cách lập phương trình, lập hệ phương trình

34 người thi tuần này 5.0 12.7 K lượt thi 43 câu hỏi 60 phút

Câu 1/43

Một xưởng mỹ nghệ dự định sản xuất thủ công một lô hàng gồm 300 cái giỏ tre. Trước khi tiến hành, xưởng được bổ sung thêm 5 công nhân nên số giỏ trẻ phải làm của mỗi người giảm 3 cái so với dự định. Hỏi lúc dự định, xưởng có bao nhiêu công nhân? Biết năng suất làm việc của mỗi người như nhau.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi x là số công nhân ban đầu của xưởng. (điều kiện $x \in N *$ )

Khi đó, theo dự định mỗi công nhân phải làm $\frac{300}{x}$ cái giỏ.

Sau khi xưởng được bổ sung thêm 5 công nhân thì số giỏ mỗi người phải làm là $\frac{300}{x + 5} .$

Theo đề bài ta có phương trình: $\frac{300}{x} - \frac{300}{x + 5} = 3 \Leftrightarrow 300 (x + 5 - x) = 3 x (x + 5)$

$\Leftrightarrow x (x + 5) = 500 \Leftrightarrow x^{2} + 5 x - 500 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 20 \\ x = - 25 \end{array}$

Kiểm tra điều kiện ta chọn x=20

Vậy lúc dự định xưởng có 20 công nhân.

Câu 2/43

Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5cm và diện tích bằng $6 {cm}^{2}$ . Tính độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông đó.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi x(cm) là độ dài một cạnh góc vuông (x>0). Khi đó cạnh góc vuông kia là: $\frac{12}{x}$ (cm)

Theo đề bài ta có phương trình: $x^{2} + {(\frac{12}{x})}^{2} = 5^{2} \Leftrightarrow x^{4} - 25 x^{2} + 144 = 0$

Đặt $x^{2} = t$ , t>0, phương trình trở thành: $t^{2} - 25 t + 144 = 0$

Giải phương trình bậc 2 theo biến t ta được: $t_{1} = 16$ (thỏa điều kiện); $t_{2} = 9$ (thỏa điều kiện)

Với $t = 16$ $\Rightarrow x = 4$ (vì x>0)

Với $t = 9$ $\Rightarrow x = 3$ (vì x>0)

Vậy hai cạnh góc vuông cần tìm là 3cmvà 4cm.

Cách 2: Gọi hai cạnh góc vuông của tam giác là $x (cm), y (cm)$ (ĐK:x, y>0).

Theo định lí Py-ta-go, ta có: $x^{2} + y^{2} = 25$ .

Diện tích tam giác là $6 {cm}^{2}$ nên: $\frac{1}{2} x y = 6 \Rightarrow x y = 12$

Ta có: $x^{2} + y^{2} = 25$ $\Leftrightarrow {(x + y)}^{2} - 2 x y = 25$ $\Leftrightarrow {(x + y)}^{2} = 49$ $\Leftrightarrow x + y = 7$

Do đó, ta có: $\{\begin{cases} x + y = 7 \\ x y = 12 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 \\ y = 4 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} x = 4 \\ y = 3 \end{cases}$

Vậy 2 cạnh góc vuông cần tìm là: 3cm và 4cm.

Câu 3/43

Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình.

Một nhóm gồm 15 học sinh (cả nam và nữ) tham gia buổi lao động trồng cây. Các bạn nam trồng được 30 cây, các bạn nữ trồng được 36 cây. Mỗi bạn nam trồng được số cây như nhau và mỗi bạn nữ trồng được số cây như nhau. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của nhóm, biết rằng mỗi bạn nam trồng được nhiều hơn mỗi bạn nữ 1 cây.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi số HS nam của nhóm là $(x \in ℕ; 0 < x < 15)$ , số HS nữ là 15-x

Theo đề bài số cây các bạn nam trồng được là 30 và số cây các bạn nữ trồng được là 36 nên

Mỗi HS nam trồng được $\frac{30}{x}$ cây,

Mỗi HS nữ trồng được $\frac{36}{15 - x}$ cây.

Vì mỗi bạn nam trồng được nhiều hơn mỗi bạn nữ cây nên ta có

$\frac{30}{x} - \frac{36}{15 - x} = 1 \Leftrightarrow 30 (15 - x) - 36 x = x (15 - x)$

$\Leftrightarrow x^{2} - 81 x + 450 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 75 (l o a i) \\ x = 6 (n h a n) \end{array} .$

Vậy có 6 HS nam và 9 HS nữ.

Câu 4/43

Để chuẩn bị cho năm học mới, học sinh hai lớp 9A và 9B ủng hộ thư viện 738 quyển sách gồm hai loại sách giáo khoa và sách tham khảo. Trong đó mỗi học sinh lớp 9A ủng hộ 6 quyển sách giáo khoa và 3 quyển sách tham khảo; mỗi học sinh lớp 9B ủng hộ 5 quyển sách giáo khoa và 4 quyển sách tham khảo. Biết số sách giáo khoa ủng hộ nhiều hơn số sách tham khảo là 166 quyển. Tính số học sinh của mỗi lớp.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi số học sinh của hai lớp 9A và 9B lần lượt là x và y ( $x, y \in ℕ^{*}$ ).

Số sách giáo khoa hai lớp ủng hộ là $6 x + 5 y$ .

Số sách tham khảo hai lớp ủng hộ là $3 x + 4 y$ .

Vì cả hai lớp ủng hộ số sách là 738 cuốn nên ta có $6 x + 5 y + 3 x + 4 y = 738$ và

số sách giáo khoa ủng hộ nhiều hơn sách tham khảo 166 cuốn nên $6 x + 5 y - (3 x + 4 y) = 166$ .

Do đó ta có hệ phương trình $\{\begin{cases} 9 x + 9 y = 738 \\ 3 x + y = 166 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y = 82 \\ 3 x + y = 166 \end{cases}$ $\Leftrightarrow x = 42, y = 40$ .( Thỏa mãn)

Vậy lớp 9A có 42 học sinh, lớp 9B có 40 học sinh.

Câu 5/43

Hai đội công nhân đắp đê ngăn triều cường. Nếu hai đội cùng làm thì trong 6 ngày là xong việc. Nếu làm riêng thì đội I hoàn thành công việc chậm hơn đội II là 9 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội đắp xong đê trong bao nhiêu ngày?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi thời gian đội I làm riêng đắp xong đê là (ngày). Điều kiện : x>6.

Gọi thời gian đội II làm riêng đắp xong đê là (ngày). Điều kiện: x>y>6.

Đối tượng		Số ngày hoàn thành công việc (ngày)	Số công việc làm trong một ngày.
Làm chung		6
Làm riêng	Đội thứ I	x
Làm riêng	Đội thứ II	y	$\frac{1}{y}$
Phương trình			$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$ (1)

Nếu làm riêng thì đội I hoàn thành công việc chậm hơn đội II là 9 ngày nên ta có phương trình:

x-y=9 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\{\begin{matrix} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \\ x - y = 9 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 6 y + 6 x = x y \\ x = 9 + y \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 6 y + 6 (9 + y) = (9 + y) y \\ x = 9 + y \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} y^{2} - 3 y - 54 = 0 (3) \\ x = 9 + y (4) \end{matrix}$

Từ (3) $\Leftrightarrow y^{2} - 3 y - 54 = 0$

Ta có: $Δ' = {(- 3)}^{2} - 4.1. (- 54) = 225 > 0$

Suy ra $y_{1} = 9$ (nhận), $y_{2} = - 6$ (loại).

Thay y=9 vào (4) ta được $x = 9 + 9 = 18$ .

Vậy thời gian đội I làm riêng đắp xong đê là 18 ngày.

Thời gian đội II làm riêng đắp xong đê là 9 ngày.

Câu 6/43

Một đám đất hình chữ nhật có chu vi 24 m. Nếu tăng độ dài một cạnh lên 2 m và giảm độ dài cạnh còn lại 1 m thì diện tích mảnh đất tăng thêm 1 m². Tìm độ dài các cạnh của hình chữ nhật ban đầu.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi x (m) là cạnh thứ nhất của mảnh đất hình chữ nhật.

y (m) là cạnh thứ hai của mảnh đất hình chữ nhật.

Điều kiện: 0<x<12, 1<y<12.

Diện tích mảnh đất ban đầu: x,y (m²).

Theo đề ta có phương trình: 2(x+y)=24 (m). (1)

Giả sử tăng độ dài một cạnh lên 2 m và giảm độ dài cạnh còn lại 1 m.

Độ dài cạnh thứ nhất khi tăng 2 m: x+2 (m).

Độ dài cạnh còn lại khi giảm 1 m: y-1 (m).

Diện tích mảnh đất khi thay đổi: (x+2)(y-1) (m²).

Theo đề ta có phương trình: $(x + 2) (y - 1) - x y = 1$ . (2)

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình:

$\{\begin{cases} 2 (x + y) = 24 \\ (x + 2) (y - 1) - x y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y = 12 \\ - x + 2 y = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 7 \\ y = 5 \end{cases}$

Vậy kích thước mảnh đất lúc đầu là: 7 m; 5 m.

Câu 7/43

Cho vườn hoa hình chữ nhật có diện tích bằng $91 m^{2}$ và chiều dài lớn hơn chiều rộng 6m. Tìm chu vi của vườn hoa?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi x(m) là chiều rộng của vườn hoa, x>0

Chiều dài của vườn hoa là x+6 (m).

Theo đề bài ta có phương trình:

$x (x + 6) = 91 \Leftrightarrow x^{2} + 6 x - 91 = 0 \Leftrightarrow (x - 7) (x + 13) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 7 (t m) \\ x = - 13 (k t m) \end{array}$ Vậy chu vi của vườn hoa hình chữ nhật là 40m .

Câu 8/43

Một nhóm học sinh có kế hoạch trồng 200 cây tràm giúp gia đình bạn An. Vì có 2 học sinh bị bệnh không tham gia được nên mỗi học sinh còn lại phải trồng thêm 5 cây so với dự định để hoàn thành kế hoạch.(Biết số cây mỗi học sinh trồng là như nhau). Tính số học sinh thực tế đã trồng cây.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi x là số học sinh, y là số cây mỗi em đã trồng (x>0; y>0)

Tổng số cây các em trồng: x.y=200 (1)

Hai học sinh bị bệnh không tham gia: x-2

Mỗi học sinh trồng thêm 5 cây: y+5

Khi đó tổng số cây : (x-2)(y+5)=200 (2)

Từ (1)(2)

$\{\begin{cases} x . y = 200 \\ (x - 2) (y + 5) = 200 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x . y = 200 \\ 5 x - 2 y = 10 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{10 + 2 y}{5} \\ \frac{10 + 2 y}{5} y = 200 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{10 + 2 y}{5} \\ 2 y^{2} + 10 y - 1000 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 10 \\ y = 20 \end{cases}$