Chuyên đề 4: Giải toán bằng cách lập phương trình, lập hệ phương trình

Thi Online Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2018 có đáp án

Chuyên đề 4: Giải toán bằng cách lập phương trình, lập hệ phương trình

3303 lượt thi
43 câu hỏi
60 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Câu 1:

Một xưởng mỹ nghệ dự định sản xuất thủ công một lô hàng gồm 300 cái giỏ tre. Trước khi tiến hành, xưởng được bổ sung thêm 5 công nhân nên số giỏ trẻ phải làm của mỗi người giảm 3 cái so với dự định. Hỏi lúc dự định, xưởng có bao nhiêu công nhân? Biết năng suất làm việc của mỗi người như nhau.

Xem đáp án

Gọi x là số công nhân ban đầu của xưởng. (điều kiện $x \in N *$ )

Khi đó, theo dự định mỗi công nhân phải làm $\frac{300}{x}$ cái giỏ.

Sau khi xưởng được bổ sung thêm 5 công nhân thì số giỏ mỗi người phải làm là $\frac{300}{x + 5} .$

Theo đề bài ta có phương trình: $\frac{300}{x} - \frac{300}{x + 5} = 3 \Leftrightarrow 300 (x + 5 - x) = 3 x (x + 5)$

$\Leftrightarrow x (x + 5) = 500 \Leftrightarrow x^{2} + 5 x - 500 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 20 \\ x = - 25 \end{array}$

Kiểm tra điều kiện ta chọn x=20

Vậy lúc dự định xưởng có 20 công nhân.

Câu 2:

Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5cm và diện tích bằng $6 {cm}^{2}$ . Tính độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông đó.

Xem đáp án

Gọi x(cm) là độ dài một cạnh góc vuông (x>0). Khi đó cạnh góc vuông kia là: $\frac{12}{x}$ (cm)

Theo đề bài ta có phương trình: $x^{2} + {(\frac{12}{x})}^{2} = 5^{2} \Leftrightarrow x^{4} - 25 x^{2} + 144 = 0$

Đặt $x^{2} = t$ , t>0, phương trình trở thành: $t^{2} - 25 t + 144 = 0$

Giải phương trình bậc 2 theo biến t ta được: $t_{1} = 16$ (thỏa điều kiện); $t_{2} = 9$ (thỏa điều kiện)

Với $t = 16$ $\Rightarrow x = 4$ (vì x>0)

Với $t = 9$ $\Rightarrow x = 3$ (vì x>0)

Vậy hai cạnh góc vuông cần tìm là 3cmvà 4cm.

Cách 2: Gọi hai cạnh góc vuông của tam giác là $x (cm), y (cm)$ (ĐK:x, y>0).

Theo định lí Py-ta-go, ta có: $x^{2} + y^{2} = 25$ .

Diện tích tam giác là $6 {cm}^{2}$ nên: $\frac{1}{2} x y = 6 \Rightarrow x y = 12$

Ta có: $x^{2} + y^{2} = 25$ $\Leftrightarrow {(x + y)}^{2} - 2 x y = 25$ $\Leftrightarrow {(x + y)}^{2} = 49$ $\Leftrightarrow x + y = 7$

Do đó, ta có: $\{\begin{cases} x + y = 7 \\ x y = 12 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 \\ y = 4 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} x = 4 \\ y = 3 \end{cases}$

Vậy 2 cạnh góc vuông cần tìm là: 3cm và 4cm.

Câu 3:

Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình.

Một nhóm gồm 15 học sinh (cả nam và nữ) tham gia buổi lao động trồng cây. Các bạn nam trồng được 30 cây, các bạn nữ trồng được 36 cây. Mỗi bạn nam trồng được số cây như nhau và mỗi bạn nữ trồng được số cây như nhau. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của nhóm, biết rằng mỗi bạn nam trồng được nhiều hơn mỗi bạn nữ 1 cây.

Xem đáp án

Gọi số HS nam của nhóm là $(x \in ℕ; 0 < x < 15)$ , số HS nữ là 15-x

Theo đề bài số cây các bạn nam trồng được là 30 và số cây các bạn nữ trồng được là 36 nên

Mỗi HS nam trồng được $\frac{30}{x}$ cây,

Mỗi HS nữ trồng được $\frac{36}{15 - x}$ cây.

Vì mỗi bạn nam trồng được nhiều hơn mỗi bạn nữ cây nên ta có

$\frac{30}{x} - \frac{36}{15 - x} = 1 \Leftrightarrow 30 (15 - x) - 36 x = x (15 - x)$

$\Leftrightarrow x^{2} - 81 x + 450 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 75 (l o a i) \\ x = 6 (n h a n) \end{array} .$

Vậy có 6 HS nam và 9 HS nữ.

Câu 4:

Để chuẩn bị cho năm học mới, học sinh hai lớp 9A và 9B ủng hộ thư viện 738 quyển sách gồm hai loại sách giáo khoa và sách tham khảo. Trong đó mỗi học sinh lớp 9A ủng hộ 6 quyển sách giáo khoa và 3 quyển sách tham khảo; mỗi học sinh lớp 9B ủng hộ 5 quyển sách giáo khoa và 4 quyển sách tham khảo. Biết số sách giáo khoa ủng hộ nhiều hơn số sách tham khảo là 166 quyển. Tính số học sinh của mỗi lớp.

Xem đáp án

Gọi số học sinh của hai lớp 9A và 9B lần lượt là x và y ( $x, y \in ℕ^{*}$ ).

Số sách giáo khoa hai lớp ủng hộ là $6 x + 5 y$ .

Số sách tham khảo hai lớp ủng hộ là $3 x + 4 y$ .

Vì cả hai lớp ủng hộ số sách là 738 cuốn nên ta có $6 x + 5 y + 3 x + 4 y = 738$ và

số sách giáo khoa ủng hộ nhiều hơn sách tham khảo 166 cuốn nên $6 x + 5 y - (3 x + 4 y) = 166$ .

Do đó ta có hệ phương trình $\{\begin{cases} 9 x + 9 y = 738 \\ 3 x + y = 166 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y = 82 \\ 3 x + y = 166 \end{cases}$ $\Leftrightarrow x = 42, y = 40$ .( Thỏa mãn)

Vậy lớp 9A có 42 học sinh, lớp 9B có 40 học sinh.

Câu 5:

Hai đội công nhân đắp đê ngăn triều cường. Nếu hai đội cùng làm thì trong 6 ngày là xong việc. Nếu làm riêng thì đội I hoàn thành công việc chậm hơn đội II là 9 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội đắp xong đê trong bao nhiêu ngày?

Xem đáp án

Gọi thời gian đội I làm riêng đắp xong đê là (ngày). Điều kiện : x>6.

Gọi thời gian đội II làm riêng đắp xong đê là (ngày). Điều kiện: x>y>6.

Đối tượng		Số ngày hoàn thành công việc (ngày)	Số công việc làm trong một ngày.
Làm chung		6
Làm riêng	Đội thứ I	x
Làm riêng	Đội thứ II	y	$\frac{1}{y}$
Phương trình			$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$ (1)

Nếu làm riêng thì đội I hoàn thành công việc chậm hơn đội II là 9 ngày nên ta có phương trình:

x-y=9 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\{\begin{matrix} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \\ x - y = 9 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 6 y + 6 x = x y \\ x = 9 + y \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 6 y + 6 (9 + y) = (9 + y) y \\ x = 9 + y \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} y^{2} - 3 y - 54 = 0 (3) \\ x = 9 + y (4) \end{matrix}$

Từ (3) $\Leftrightarrow y^{2} - 3 y - 54 = 0$

Ta có: $Δ' = {(- 3)}^{2} - 4.1. (- 54) = 225 > 0$

Suy ra $y_{1} = 9$ (nhận), $y_{2} = - 6$ (loại).

Thay y=9 vào (4) ta được $x = 9 + 9 = 18$ .

Vậy thời gian đội I làm riêng đắp xong đê là 18 ngày.

Thời gian đội II làm riêng đắp xong đê là 9 ngày.

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Bài thi liên quan:

Các bài thi hot trong chương:

Đánh giá trung bình

Thi Online Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2018 có đáp án