a) $\sqrt{3} x + \sqrt{12} x = \sqrt{27} \Leftrightarrow \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} x = 3 \sqrt{3} \Leftrightarrow 3 \sqrt{3} x = 3 \sqrt{3} \Leftrightarrow x = 1$

Vậy S={1}

Câu 2/117

b) $x^{2} + x - 20 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

b) $x^{2} + x - 20 = 0$

$Δ = 1^{2} - 4.1. (- 20) = 81 > 0$ . Phương trình có hai nghiệm phân biệt $[\begin{array}{l} x_{1} = \frac{- 1 + \sqrt{81}}{2} = 4 \\ x_{2} = \frac{- 1 - \sqrt{81}}{2} = - 5 \end{array}$

Vậy S={-5;4}

Câu 3/117

Cho phương trình bậc hai ẩn $x : x^{2} + (4 m + 1) x + 2 m - 8 = 0$ (m là tham số).

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ với mọi tham số m.

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có $Δ = {(4 m + 1)}^{2} - 4.1. (2 m - 8) = 16 m^{2} + 33 > 0$ với mọi giá trị của m.

Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ với mọi tham số m.

Câu 4/117

b) Tìm m để hai nghiệm x₁; x₂của phương trình đã cho thỏa mãn điều kiện |x₁-x₂|=17.

Xem đáp án

Lời giải

b) Vì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ với mọi tham số m nên theo định lí Vi-et:

$\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = - 4 m - 1 \\ x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a} = 2 m - 8 \end{cases}$

Ta có: $|x_{1} - x_{2}| = 17 \Leftrightarrow {(x_{1} - x_{2})}^{2} = 289 \Leftrightarrow x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 289 \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2} = 289$

\Leftrightarrow {(- 4 m - 1)}^{2} - 4 (2 m - 8) = 289 \Leftrightarrow 16 m^{2} - 256 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 4 \\ m = - 4 \end{array}

Vậy $m = \pm 4$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 5/117

Giải phương trình: $x^{2} - 3 x + 2 = 0 .$

Xem đáp án

Lời giải

Cách 1: Do $1 + (- 3) + 2 = 0$ nên phương trình đã cho có hai nghiệm $x_{1} = 1; x_{2} = 2 .$

Cách 2: $Δ = {(- 3)}^{2} - 4.2 = 1 \Rightarrow \sqrt{Δ} = 1 .$

Phương trình đã cho có hai nghiệm $x_{1} = \frac{- (- 3) - 1}{2} = 1;$ $x_{2} = \frac{- (- 3) + 1}{2} = 2 .$

Câu 6/117

Giải phương trình: $6 . {(x - \frac{x}{x + 2})}^{2} + \frac{x^{2} - 12 x - 12}{x + 1} = 0 .$

Xem đáp án

Lời giải

Điều kiện $x \neq 1$

Phương trình $\Leftrightarrow 6 {(\frac{x^{2}}{x + 1})}^{2} + \frac{x^{2}}{x + 1} - 12 = 0$

Đặt: $t = \frac{x^{2}}{x + 1}$

Phương trình trở thành $6 t^{2} + t - 12 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t_{1} = \frac{4}{3} \\ t_{1} = - \frac{3}{2} \end{array}$

Với $t = \frac{4}{3}$ ta được $\frac{x^{2}}{x + 1} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow 3 x^{2} - 4 x - 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - \frac{2}{3} \end{array}$

Với $t = - \frac{3}{2}$ ta được $\frac{x^{2}}{x + 1} = - \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2 x^{2} + 3 x + 3 = 0$ (vô nghiệm).

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm: $S = \{2; \frac{- 2}{3}\} .$

Câu 7/117

Cho phương trình $x^{2} - (2 m + 5) x + 2 m + 1 = 0 (1)$ với x là ẩn số, m là tham số.
a) Giải phương trình (1) khi $m = - \frac{1}{2}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình $x^{2} - (2 m + 5) x + 2 m + 1 = 0$ (1) với xlà ẩn, m là tham số.

a) Khi $m = \frac{- 1}{2}$ , phương trình trên trở thành $x^{2} - 4 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 4 \end{array}$ .

Câu 8/117

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁ , x₂ sao cho biểu thức $P = | \sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{2}} |$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Xem đáp án

Lời giải

b) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì $Δ = {(2 m + 5)}^{2} - 4 (2 m + 1) > 0$

$\Leftrightarrow 4 m^{2} + 12 m + 21 > 0 \Leftrightarrow {(2 m + 3)}^{2} + 12 > 0$ . Bất đẳng thức sau cùng luôn đúng với mọi giá trị của m. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Để $P = | \sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{2}} |$ có nghĩa thì x₁ và x₂ phải dương $\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 m + 5 \geq 0 \\ 2 m + 1 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m \geq - \frac{1}{2}$ .

Khi đó theo định lý Vi-et ta có $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 m + 5 \\ x_{1} x_{2} = 2 m + 1 \end{cases}$ ( với x₁ và x₂ là hai nghiệm của (1)).

Do đó $P^{2} = x_{1} + x_{2} - 2 \sqrt{x_{1} x_{2}} = 2 m + 5 - 2 \sqrt{2 m + 1}$

$= {(\sqrt{2 m + 1} - 1)}^{2} + 3 \geq 3 \Rightarrow P \geq \sqrt{3}$ .

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\sqrt{3}$ khi $\sqrt{2 m + 1} = 1 \Leftrightarrow m = 0.$

Câu 9/117