Chuyên đề 7: Phương trình (có đáp án)

Câu 1

Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{3} x + \sqrt{12} x = \sqrt{27}$

Xem đáp án

Lời giải

a) $\sqrt{3} x + \sqrt{12} x = \sqrt{27} \Leftrightarrow \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} x = 3 \sqrt{3} \Leftrightarrow 3 \sqrt{3} x = 3 \sqrt{3} \Leftrightarrow x = 1$

Vậy S={1}

Câu 2

b) $x^{2} + x - 20 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

b) $x^{2} + x - 20 = 0$

$Δ = 1^{2} - 4.1. (- 20) = 81 > 0$ . Phương trình có hai nghiệm phân biệt $[\begin{array}{l} x_{1} = \frac{- 1 + \sqrt{81}}{2} = 4 \\ x_{2} = \frac{- 1 - \sqrt{81}}{2} = - 5 \end{array}$

Vậy S={-5;4}

Câu 3

Cho phương trình bậc hai ẩn $x : x^{2} + (4 m + 1) x + 2 m - 8 = 0$ (m là tham số).

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ với mọi tham số m.

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có $Δ = {(4 m + 1)}^{2} - 4.1. (2 m - 8) = 16 m^{2} + 33 > 0$ với mọi giá trị của m.

Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ với mọi tham số m.

Câu 4

b) Tìm m để hai nghiệm x₁; x₂của phương trình đã cho thỏa mãn điều kiện |x₁-x₂|=17.

Xem đáp án

Lời giải

b) Vì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ với mọi tham số m nên theo định lí Vi-et:

$\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = - 4 m - 1 \\ x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a} = 2 m - 8 \end{cases}$

Ta có: $|x_{1} - x_{2}| = 17 \Leftrightarrow {(x_{1} - x_{2})}^{2} = 289 \Leftrightarrow x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 289 \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2} = 289$

\Leftrightarrow {(- 4 m - 1)}^{2} - 4 (2 m - 8) = 289 \Leftrightarrow 16 m^{2} - 256 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 4 \\ m = - 4 \end{array}

Vậy $m = \pm 4$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 5

Giải phương trình: $x^{2} - 3 x + 2 = 0 .$

Xem đáp án

Lời giải

Cách 1: Do $1 + (- 3) + 2 = 0$ nên phương trình đã cho có hai nghiệm $x_{1} = 1; x_{2} = 2 .$

Cách 2: $Δ = {(- 3)}^{2} - 4.2 = 1 \Rightarrow \sqrt{Δ} = 1 .$

Phương trình đã cho có hai nghiệm $x_{1} = \frac{- (- 3) - 1}{2} = 1;$ $x_{2} = \frac{- (- 3) + 1}{2} = 2 .$

Câu 6

Giải phương trình: $6 . {(x - \frac{x}{x + 2})}^{2} + \frac{x^{2} - 12 x - 12}{x + 1} = 0 .$

Xem đáp án

Lời giải

Điều kiện $x \neq 1$

Phương trình $\Leftrightarrow 6 {(\frac{x^{2}}{x + 1})}^{2} + \frac{x^{2}}{x + 1} - 12 = 0$

Đặt: $t = \frac{x^{2}}{x + 1}$

Phương trình trở thành $6 t^{2} + t - 12 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t_{1} = \frac{4}{3} \\ t_{1} = - \frac{3}{2} \end{array}$

Với $t = \frac{4}{3}$ ta được $\frac{x^{2}}{x + 1} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow 3 x^{2} - 4 x - 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - \frac{2}{3} \end{array}$

Với $t = - \frac{3}{2}$ ta được $\frac{x^{2}}{x + 1} = - \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2 x^{2} + 3 x + 3 = 0$ (vô nghiệm).

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm: $S = \{2; \frac{- 2}{3}\} .$

Câu 7

Cho phương trình $x^{2} - (2 m + 5) x + 2 m + 1 = 0 (1)$ với x là ẩn số, m là tham số.
a) Giải phương trình (1) khi $m = - \frac{1}{2}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình $x^{2} - (2 m + 5) x + 2 m + 1 = 0$ (1) với xlà ẩn, m là tham số.

a) Khi $m = \frac{- 1}{2}$ , phương trình trên trở thành $x^{2} - 4 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 4 \end{array}$ .

Câu 8

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁ , x₂ sao cho biểu thức $P = | \sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{2}} |$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Xem đáp án

Lời giải

b) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì $Δ = {(2 m + 5)}^{2} - 4 (2 m + 1) > 0$

$\Leftrightarrow 4 m^{2} + 12 m + 21 > 0 \Leftrightarrow {(2 m + 3)}^{2} + 12 > 0$ . Bất đẳng thức sau cùng luôn đúng với mọi giá trị của m. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Để $P = | \sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{2}} |$ có nghĩa thì x₁ và x₂ phải dương $\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 m + 5 \geq 0 \\ 2 m + 1 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m \geq - \frac{1}{2}$ .

Khi đó theo định lý Vi-et ta có $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 m + 5 \\ x_{1} x_{2} = 2 m + 1 \end{cases}$ ( với x₁ và x₂ là hai nghiệm của (1)).

Do đó $P^{2} = x_{1} + x_{2} - 2 \sqrt{x_{1} x_{2}} = 2 m + 5 - 2 \sqrt{2 m + 1}$

$= {(\sqrt{2 m + 1} - 1)}^{2} + 3 \geq 3 \Rightarrow P \geq \sqrt{3}$ .

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\sqrt{3}$ khi $\sqrt{2 m + 1} = 1 \Leftrightarrow m = 0.$

Câu 9

Cho phương trình $x^{2} - (m - 1) x - m^{2} + m - 1 = 0 (1)$ .

a) Giải phương trình với m=-1.

Xem đáp án

Lời giải

a) Thay m=-1 vào phương trình (1) ta được: $x^{2} + 2 x - 3 = 0$

Vì $a + b + c = 1 + 2 - 3 = 0$ nên phương trình có hai nghiệm x₁ =1và $x_{2} = \frac{c}{a} = - 3$ .

Câu 10

b) Chứng minh rằng với mọi m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Giả sử hai nghiệm là x₁, x₂ (x₁<x₂), khi đó tìm m để $|x_{2}| - |x_{1}| = 2$ .

Xem đáp án

Lời giải

b) $Δ = {(m - 1)}^{2} - 4.1. (- m^{2} + m - 1) = 5 m^{2} - 6 m + 5 = 5 [{(m - \frac{3}{5})}^{2} + \frac{16}{25}] > 0$ , với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .

Theo định lí Vi – ét: $x_{1} + x_{2} = m - 1$ và $x_{1} x_{2} = - m^{2} + m - 1 = - [{(m - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4}] < 0$ , với mọi .

Theo đề: $|x_{2}| - |x_{1}| = 2$ và $x_{2} > x_{1}$ suy ra:

${(|x_{2}| - |x_{1}|)}^{2} = 4 \Leftrightarrow x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 2 |x_{1} x_{2}| = 4 \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{1} x_{2} = 4 \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} = 4 \Leftrightarrow {(m - 1)}^{2} = 4$ .

Vậy m=-1, m=3 là giá trị cần tìm.

Câu 11

Cho phương trình $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ . Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình.

Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: $P = 2 (\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}})$

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình: $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ . Ta thấy a,c trái dấu nên phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Theo định lí Vi-ét ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - \frac{3}{2} \\ x_{1} x_{2} = - \frac{1}{2} \end{cases}$

$P = 2 (\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}}) = 2 (\frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{x_{1} x_{2}}) = 2 (\frac{x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} - 2 x_{1} x_{2}}{x_{1} x_{2}}) = \frac{2 {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2}}{x_{1} x_{2}}$

$= \frac{2. {(- \frac{3}{2})}^{2} - 4. (- \frac{1}{2})}{- \frac{1}{2}} = \frac{\frac{9}{2} + 2}{- \frac{1}{2}} = - 2 (\frac{9}{2} + 2) = - 13$

Câu 12

Cho phương trình $x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1 = 0 (1),$ với m là tham số.

1) Giải phương trình (1) khi m=2

Xem đáp án

Lời giải

1) Với m=2 PT trở thành $x^{2} - 4 x + 3 = 0$

Giải phương trình tìm được các nghiệm x=1 ;x=3

Câu 13

2) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình (1) lập phương trình bậc hai nhận $x_{1}^{3} - 2 m x_{1}^{2} + m^{2} x_{1} - 2$ và $x_{2}^{3} - 2 m x_{2}^{2} + m^{2} x_{2} - 2$ là nghiệm.

Xem đáp án

Lời giải

2) Ta có $Δ' = m^{2} - m^{2} + 1 = 1 > 0, \forall m .$

Do đó, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Từ giả thiết ta có $x_{i}^{2} - 2 m x_{i} + m^{2} - 1 = 0, i = 1; 2.$

$x_{i}^{3} - 2 m x_{i}^{2} + m^{2} x_{i} - 2 = x_{i} (x_{i}^{2} - 2 m x_{i} + m^{2} - 1) + x_{i} - 2 = x_{i} - 2, i = 1; 2.$

Áp dụng định lí Viét cho phương trình (1) ta có $x_{1} + x_{2} = 2 m$ ; $x_{1} . x_{2} = m^{2} - 1$

Ta có

$\begin{array}{l} (x_{1} - 2) + (x_{2} - 2) = 2 m - 4; \\ (x_{1} - 2) (x_{2} - 2) = x_{1} x_{2} - 2 (x_{1} + x_{2}) + 4 \\ = m^{2} - 1 - 4 m + 4 = m^{2} - 4 m + 3. \end{array}$

Vậy phương trình bậc hai nhận $x_{1}^{3} - 2 m x_{1}^{2} + m^{2} x_{1} - 2, x_{2}^{3} - 2 m x_{2}^{2} + m^{2} x_{2} - 2$

là nghiệm là $x^{2} - (2 m - 4) x + m^{2} - 4 m + 3 = 0.$

Câu 14

Giải phương trình $(x^{2} - x + 1) (x^{2} + 4 x + 1) = 6 x^{2}$

Xem đáp án

Lời giải

Dễ thấy x=0 không là nghiệm của phương trình nên

$P T \Leftrightarrow (x + \frac{1}{x} - 1) (x + \frac{1}{x} + 4) = 6.$

Đặt $t = x + \frac{1}{x}$ ta được $(t - 1) (t + 4) = 6 \Leftrightarrow t^{2} + 3 t - 10 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 2 \\ t = - 5 \end{array} .$

Với $t = 2 \Rightarrow x + \frac{1}{x} = 2 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1.$

Với $t = - 5 \Rightarrow x + \frac{1}{x} = - 5 \Leftrightarrow x^{2} + 5 x + 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{- 5 - \sqrt{21}}{2} \\ x = \frac{- 5 + \sqrt{21}}{2} \end{array} .$

Câu 15

Cho phương trình: $x^{2} - 2 (m - 1) x - (2 m + 1) = 0$ (1) (m là tham số)

a) Giải phương trình (1) với m=2.

Xem đáp án

Lời giải

a) Thay m=2 vào ta có phương trình: $x^{2} - 2 x - 5 = 0$

$Δ^{'} = {(- 1)}^{2} - 1. (- 5) = 6 > 0$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là: $[\begin{matrix} x_{1} = \frac{- b^{'} + \sqrt{Δ^{'}}}{a} \\ x_{2} = \frac{- b^{'} - \sqrt{Δ^{'}}}{a} \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x_{1} = 1 + \sqrt{6} \\ x_{2} = 1 - \sqrt{6} \end{matrix} .$

Câu 16

b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Xem đáp án

Lời giải

b) Phương trình: $x^{2} - 2 (m - 1) x - (2 m + 1) = 0$ có:

$Δ^{'} = {[- (m - 1)]}^{2} + 1. (2 m + 1) = (m^{2} - 2 m + 1) + (2 m + 1) = m^{2} + 2 > 0, \forall m$

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Câu 17

c) Tìm m để phương trình (1) luôn có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.

Xem đáp án

Lời giải

c) Với mọi m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn:

$\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2 (m - 1) \\ x_{1} x_{2} = - (2 m + 1) \end{matrix} .$

Yêu cầu bài toán tương đương: $x_{1} = - x_{2} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 0 \\ x_{1} x_{2} < 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 2 (m - 1) = 0 \\ - (2 m + 1) < 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m = 1 \\ m > - \frac{1}{2} \end{matrix} \Leftrightarrow m = 1.$

Vậy với m=1 thì phương trình (1) luôn có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.

Câu 18

Cho phương trình $x^{2} - 10 m x + 9 m = 0$ (1) ( với m là tham số).

a. Giải phương trình (1) khi m=1.

Xem đáp án

Lời giải

Cho phương trình $x^{2} - 10 m x + 9 m = 0$ (1) ( với m là tham số).

a. Khi m=1 thì phương trình (1) trở thành: $x^{2} - 10 x + 9 = 0$

Vì $a + b + c = 1 + (- 10) + 9 = 0$ nên phương trình có hai nghiệm: $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 9$ .

Câu 19

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện $x_{1} - 9 x_{2} = 0$ .

Xem đáp án

Lời giải

b. $x^{2} - 10 m x + 9 m = 0$ (1) ( với m là tham số).

Ta có: $Δ' = {(- 5 m)}^{2} - 1.9 m = 25 m^{2} - 9 m$

· Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: $\Leftrightarrow Δ' > 0$

$\Leftrightarrow 25 m^{2} - 9 m > 0$

$\Leftrightarrow m (25 m - 9) > 0$

$\Leftrightarrow m < 0$ hay $m > \frac{9}{25}$

· Khi m<0 hay $m > \frac{9}{25}$ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo hệ thức vi-et ta có: $\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 10 m (2) \\ x_{1} . x_{2} = 9 m (3) \end{matrix}$

· Theo yêu cầu bài toán: $x_{1} - 9 x_{2} = 0$ (4)

Kết hợp (2) với (4) ta được hệ phương trình:

$\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 10 m \\ x_{1} - 9 x_{2} = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x_{1} = 9 m \\ x_{2} = m \end{matrix}$

Thay $x_{1} = 9 m$ , $x_{2} = m$ vào (3) ta được phương trình: $9 m . m = 9 m \Leftrightarrow 9 m (m - 1) = 0$

$\Leftrightarrow m = 0$ ( loại) hay m=1(nhận)

Vậy m=1 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn yêu cầu $x_{1} - 9 x_{2} = 0$ .

Câu 20

Cho phương trình $x^{2} - 2 m x - 6 m - 9 = 0$

a) Giải phương trình khi m=0.

Xem đáp án

Lời giải

a) Khi m=0 phương trình trở thành:

$x^{2} - 9 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 3$

Câu 21

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$ trái dấu thỏa mãn ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = 13$

Xem đáp án

Lời giải

b) Với a=1, b=-2m, b'=-m, c=-6m-9.

$Δ = b'^{2} - a c = m^{2} + 6 m + 9 = {(m - 3)}^{2} \geq 0, \forall m$

Phương trình luôn có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$ với mọi m.

Theo hệ thức Viet ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 m \\ x {}_{1}. x_{2} = - 6 m - 9 \end{cases}$

Phương trình có 2 nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow x_{1} x_{2} < 0 \Leftrightarrow - 6 m - 9 < 0 \Leftrightarrow m > \frac{- 3}{2}$

Ta có : $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 13$

$\Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 13 \Leftrightarrow {(2 m)}^{2} - 2 (- 6 m - 9) - 13 = 0 \Leftrightarrow 4 m^{2} + 12 m + 5 = 0$

$\Leftrightarrow m = \frac{- 5}{2}$ (loại) hoặc $m = \frac{- 1}{2}$ (nhận).

Vậy $m = \frac{- 1}{2}$ .

Câu 22

Cho phương trình: $2 x^{2} - 2 m x + m^{2} - 2 = 0 (1)$ , với m là tham số.

a. Giải phương trình (1) khi m=2

Xem đáp án

Lời giải

a. Với m=2 thay vào phương trình (1) ta được: $2 x^{2} - 4 x + 2 = 0 \Leftrightarrow 2 {(x - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 1.$

Vậy với m=2 thì phương trình (1) có nghiệm là x=1

Câu 23

b. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ sao cho biểu thức $A = |2 x_{1} x_{2} - x_{1} - x_{2} - 4|$ đạt giá trị lớn nhất.

Xem đáp án

Lời giải

b.Phương trình (1) có hai nghiệm $x_{1}, x_{2} \Leftrightarrow Δ \geq 0 \Leftrightarrow m^{2} - 4 \leq 0 \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 2.$

Theo Vi – et ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1} . x_{2} = \frac{m^{2} - 2}{2} \end{cases}$

Theo đề bài ta có: $A = |2 x_{1} x_{2} - x_{1} - x_{2} - 4| = |m^{2} - m - 6| = |(m - 3) (m + 2)|$ Do $- 2 \leq m \leq 2$ nên $m + 2 \geq 0$ , $m - 3 \leq 0.$ Suy ra $A = (m + 2) (- m + 3) = - m^{2} + m + 6 = - {(m - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{25}{4} \leq \frac{25}{4} .$

Vậy A đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{25}{4}$ khi $m = \frac{1}{2}$ .

Câu 24

Giải phương trình $x^{2} - 4 x + 3 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

$x^{2} - 4 x + 3 = 0 (a = 1, b = - 4, c = 3) Δ = b^{2} - 4 a c = {(- 4)}^{2} - 4.1.3 = 4$

Do $Δ > 0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} = 3; x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} = 1$

Câu 25

Cho phương trình: $m x^{2} + x - 2 = 0$ (1), với mlà tham số.

a. Giải phương trình (1) khi m=0.

Xem đáp án

Lời giải

Cho phương trình: $m x^{2} + x - 2 = 0$ (1), với m là tham số

a. Giải phương trình (1) khi m=0.

Khi m=0, ta có phương trình: $x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất là x=2.

Câu 26

b) Giải phương trình (1) khi m=1.

Xem đáp án

Lời giải

Giải phương trình (1) khi m=1.

Khi m=1, ta có phương trình: $x - 2 = 0$

Ta thấy: a+b+c=0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_{1} = 1$ ; $x_{2} = - 2$ .

Câu 27

Giải phương trình $3 x - 5 = x + 2$

Xem đáp án

Lời giải

$3 x - 5 = x + 2$

$\Leftrightarrow 3 x - x = 2 + 5$

$\Leftrightarrow 2 x = 7$

$\Leftrightarrow x = \frac{7}{2}$

Câu 28

Giải phương trình: $2 x^{2} - (1 - 2 \sqrt{2}) x - \sqrt{2} = 0$

Xem đáp án

Lời giải

$2 x^{2} - (1 - 2 \sqrt{2}) x - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow 2 x^{2} - x + 2 \sqrt{2} x - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow x (2 x - 1) + \sqrt{2} (2 x - 1) = 0 \Leftrightarrow (x + \sqrt{2}) (2 x - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x + \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow x = - \sqrt{2} \\ 2 x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \end{matrix}$

Câu 29

Giải các phương trình sau trên tập số thực:

a) $2 x^{2} - 9 x + 10 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

a) Giải phương trình

$\begin{array}{l} 2 x^{2} - 9 x + 10 = 0 (1) \\ Δ = {(- 9)}^{2} - 4.2.10 = 1 \end{array}$

Vì $Δ > 0$ nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

$\begin{array}{l} x_{1} = \frac{9 + 1}{4} = \frac{5}{2} \\ x_{2} = \frac{9 - 1}{4} = 2 \end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = \{2; \frac{5}{2}\}$ .

Câu 30

b) ${(x - 1)}^{4} - 8 {(x - 1)}^{2} - 9 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

${(x - 1)}^{4} - 8 {(x - 1)}^{2} - 9 = 0 (1)$

Đặt ${(x - 1)}^{2} = t^{2} (t \geq 0)$ .

Khi đó phương trình (1) trở thành:

$\begin{array}{l} t^{2} - 8 t - 9 = 0 (2) \\ Δ = {(- 8)}^{2} - 4.1. (- 9) = 100 \end{array}$

Vì $Δ > 0$ nên phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt:

$t_{1} = \frac{8 + \sqrt{100}}{2} = 9$ (thoả mãn)

$t_{2} = \frac{8 - \sqrt{100}}{2} = - 1$ (không thoả mãn)

Với t=9 ta có:

$\begin{array}{l} {(x - 1)}^{2} = 9 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - 1 = 3 \\ x - 1 = - 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 4 \\ x = - 2 \end{array} \end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S={-2;4}.

Câu 31

Cho phương trình $x^{2} - (m + 4) x - 2 m^{2} + 5 m + 3 = 0$ (m là tham số). Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt sao cho tích của hai nghiệm này bằng -30. Khi đó, tính tổng hai nghiệm của phương trình.

Xem đáp án

Lời giải

$\begin{array}{l} x^{2} - (m + 4) x - 2 m^{2} + 5 m + 3 = 0 (1) \\ Δ = {[- (m + 4)]}^{2} - 4.1. (- 2 m^{2} + 5 m + 3) \\ = m^{2} + 8 m + 16 + 8 m^{2} - 20 m - 12 \\ = 9 m^{2} - 12 m + 4 = {(3 m - 2)}^{2} > 0 \forall m \in ℤ \end{array}$

Vì $Δ > 0 \forall m \in ℤ$ nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình (1).

Theo hệ thức Viet ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = m + 4 \\ x_{1} . x_{2} = - 2 m^{2} + 5 m + 3 \end{cases}$

Theo đề bài ta có: $x_{1} . x_{2} = - 30$

Với m=-3 ta có: $x_{1} + x_{2} = m + 4 = - 3 + 4 = 1$

Vậy tổng hai nghiệm của phương trình là 1.

Câu 32

Giải phương trình $3 x - 5 = x + 2$

Xem đáp án

Lời giải

$3 x - 5 = x + 2 \Leftrightarrow 3 x - x = 2 + 5 \Leftrightarrow 2 x = 7 \Leftrightarrow x = \frac{7}{2}$

Câu 33

Giải phương trình: $2 x^{2} - (1 - 2 \sqrt{2}) x - \sqrt{2} = 0$

Xem đáp án

Lời giải

$2 x^{2} - (1 - 2 \sqrt{2}) x - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow 2 x^{2} - x + 2 \sqrt{2} x - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow x (2 x - 1) + \sqrt{2} (2 x - 1) = 0 \Leftrightarrow (x + \sqrt{2}) (2 x - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x + \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow x = - \sqrt{2} \\ 2 x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \end{matrix}$

Câu 34

Giải phương trình: $5 x - 18 = 3 x + 24$

Xem đáp án

Lời giải

$5 x - 18 = 3 x + 24 \Leftrightarrow 2 x = 42 \Leftrightarrow x = 21$

Câu 35

Tìm m để phương trình $x^{2} - 2 (m + 2) x + 6 m + 2 = 0$ có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ $\Leftrightarrow Δ^{'} \geq 0$ .

$\Leftrightarrow {(m + 2)}^{2} - (6 m + 2) \geq 0 \Leftrightarrow m^{2} - 2 m + 2 \geq 0 \Leftrightarrow {(m - 1)}^{2} + 1 \geq 0$ (luôn đúng với mọi ).

Theo hệ thức Vi-et ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 (m + 2) (1) \\ x_{1} x_{2} = 6 m + 2 (2) \end{cases}$ .

Theo giả thiết, giả sử: $x_{1} = 2 x_{2} (3)$ .

Từ (1) và (3) ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 (m + 2) \\ x_{1} = 2 x_{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} = \frac{4 (m + 2)}{3} \\ x_{2} = \frac{2 (m + 2)}{3} \end{cases} (4)$ .

Thay (4) vào (2) ta được:

$\frac{4 (m + 2)}{3} . \frac{2 (m + 2)}{3} = 6 m + 2 \Leftrightarrow 4 m^{2} - 11 m + 7 = 0 \Leftrightarrow (4 m - 7) (m - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = \frac{7}{4} \end{array}$

Câu 36

Cho phương trình $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} + 5 = 0 (1)$ , với x là ẩn số.

a) Giải phương trình (1) khi m=2.

Xem đáp án

Lời giải

a) Khi m=2, phương trình trở thành: $x^{2} - 6 x + 9 = 0 \Leftrightarrow {(x - 3)}^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 3$

Vậy khi m=2 thì phương trình có một nghiệm x=3.

Câu 37

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ thỏa mãn đẳng thức sau:

$2 x_{1} x_{2} - 5 (x_{1} + x_{2}) + 8 = 0$ .

Xem đáp án

Lời giải

$Δ^{'} = {(m + 1)}^{2} - (m^{2} + 5) = 2 m - 4$

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow Δ^{'} > 0 \Leftrightarrow 2 m - 4 > 0 \Leftrightarrow m > 2$

Với m>2, phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$

Theo định lý viet: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 (m + 1) \\ x_{1} x_{2} = m^{2} + 5 \end{cases}$

Ta có

$\begin{array}{l} 2 x_{1} x_{2} - 5 (x_{1} + x_{2}) + 8 = 0 \Leftrightarrow 2 (m^{2} + 5) - 5.2 (m + 1) + 8 = 0 \\ \Leftrightarrow 2 m^{2} + 10 - 10 m - 2 = 0 \Leftrightarrow 2 m^{2} - 10 m + 8 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = 4 \end{array} \end{array}$

Vì m>2 nên m=4.

Câu 38

Giải phương trình $16 x^{4} - 8 x^{2} + 1 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

$16 x^{4} - 8 x^{2} + 1 = 0$

Đặt $t = x^{2}$ ; điều kiện $t \geq 0$

(*) $\Rightarrow 16 t^{2} - 8 t + 1 = 0; (a = 16; b = - 8; c = 1)$ ;

$Δ' = b'^{2} - a c = {(- 4)}^{2} - 16.1 = 0$

$\Rightarrow$ phương trình có nghiệm kép:

$t_{1} = t_{2} = \frac{- b'}{a} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

$t = \frac{1}{4} \Leftrightarrow x^{2} = \pm \frac{1}{2}$

Vậy phương trình có tập nghiệm là $S = \{- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}\}$

Câu 39

Cho phương trình $x^{2} - m x + m - 1 = 0$ (có ẩn số x).

a/ Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm $x_{1} {; x}_{2}$ với mọi m

Xem đáp án

Lời giải

PT đã cho: $x^{2} - m x + m - 1 = 0$ (có ẩn số x).

a/ $Δ = {(- m)}^{2} - 4.1 (m - 1) = m^{2} - 4 m + 4 = {(m - 2)}^{2} \geq 0$ với mọi m vậy PT đã cho luôn có hai nghiệm x₁; x₂ với mọi m.

Câu 40

Cho biểu thức $B = \frac{2 x_{1} x_{2} + 3}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 (1 + x_{1} x_{2})}$ . Tìm giá trị của m để B=1

Xem đáp án

Lời giải

Theo Vi-et: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = m \\ x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a} = m - 1 \end{cases}$

$B = \frac{2 x_{1} x_{2} + 3}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 (1 + x_{1} x_{2})} = \frac{2 x_{1} x_{2} + 3}{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + 2 (1 + x_{1} x_{2})} = \frac{2 x_{1} x_{2} + 3}{{(x_{1} + x_{2})}^{2} + 2} = \frac{2 (m - 1) + 3}{m^{2} + 2} = \frac{2 m + 1}{m^{2} + 2} B = 1 \Leftrightarrow \frac{2 m + 1}{m^{2} + 2} = 1 \Leftrightarrow 2 m + 1 = m^{2} + 2 \Leftrightarrow m^{2} - 2 m + 1 = 0 \Leftrightarrow {(m - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow m = 1$

Câu 41

Giải phương trình $x^{2} - 9 x + 20 = 0.$

Xem đáp án

Lời giải

$x^{2} - 9 x + 20 = 0 Δ = 9^{2} - 4.1.20 = 1$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_{1} = \frac{9 + \sqrt{1}}{2} = 5; x_{2} = \frac{9 - \sqrt{1}}{2} = 4$

Câu 42

Giải phương trình: $x^{4} - 2 x^{2} - 3 = 0$ .

Xem đáp án

Lời giải

$x^{4} - 2 x^{2} - 3 = 0$

Đặt $t = x^{2} (t \geq 0)$ thì phương trình đã cho trở thành: $t^{2} - 2 t - 3 = 0$

Phương trình bậc hai có $a - b + c = 1 + 2 - 3 = 0$ nên có nghiệm

t=-1 (loại) hoặc t=3.

với $t = 3 \Rightarrow x^{2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{3}$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm: $S = {\pm \sqrt{3}}$

Câu 43

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình $x^{2} + (2 m - 1) x + m^{2} - 1 = 0$ có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ sao cho biểu thức $P = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất

Xem đáp án

Lời giải

Xét phương trình $x^{2} + (2 m - 1) x + m^{2} - 1 = 0$ có $Δ = {(2 m - 1)}^{2} - 4.1. (m^{2} - 1) = - 4 m + 5$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $Δ > 0 \Rightarrow - 4 m + 5 > 0 \Leftrightarrow m < \frac{5}{4}$

Khi $x_{1}; x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình đã cho, theo hệ thức Vi-et ta có:

$\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 1 - 2 m \\ x_{1} . x_{2} = m^{2} - 1 \end{cases}$

Khi đó: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = {(1 - 2 m)}^{2} - 2 (m^{2} - 1) = 2 m^{2} - 4 m + 3 = 2 {(m - 1)}^{2} + 1 \geq 1$

Vậy $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi m = 1 (thỏa điều kiện $m < \frac{5}{4}$ )

Vậy giá trị m cần tìm là 1

Câu 44

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình $x^{2} - 2 x + m - 1 = 0$ có hai nghiệm x₁,x₂thỏa mãn $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{1}^{2} x_{2}^{2} - 14 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

$x^{2} - 2 x + m - 1 = 0 (1)$

(1) là phương trình bậc hai có $Δ^{'} = 1 - (m - 1) = 2 - m$

(1) có hai nghiệm x₁, x₂ $\Leftrightarrow Δ^{'} \geq 0 \Leftrightarrow 2 - m \geq 0 \Leftrightarrow m \leq 2$ (*)

Khi đó theo hệ thức Viet ta có $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 \\ x_{1} x_{2} = m - 1 \end{cases}$ (2)

Biến đổi $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{1}^{2} x_{2}^{2} - 14 = 0 \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 3 x_{1} x_{2} + x_{1}^{2} x_{2}^{2} - 14 = 0$ .

Kết hợp với (2) ta được $2^{2} - 3 (m - 1) + {(m - 1)}^{2} - 14 = 0$

$\Leftrightarrow m^{2} - 5 m - 6 = 0 \Leftrightarrow m (m + 1) - 6 (m + 1) = 0 \Leftrightarrow (m + 1) (m - 6) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 1 \\ m = 6 \end{array}$ .

Kết hợp với (*) ta được m=-1 thỏa mãn.

Đ/s: m=-1.

Câu 45

Giải phương trình: $x^{2} - 4 x + 3 = 0.$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có

$x^{2} - 4 x + 3 = 0 \Leftrightarrow (x - 1) (x - 3) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - 1 = 0 \\ x - 3 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 3 \end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trihf là S={1;3}

Câu 46

Cho phương trình $x^{2} - 2 (m + 2) x + m^{2} = 0$ (m là tham số). Tìm giá trị m để phương trình đã cho có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $(x_{1} + 3) (x_{2} + 3) = 28.$

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình có hai nghiệm khi: $Δ' = {(m + 2)}^{2} - m^{2} \geq 0 \Leftrightarrow 4 m + 4 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq - 1$ (1) .

Theo hệ thức Vi-ét ta có : $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 (m + 2) \\ x_{1} . x_{2} = m^{2} \end{cases}$ (2).

Ta có : $(x_{1} + 3) (x_{2} + 3) = 28 \Leftrightarrow x_{1} x_{2} + 3 (x_{1} + x_{2}) = 19.$ (3).

Thay (2) vào (3) ta có $m^{2} + 6 (m + 2) = 19 \Leftrightarrow m^{2} + 6 m - 7 = 0$

$\Leftrightarrow m = 1$ hoặc m=-7.

Đối chiếu điều kiện (1) ta được m=1.

Câu 47

Giải phương trình (2x-1)(x+2)=0

Xem đáp án

Lời giải

$(2 x - 1) (x + 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x - 1 = 0 \\ x + 2 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{1}{2} \\ x = - 2 \end{array}$

Câu 48

Tìm m để phương trình: x² +5x+3m-1=0 (x là ẩn, m là tham số) có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn $x_{1}^{3} - x_{2}^{3} + 3 x_{1} x_{2} = 75$ .

Xem đáp án

Lời giải

$Δ = 29 - 12 m$ .

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow m \leq \frac{29}{12}$ .

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - 5 \\ x_{1} x_{2} = 3 m - 1 \end{cases}$

Cách 1:

(1) $\Leftrightarrow x_{2} = - 5 - x_{1}$ , thay vào hệ thức ${x_{1}}^{3} - {x_{2}}^{3} + 3 x_{1} x_{2} = 75$ ta được:

${x_{1}}^{3} + {(5 + x_{1})}^{3} + 3 x_{1} (- 5 - x_{1}) = 75$ .

$\Leftrightarrow {x_{1}}^{3} + 6 {x_{1}}^{2} + 30 x_{1} + 25 = 0$ .

Giải phương trình được x=-1 $\Rightarrow x_{2} = - 4$ .

Thay x₁ và x₂vào (2), tìm được $m = \frac{5}{3}$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy $m = \frac{5}{3}$ là giá trị cần tìm.

Cách 2:

${x_{1}}^{3} - {x_{2}}^{3} + 3 x_{1} x_{2} = 75 \Leftrightarrow (x_{1} - x_{2}) ({x_{1}}^{2} + x_{1} x_{2} + {x_{2}}^{2}) = 75 - 3 x_{1} x_{2} \Leftrightarrow (x_{1} - x_{2}) [{(x_{1} + x_{2})}^{2} - x_{1} x_{2}] = 3 (25 - x_{1} x_{2}) \Leftrightarrow (x_{1} - x_{2}) (26 - 3 m) = 3 (26 - 3 m)$

$\Leftrightarrow (x_{1} - x_{2}) = 3$ (do $m \leq \frac{29}{12} \Rightarrow 26 - 3 m > 0$ ).

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - 5 \\ x_{1} - x_{2} = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} = - 1 \\ x_{2} = - 4 \end{cases}$ .

Từ đó tìm được m.

Câu 49

Giải phương trình: $x^{2} - 3 x - 10 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

$x^{2} - 3 x - 10 = 0 \begin{array}{l} Δ = {(- 3)}^{2} - 4.1. (- 10) = 49 \\ \Rightarrow \sqrt{Δ} = 7 \end{array}$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_{1} = \frac{3 - 7}{2} = - 2$ và $x_{2} = \frac{3 + 7}{2} = 5$

Câu 50

b. Gọi x₁ và x₂ là nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$

Xem đáp án

Lời giải

b. Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Theo hệ thức Vi – ét ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 (m - 2) \\ x_{1} x_{2} = - 6 m \end{cases}$

Suy ra $P = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} \begin{array}{l} = {(2 m - 4)}^{2} - 2 (- 6 m) \\ = 4 m^{2} - 16 m + 16 + 12 m \\ = 4 m^{2} - 4 m + 16 \\ = {(2 m - 1)}^{2} + 15 \end{array}$

Vì ${(2 m - 1)}^{2} \geq 0$ mọi m

Nên ${(2 m - 1)}^{2} + 15 \geq 15$ mọi m

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 15

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow 2 m - 1 = 0 \Rightarrow m = \frac{1}{2}$ .

Câu 51

2.Cho phương trình: $x^{2} - 2 (m - 2) x - 6 m = 0$ (1) (m là tham số).

a. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

Xem đáp án

Lời giải

a. $Δ = {(m - 2)}^{2} - (- 6 m) = m^{2} - 4 m + 4 + 6 m = m^{2} + 2 m + 4 = {(m + 1)}^{2} + 3$

Vì ${(m + 1)}^{2} \geq 0$ với mọi m nên ${(m + 1)}^{2} + 3 > 0$ với mọi m

Câu 52

Giải các phương trình sau:
a) $5 x^{2} - 16 x + 3 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

a) $5 x^{2} - 16 x + 3 = 0$

Ta có: $Δ = 196 > 0$

Phương trình có 2 nghiệm $x_{1} = 3$ , $x_{2} = \frac{1}{5}$

Câu 53

b) $x^{4} + 9 x^{2} - 10 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

b) $x^{4} + 9 x^{2} - 10 = 0$

Đặt $t = x^{2}, t \geq 0$ , phương trình trở thành $t^{2} + 9 t - 10 = 0$

Giải phương trình ta được t=1 (nhận); t=-10 (loại)

Khi t=1, ta có $x^{2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1$ .

Câu 54

Cho phương trình $x^{2} - 2 (m + 1) x + m - 1 = 0$ (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn $3 x_{1} + x_{2} = 0$ .

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình có $Δ' = {(m + 1)}^{2} - 1. (m - 1) = m^{2} + 2 m + 1 - m + 1 = m^{2} + m + 2$ .

$Δ' = m^{2} + m + 2 = {(m + \frac{1}{2})}^{2} + (2 - \frac{1}{4}) = {(m + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{7}{4} > 0, \forall m$ .

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Khi đó, theo Vi-ét $x_{1} + x_{2} = 2 m + 2 (1)$ ;

$x_{1} . x_{2} = m - 1$ . (2)

Theo đề bài ta có $3 x_{1} + x_{2} = 0$ (3)

Từ (1) và (3) suy ra $x_{1} = - 1 - m; x_{2} = 3 m + 3$ thay vào (2) ta được

$(- 1 - m) (3 m + 3) = m - 1 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = - 2 \\ m = - \frac{1}{3} \end{matrix}$

Câu 55

Cho phương trình: $x^{2} - (m - 1) x - m = 0$ (1) (với x là ẩn số, m là tham số).

a) Giải phương trình (1) với m=4;

Xem đáp án

Lời giải

Với m=4 phương trình (1) có dạng: $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ .

Ta có: $Δ = {(- 3)}^{2} - 4. (- 4) .1 = 25 > 0 \Rightarrow$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_{1} = - 1; x_{2} = 4$ .

Vậy khi m=4 thì phương trình (1) có hai nghiệm $x_{1} = - 1; x_{2} = 4$ .

Câu 56

b) Xác định các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ thoả mãn điều kiện: $x_{1} (3 - x_{2}) + 20 \geq 3 (3 - x_{2}) .$

Xem đáp án

Lời giải

Tính $Δ = {(m - 1)}^{2} + 4 m = {(m + 1)}^{2}$ .

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì $Δ > 0 \Leftrightarrow {(m + 1)}^{2} > 0 \Leftrightarrow m \neq - 1$ .

Khi đó theo hệ thức Vi-et ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = m - 1 \\ x_{1} . x_{2} = - m \end{cases}$ .

Theo đầu bài ta có: $x_{1} (3 - x_{2}) + 20 \geq 3 (3 - x_{2})$

$\Leftrightarrow 3 (x_{1} + x_{2}) - x_{1} x_{2} \geq - 11 \Leftrightarrow 3 (m - 1) + m \geq - 11 \Leftrightarrow 4 m \geq - 8 \Leftrightarrow m \geq - 2.$

Vậy $m \geq - 2; m \neq - 1$ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $x_{1} (3 - x_{2}) + 20 \geq 3 (3 - x_{2})$ .

Câu 57

Tìm x biết:

a) 2x-3=0

Xem đáp án

Lời giải

a) $2 x - 3 = 0 \Leftrightarrow 2 x = 3 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$

Vậy $x = \frac{3}{2}$

Câu 58

b) |x+3|=2

Xem đáp án

Lời giải

b) $|x + 3| = 2 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x + 3 = 2 \\ x + 3 = - 2 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - 1 \\ x = - 5 \end{matrix}$

Vậy x=-1 hoặc x=-5

Câu 59

Giải phương trình: ${(x + 1)}^{4} - 2 {(x + 1)}^{2} - 3 = 0$ .

Xem đáp án

Lời giải

Đặt $t = {(x + 1)}^{2}$ , điều kiện $t \geq 0$

Phương trình trở thành: $t^{2} - 2 t - 3 = 0$

$\Leftrightarrow t^{2} + t - 3 t - 3 = 0 \Leftrightarrow (t + 1) (t - 3) = 0$

Vậy ${(x + 1)}^{2} = 3 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - 1 + \sqrt{3} \\ x = - 1 - \sqrt{3} \end{matrix}$

Kết luận: tập nghiệm của phương trình là $S = \{- 1 + \sqrt{3}; - 1 - \sqrt{3}\}$

Câu 60

Giải phương trình: $x^{2} = (x - 1) (3 x - 2)$

Xem đáp án

Lời giải

$\begin{array}{l} x^{2} = (x - 1) (3 x - 2) \\ \Leftrightarrow - 2 x^{2} + 5 x - 2 = 0 \end{array} Δ = b^{2} - 4 a c = 5^{2} - 4. (- 2) . (- 2) = 9$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$[\begin{array}{l} x_{1} = 2 \\ x_{2} = \frac{1}{2} \end{array}$

Câu 61

Giải phương trình: $x - 3 \sqrt{x} - 10 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

$x - 3 \sqrt{x} - 10 = 0 \Leftrightarrow x + 2 \sqrt{x} - 5 \sqrt{x} - 10 = 0 \Leftrightarrow (\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 5) = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} - 5 = 0 (v ì \sqrt{x} + 2 > 0) \Leftrightarrow x = 25$

Câu 62

Không sử dụng máy tính, hãy tìm nghiệm của phương trình $x^{2} + 3 x - 10 = 0.$

Xem đáp án

Lời giải

$x^{2} + 3 x - 10 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 5 x - 10 = 0 \Leftrightarrow x (x - 2) + 5 (x - 2) = 0 \Leftrightarrow (x - 2) (x + 5) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 5 \end{array}$

Vậy nghiệm dương của phương trình là x=2

Câu 63

Giải phương trình:

a) 2x-1=0

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có: $2 x - 1 = 0 \Leftrightarrow 2 x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$

Câu 64

b) $x^{2} - 6 x - 7 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

b) $x^{2} - 6 x - 7 = 0 (a = 1; b = - 6; c = - 7)$

Ta có: $a - b + c = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} x_{1} = - 1 \\ x_{2} = 7 \end{matrix}$

Câu 65

Cho phương trình: $x^{2} - (2 m + 1) x + m^{2} + 1 = 0$

a) Tìm m để phương trình có nghiệm.

Xem đáp án

Lời giải

$\begin{matrix} Δ = b^{2} - 4 a c \\ = {(2 m + 1)}^{2} - 4. (m^{2} + 1) \\ = 4 m^{2} + 4 m + 1 - 4 m^{2} - 4 \\ = 4 m - 3 \end{matrix}$

Để phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow Δ \geq 0 \Leftrightarrow 4 m - 3 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq \frac{3}{4}$

Câu 66

b) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để x₁=2x₂.

Xem đáp án

Lời giải

b) Theo định lý Vi-ét: $\{\begin{cases} S = x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = 2 m + 1 (1) \\ P = x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = m^{2} + 1 (2) \end{cases}$

Ta có: $x_{1} = 2 x_{2}$ thế vào (1) $\Rightarrow 3 x_{2} = 2 m + 1 \Leftrightarrow x_{2} = \frac{2 m + 1}{3}$ thế vào (2) $\Rightarrow 2. \frac{{(2 m + 1)}^{2}}{9} = m^{2} + 1$

\begin{array}{l} \Leftrightarrow 8 m^{2} + 8 m + 2 = 9 m^{2} + 9 \\ \Leftrightarrow m^{2} - 8 m + 7 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = 7 \end{array} \end{array}

Câu 67

Xác định phương trình $a x^{2} + b x + c = 0$ với $a \neq 0$ ; b, c là các số và b+c=5. Biết rằng phương trình có hai nghiệm x_1,x₂ thỏa mãn $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - 4 \\ x_{1} x_{2} = - 5 \end{cases}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Theo định lý Vi-et ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = - 4 \\ x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = - 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b = 4 a (1) \\ c = - 5 a (2) \end{cases}$

Từ (1) và (2) thay vào b+c=5 ta được: $4 a - 5 a = 5 \Leftrightarrow a = - 5$

Suy ra $b = - 20; c = 25$ .

Vậy phương trình đã cho có dạng: $- 5 x^{2} - 20 x + 25 = 0$

Câu 68

Giải phương trình:

a) $x^{2} - 12 x + 35 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

$x^{2} - 12 x + 35 = 0$

Ta có phương trình tương đương:

$x^{2} - 5 x - 7 x + 35 = 0 \Leftrightarrow x (x - 5) - 7 (x - 5) = 0 \Leftrightarrow (x - 5) (x - 7) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - 5 = 0 \\ x - 7 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 5 \\ x = 7 \end{array}$

Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_{1} = 5, x_{2} = 7$

Câu 69

b) $x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

$x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Đặt $t = x^{2}$ , điều kiện $t \geq 0$

Phương trình đã cho trở thành $t^{2} - 3 t - 4 = 0 \Leftrightarrow (t + 1) (t - 4) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t + 1 = 0 \\ t - 4 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 \\ t = 4 \end{array}$

Do $t \geq 0$ nên ta chọn t=4. Khi đó, ta có $x^{2} = 4 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 2 \end{array}$

Vây, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_{1} = 2, x_{2} = - 2$

Câu 70

Giải phương trình: 3x-2=0

Xem đáp án

Lời giải

$3 x - 2 = 0 \Leftrightarrow 3 x = 2 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3} .$

Câu 71

Cho phương trình $x^{2} - m x - 1 = 0, m$ là tham số. Tìm giá trị của m để phương trình có hai

nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $(x_{1}^{2} - 1) (x_{2}^{2} - 1) = - 1.$

Xem đáp án

Lời giải

- Phương trình: $x^{2} - m x - 1 = 0$ có $Δ = m^{2} + 4 > 0$ , Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

- Ta có: $(x_{1}^{2} - 1) (x_{2}^{2} - 1) = - 1 \Leftrightarrow x_{1}^{2} x_{2}^{2} - x_{1}^{2} - x_{2}^{2} + 1 = - 1 \Leftrightarrow {(x_{1} x_{2})}^{2} - {(x_{1} + x_{2})}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + 2 = 0 \Leftrightarrow {(\frac{c}{a})}^{2} - {(\frac{- b}{a})}^{2} + 2 \frac{c}{a} + 2 = 0 \Leftrightarrow 1 - m^{2} - 2 = 0 \Leftrightarrow m^{2} = 1 \Leftrightarrow m = 1$ (thỏa mãn) hoặc m=-1 (thỏa mãn). Vậy 2 giá trị cần tìm của m là m=1 hoặc m=-1

Câu 72

Giải phương trình: $\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9} = 9$

Xem đáp án

Lời giải

$\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9} = 9$

Đặt $4 x^{2} - 12 x + 9 \geq 0$ $\Leftrightarrow {(2 x - 3)}^{2} \geq 0 \forall x \in R$

$\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9} = 9 \Leftrightarrow \sqrt{{(2 x - 3)}^{2}} = 9 \Leftrightarrow 2 x - 3 = 9 \Leftrightarrow x = 6$

Câu 73

Giải phương trình: $3 x^{2} + 2 x - 8 = 0$ (không giải trực tiếp bằng máy tính)

Xem đáp án

Lời giải

Pphương trình: $3 x^{2} + 2 x - 8 = 0 (a = 3; b' = 1; c = - 8)$

$\sqrt{Δ'} = \sqrt{b'^{2} - a c} = \sqrt{1 + 24} = \sqrt{25} = 5 \Leftrightarrow x_{1} = \frac{- 1 + 5}{3} = \frac{4}{3}; x_{2} = \frac{- 1 - 5}{3} = - 2$

Câu 74

Cho phương trình: $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} - 3 = 0$ (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị tham số m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} = - 2$

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình: $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} - 3 = 0$ (m là tham số) (1)

$(a = 1; b' = - (m + 1); c = m^{2} - 3) \begin{array}{l} Δ' = b'^{2} - a c = - (m^{2} - 3) \\ = 2 m + 4 \end{array}$

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

$Δ' > 0 \Leftrightarrow 2 m + 4 > 0 \Leftrightarrow m > - 2$

Theo đề ra ta có: $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} = - 2$

$\begin{array}{l} \frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} = - 2 \Leftrightarrow \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{x_{1} . x_{2}} = \frac{- 2 x_{1} . x_{2}}{x_{1} . x_{2}} \\ \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} = 0 \Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = 0 (2) \end{array}$

Áp dụng hệ thức vi et ta có: $x_{1} + x_{2} = 2 (m + 1)$

$\begin{array}{l} (2) \Leftrightarrow 2 (m + 1) = 0 \\ \Leftrightarrow m = - 1 \end{array}$

Vậy với m=-1 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} = - 2$ .

Câu 75

Cho phương trình $x^{2} - x + m + 1 = 0$ (m là tham số).

1) Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Xem đáp án

Lời giải

Δ = - 4 m - 3

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m < - \frac{3}{4}$

Câu 76

Gọi x₁, x₂ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình. Tìm các giá trị của m sao cho ${x_{1}}^{2} + x_{1} x_{2} + 3 x_{2} = 7$ .

Xem đáp án

Lời giải

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 1 \\ x_{1} x_{2} = m + 1 \end{cases}$

Cách 1:

$x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} + 3 x_{2} = 7 \Leftrightarrow x_{1} (x_{1} + x_{2}) + 3 x_{2} = 7 \Leftrightarrow x_{1} + 3 x_{2} = 7 (do x_{1} + x_{2} = 1)$

Ta có hệ: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 1 \\ x_{1} + 3 x_{2} = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} = - 2 \\ x_{2} = 3 \end{cases}$ $\Rightarrow - 2.3 = m + 1 \Leftrightarrow m = - 7$ (thỏa mãn điều kiện)

Cách 2:

$x_{1} + x_{2} = 1 \Leftrightarrow x_{2} = 1 - x_{1}$ .

Do đó: $x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} + 3 x_{2} = 7$

$\Leftrightarrow x_{1}^{2} + x_{1} (1 - x_{1}) + 3 (1 - x_{1}) = 7 \Leftrightarrow x_{1}^{2} + x_{1} - x_{1}^{2} + 3 - 3 x_{1} = 7 \Leftrightarrow - 2 x_{1} = 4 \Leftrightarrow x_{1} = - 2$

Từ đó tìm x₂ rồi tìm m.

Câu 77

Giải phương trình: $2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $Δ = 9 > 0 \Rightarrow$ phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_{1} = 2, x_{2} = \frac{1}{2}$ .

Câu 78

Giải phương trình: $x + \frac{2 \sqrt{2} x}{\sqrt{1 + x^{2}}} = 1$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $V P = 1 > 0 \Rightarrow V T > 0 \Rightarrow x > 0$ .

Phương trình đã cho tương đương với $(1 - x) \sqrt{1 + x^{2}} = 2 \sqrt{2} x (1)$ .

Từ (*) và (1) suy ra 0<x<1.

Do đó $(1) \Leftrightarrow {(1 - x)}^{2} (1 + x^{2}) = 8 x^{2}$ (vì 0<x<1).

$\Leftrightarrow {(1 + x^{2})}^{2} - 2 x (1 + x^{2}) = 8 x^{2} \Leftrightarrow {(1 + x^{2} - x)}^{2} = 9 x^{2} \Leftrightarrow x^{2} - x + 1 = 3 x$ (vì 3x>0 và $x^{2} - x + 1 > 0$ ).

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 - \sqrt{3} (t m) \\ x = 2 + \sqrt{3} (l) \end{array}$ .

Vậy phương trình có tập nghiệm S={ $2 - \sqrt{3}$ } .

Câu 79

Cho phương trình: $x^{2} + 2 (m + 2) x + 4 m - 1 = 0$ (1) (x là ẩn số, m là tham số).

a) Giải phương trình (1) khi m=2.

Xem đáp án

Lời giải

a) Thay m=2 vào phương trình (1) ta được phương trình: $x^{2} + 8 x + 7 = 0 (*)$

Ta có: 1-8+7=0

Phương trình (*) có hai nghiệm x₁=-1, x₂=-7.

Câu 80

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình (1), tìm m để $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 30$

Xem đáp án

Lời giải

b) Ta có: $Δ' = {(m + 2)}^{2} - (4 m - 1)$ .

$= m^{2} + 5 > 0$ với $\forall m$

$\Rightarrow$ Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với $\forall m$ .

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - 2 (m + 2) \\ x_{1} x_{2} = 4 m - 1 \end{cases}$

${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = 30 \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 30 \Leftrightarrow {[- 2 (m + 2)]}^{2} - 2 (4 m - 1) = 30 \Leftrightarrow m^{2} + 2 m - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - 3 \end{array}$ .

Vậy m=-3 hoặc m=1 thì phương trình (1) có 2 nghiệm x₁; x₂thỏa mãn: ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = 30$ .

Câu 81

Giải các bất phương trình và các phương trình sau:

a) 4x-5>7

Xem đáp án

Lời giải

a) $4 x - 5 > 7 \Leftrightarrow 4 x > 12 \Leftrightarrow x > 3$ .

Vậy nghiệm của bất phương trình : x>3.

Câu 82

b) 2x+3(4x+2)=8

Xem đáp án

Lời giải

b) $2 x + 3 (4 x + 2) = 8 \Leftrightarrow 14 x + 6 = 8 \Leftrightarrow 14 x = 2 \Leftrightarrow x = \frac{1}{7}$ .

Vậy nghiệm của phương trình : $x = \frac{1}{7}$ .

Câu 83

c) $\frac{1}{2} x^{2} = 3 x - 4$

Xem đáp án

Lời giải

c) $\frac{1}{2} x^{2} = 3 x - 4 \Leftrightarrow x^{2} - 6 x + 8 = 0 \Leftrightarrow (x - 2) (x - 4) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = 4 \end{array}$ .

Vậy nghiệm của phương trình : x={2;4}.

Câu 84

Giải phương trình: $\frac{x + 2}{2} - 1 = 0.$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $\frac{x + 2}{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \frac{x + 2}{2} = 1 \Leftrightarrow x + 2 = 2 \Leftrightarrow x = 0$ .

Vậy phương trình có nghiệm x=0

Câu 85

Cho phương trình: $x^{2} - (2 m + 1) x + m^{2} + m - 1 = 0$ (m là tham số).

a) Giải phương trình với m=0

Xem đáp án

Lời giải

a) Với m=0 ta có phương trình:

$x^{2} - x - 1 = 0. Δ = {(- 1)}^{2} - 4.1. (- 1) = 5.$

Vậy phương trình có 2 nghiệm $x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}; x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} .$

Câu 86

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ thỏa mãn điều kiện: $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = 4.$

Xem đáp án

Lời giải

b) Ta có $Δ = {(2 m + 1)}^{2} - 4. (m^{2} + m - 1) = 5 > 0 \forall m$

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ với mọi .

Theo định lý Vi-ét ta có:

$\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 m + 1 \\ x_{1} . x_{2} = m^{2} + m - 1 \end{cases}$

Điều kiện $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = 4 \Leftrightarrow \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} . x_{2}} = 4 \Rightarrow \frac{2 m + 1}{m^{2} + m - 1} = 4 \Leftrightarrow 2 m + 1 = 4 m^{2} + 4 m - 4 \Leftrightarrow 4 m^{2} + 2 m - 5 = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = \frac{- 1 + \sqrt{21}}{4} \\ m = \frac{- 1 - \sqrt{21}}{4} \end{array}$

Vậy $m \in \{\frac{- 1 + \sqrt{21}}{4}; \frac{- 1 - \sqrt{21}}{4}\}$ .

Câu 87

Giải phương trình: ${(x^{3} - 4)}^{3} = {(\sqrt[3]{{(x^{2} + 4)}^{2}} + 4)}^{2} .$

Xem đáp án

Lời giải

Đặt ${(x^{3} - 4)}^{3} = {(\sqrt[3]{{(x^{2} + 4)}^{2}} + 4)}^{2} = t^{6}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x^{3} - 4 = t^{2} \\ \sqrt[3]{{(x^{2} + 4)}^{2}} = t^{3} - 4 \end{cases} .$

Đặt $\sqrt[3]{x^{2} + 4} = a .$ Khi đó ta có hệ

$\{\begin{cases} x^{3} - 4 = t^{2} \\ t^{3} - 4 = a^{2} \\ a^{3} - 4 = x^{2} \end{cases} \Rightarrow x, t, a \geq 0.$

Nếu $a^{2} \geq x^{2} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a \geq x \\ t^{3} - 4 \geq a^{3} - 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a \geq x (1) \\ t \geq a (2) \end{cases}$

Do $t \geq a \Rightarrow t^{2} \geq a^{2} \Leftrightarrow x^{3} - 4 \geq t^{3} - 4 \Leftrightarrow x \geq t (3) .$

Từ (1), (2), (3) suy ra $a \geq x \geq t \geq a \Leftrightarrow a = x = t \Leftrightarrow x^{3} - 4 = x^{2} \Leftrightarrow x = 2.$

Câu 88

Giải phương trình: $x^{2} + 7 x + 10 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

Giải phương trình: $x^{2} + 7 x + 10 = 0$ .

$Δ = 7^{2} - 4.1.10 = 49 - 40 = 9 > 0$

$x_{1} = \frac{- 7 + \sqrt{9}}{2} = - 2$ ; $x_{2} = \frac{- 7 - \sqrt{9}}{2} = - 5$ .

Câu 89

Giải phương trình và hệ phương trình sau:

$x^{4} + 2017 x^{2} - 2018 = 0.$

Xem đáp án

Lời giải

$x^{4} + 2017 x^{2} - 2018 = 0 \Leftrightarrow (x^{2} + 2018) (x^{2} - 1) = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 1 = 0 (d o x^{2} + 2018 > 0 \forall x \in R) \Leftrightarrow x^{2} = 1. \Leftrightarrow x = - 1 \lor x = 1$

Câu 90

Cho phương trình bậc hai $x^{2} - 2 x + m + 3 = 0$ (m là tham số)

Xem đáp án

Lời giải

Cho phương trình bậc hai $x^{2} - 2 x + m + 3 = 0$ (m là tham số).

a) Pt có nghiệm $x = - 1 \Rightarrow {(- 1)}^{2} + 2 + m + 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 6$

Với m=-6, pt đã cho thành: $x^{2} - 2 x - 3 = 0 \Leftrightarrow (x + 1) (x - 3) = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \lor x = 3$

Vậy với m=-6 , pt có nghiệm x=-1 và nghiệm còn lại là x=3

Câu 91

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn hệ thức: $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 8$

Xem đáp án

Lời giải

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn hệ thức: $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 8$

Đk pt có hai nghiệm phân biệt $\{\begin{cases} a \neq 0 \\ Δ' = 1 - m - 3 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow m < - 2 (*)$

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = S = 2 \\ x_{1} x_{2} = P = m + 3 \end{cases}$

Ta có $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 8 \Leftrightarrow S^{3} - 2 S P = 8 \Leftrightarrow 8 - 3.2 (m + 3) = 8 \Leftrightarrow m = - 3$ (thỏa *)

Vậy m=-3

Đk pt có hai nghiệm phân biệt $\{\begin{cases} a \neq 0 \\ Δ' = 1 - m - 3 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow m < - 2 (*)$

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = S = 2 \\ x_{1} x_{2} = P = m + 3 \end{cases}$

Ta có $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 8 \Leftrightarrow S^{3} - 2 S P = 8 \Leftrightarrow 8 - 3.2 (m + 3) = 8 \Leftrightarrow m = - 3$ (thỏa *)

Vậy m=-3

Câu 92

Cho phương trình $x^{2} - (2 m + 1) x + m^{2} - 1 = 0$ (m là tham số)

Xem đáp án

Lời giải

Với m=5 phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_{1} = 3; x_{2} = 8$

Câu 93

Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ thỏa mãn:

$(x_{1}^{2} - 2 m x_{1} + m^{2}) (x_{2} + 1) = 1$ .

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình có hai nghiệm $\Leftrightarrow Δ \geq 0 \Leftrightarrow {[- (2 m + 1)]}^{2} - 4 (m^{2} - 1) \geq 0 \Leftrightarrow 4 m + 5 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq \frac{- 5}{4}$

Với $m \geq \frac{- 5}{4}$ phương trình có hai nghiệm theo Vi_ét ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{_{2}} = 2 m + 1 \\ x_{1} x_{_{2}} = m^{2} - 1 \end{cases}$

Vì x₁ là nghiệm của phương trình nên ta có: $x_{1}^{2} - (2 m + 1) x_{1} + m^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x_{1}^{2} = (2 m + 1) x_{1} - m^{2} + 1$

Thay vào hệ thức $x_{1}^{2} - (2 m + 1) x_{1} + m^{2} - 1 = 0$ ta có:

$\begin{array}{l} (x_{1}^{2} - 2 m x_{1} + m^{2}) (x_{2} + 1) = 1 \Leftrightarrow (x_{1} + 1) (x_{2} + 1) = 1 \\ \Leftrightarrow x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1 = 1 \\ \Leftrightarrow m^{2} - 1 + 2 m + 1 + 1 = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 (T M) \\ m = - 2 (K T M) \end{array} \end{array}$

Câu 94

a) Giải phương trình $2 x^{4} - 3 x^{2} - 2 = 0$ (1)

Xem đáp án

Lời giải

Đặt $t = x^{2}, t \geq 0$

Phương trình (1) trở thành

2 t^{2} - 3 t - 2 = 0

(2)

Giải phương trình (2) được:

t = \frac{1}{2}

(loại ) hoặc t=2

Với t=2 suy ra được

x = \pm \sqrt{2}

Câu 95

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $x^{2} - 2 m x + m^{2} - 3 m + 2 = 0$ có $Δ' = 3 m - 2$

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi $Δ' > 0 \Leftrightarrow m > \frac{2}{3}$ .

Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác 0 là:

m > \frac{2}{3}

và

m^{2} - 3 m + 2 \neq 0

(1)

Theo định lí Viet:

x_{1} + x_{2} = 2 m; x_{1} x_{2} = m^{2} - 3 m + 2

\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} = 16 \Leftrightarrow x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 16 x_{1} x_{2} \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 18 x_{1} x_{2} = 0

\Leftrightarrow {(2 m)}^{2} - 18 (m^{2} - 3 m + 2) = 0 \Leftrightarrow 7 m^{2} - 27 m + 18 = 0 \Leftrightarrow m = 3

hoặc

m = \frac{6}{7}

(thỏa (1))

Vậy m=3 hoặc

m = \frac{6}{7}

Câu 96

Giải các phương trình sau:

$3 x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

a) $3 x^{2} - 2 x - 1 = 0$ (a)

Vì phương trình (a) có $a + b + c = 3 - 2 - 1 = 0$ nên phương trình (a) có 2 nghiệm

$[\begin{array}{l} x_{1} = 1 \\ x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{- 1}{3} \end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình $S = \{\frac{- 1}{3}; 1\}$ .

Câu 97

b) $x^{4} + 5 x^{2} - 36 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

$x^{4} + 5 x^{2} - 36 = 0$ (b)

Đặt $u = x^{2} \geq 0$ , phương trình thành : $u^{2} + 5 u - 36 = 0$ (*)

Có $Δ = b^{2} - 4 a c = 5^{2} - 4. (- 36) = 169 > 0$

$\Rightarrow$ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

$u_{1} = \frac{- 5 + 13}{2} = 4$ hay $u_{2} = \frac{- 5 - 13}{2} = - 9 < 0$ (loại)

$\Rightarrow x^{2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2$

Vậy tập nghiệm của phương trình $S = \{\pm 2\}$ .

Cách khác : (b) $\Leftrightarrow (x^{2} - 4) (x^{2} + 9) = 0$ $\Leftrightarrow x^{2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2$

Câu 98

$3 x^{2} + 5 x + \sqrt{3} - 3 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

$3 x^{2} - x \sqrt{3} + \sqrt{3} - 3 = 0$ (c)

Vì phương trình (c) có $a + b + c = 3 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - 3 = 0$ nên phương trình (c) có hai nghiệm

$[\begin{array}{l} x_{1} = 1 \\ x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3} - 3}{3} \end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình $S = \{\frac{\sqrt{3} - 3}{3}; 1\}$ .

Câu 99

Giải các phương trình sau:

a) $x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

a) $x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Ta có: $Δ = b^{2} - 4 a c = 5^{2} - 4.6 = 25 - 24 = 1 > 0$

Phương trình (a) có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{5 - 1}{2} = 2 x_{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3$

Vậy tập nghiệm của phương trình S={2;3}

Câu 100

b) $x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

b) $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ (b)

Ta có : $Δ^{'} = 1 + 1 = 2$

Phương trình (b) có hai nghiệm phân biệt : $x_{1} = 1 - \sqrt{2} x_{2} = 1 + \sqrt{2}$

Vậy tập nghiệm của phương trình $S = \{1 \pm \sqrt{2}\}$ .

Câu 101

c) $x^{4} + 3 x^{2} - 4 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

c) Đặt $u = x^{2} \geq 0$ phương trình trở thành:

$u^{2} + 3 u - 4 = 0 \Leftrightarrow (u - 1) (u + 4) = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} u = 1 \Leftrightarrow x^{2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1 \\ u = - 4 (L) \end{cases}$

Vậy tập nghiệm của phương trình $S = \{\pm 1\}$ .

Cách khác :

Phương trình: $\Leftrightarrow (x^{2} - 1) (x^{2} + 4) = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$

Câu 102

Giải phương trình: $x^{2} - 5 x - 14 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: a=1; b=-5; c=-14

Biệt thức : $Δ = b^{2} - 4 a c = 25 + 56 = 81 > 0 \Rightarrow \sqrt{Δ} = 9$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1} = 7$ , $x_{2} = - 2$

Câu 103

Giải các phương trình sau:

a) ${(x - 1)}^{2} + 2 = - 2 x^{2} + 8 x$

Xem đáp án

Lời giải

a) ${(x - 1)}^{2} + 2 = - 2 x^{2} + 8 x \Leftrightarrow 3 x^{2} - 10 x + 3 = 0$

Ta có : $Δ = b^{2} - 4 a c = {(- 10)}^{2} - 4.3.3 = 64 > 0 \Rightarrow \sqrt{Δ} = 8$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt :

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{10 + 8}{6} = 3$ ; $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{1}{3}$

Câu 104

b) $x^{3} (x + 1) - 7 = x^{2} (x + 7) + 1$

Xem đáp án

Lời giải

b) $x^{3} (x + 1) - 7 = x^{2} (x + 7) + 1 \Leftrightarrow x^{4} - 7 x^{2} - 8 = 0$

Đặt $x^{2} = t$ ( $t \geq 0$ )

Ta có phương trình : $t^{2} - 7 t - 8 = 0$

Phương trình trên có : $a - b + c = 1 + 7 - 8 = 0$ nên phương trình có hai nghiệm :

$t_{1} = - 1$ (loại) $t_{2} = \frac{- c}{a} = \frac{8}{1} = 8$ (nhận)

t = 8 \Leftrightarrow x^{2} = 8 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{8}

Câu 105

Giải các phương trình:

a) $3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

a) $3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Ta thấy a+b+c=0 nên phương trình có nghiệm là x=1 và $x = \frac{1}{3}$

Câu 106

b) $x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

b) $x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Đặt $t = x^{2} \geq 0$ ta có phương trình:

$t^{2} - 3 t - 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 (l) \\ t = 4 (t m) \end{array}$

Với t=4 ta có: $x^{2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2$

Vậy $S = \{\pm 2\}$ .

Câu 107

Cho phương trình $x^{2} - 2 m x - 4 m - 5 = 0$ (x là ẩn số) (1)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.

Xem đáp án

Lời giải

a) Phương trình (1) có

Δ^{'} = m^{2} + 4 m + 5 = {(m + 2)}^{2} + 1 > 0

với mọi m nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Câu 108

b) Gọi x₁, x₂ là các nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức $A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2}$ . đạt giá trị nhỏ nhất.

Xem đáp án

Lời giải

b) Do đó, theo Viet, với mọi m, ta có: $S = - \frac{b}{a} = 2 m$ ; $P = \frac{c}{a} = - 4 m - 5$

$\Rightarrow A = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 3 x_{1} x_{2} = 4 m^{2} + 3 (4 m + 5) = {(2 m + 3)}^{2} + 6 \geq 6$ với mọi m

$\Rightarrow A = 6$ khi $m = \frac{- 3}{2}$

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 6 khi $m = \frac{- 3}{2}$ .

Câu 109

Cho phương trình $8 x^{2} - 8 x + m^{2} + 1 = 0$ () (x là ẩn số)

a) Định m để phương trình () có nghiệm $x = \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Lời giải

a) Phương trình (*) có nghiệm $x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2 - 4 + m^{2} + 1 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1$

Câu 110

b) Định m để phương trình (*) có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa điều kiện: $x_{1}^{4} - x_{2}^{4} = x_{1}^{3} - x_{2}^{3}$

Xem đáp án

Lời giải

Δ^{'} = 16 - 8 m^{2} - 8 = 8 (1 - m^{2})

b) Định m để phương trình (*) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x1^4-x2^4=x1^3-x2^3 (ảnh 1)

Câu 111

Tìm m để phương trình $x^{2} + x - m + 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{1}^{2} x_{2}^{2} = 17$ .

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình $x^{2} + x - m + 2 = 0$

Điều kiện: $Δ = 1^{2} - 4. (- m + 2) = 1 + 4 m - 8 = 4 m - 7 > 0 \Leftrightarrow m > \frac{7}{4}$

Khi đó theo Vi-ét tá có $x_{1} + x_{2} = - 1$ và $x_{1} . x_{2} = - m + 2$ .

$x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{1}^{2} x_{2}^{2} = 17 {(x_{1} + x_{2})}^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2}) + {(x_{1} x_{2})}^{2} = 17 {(- 1)}^{3} - 3 (- m + 2) (- 1) + {(2 - m)}^{2} = 17 - 1 - 3 m + 6 + 4 - 4 m + m^{2} = 17 m^{2} - 7 m - 8 = 0 c ó a - b + c = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = - 1 (l) \\ m = 8 (t m) \end{matrix}$

Vậy với m=8 thì thỏa yêu cầu đề bài.

Câu 112

Cho phương trình $x^{2} - (m - 1) x - m = 0$

a) Chứng tỏ phương trình luôn luôn có nghiệm x₁, x₂ với mọi m.

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có : $Δ = {(m - 1)}^{2} + 4 m = m^{2} + 2 m + 1 = {(m + 1)}^{2} \geq 0$ với mọi m

Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm x₁, x₂ với mọi m.

Câu 113

b) Tìm giá trị của m để $x_{1}^{2} x_{2} + x_{1} x_{2}^{2} - 3 x_{1} x_{2} = - 5$

Xem đáp án

Lời giải

b) Theo định lý Vi-et ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = m - 1 \\ x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a} = - m \end{cases}$

$x_{1}^{2} x_{2} + x_{1} x_{2}^{2} - 3 x_{1} x_{2} = - 5 \Leftrightarrow x_{1} x_{2} (x {}_{1}+ x_{2}) - 3 x_{1} x_{2} + 5 = 0$

$\Leftrightarrow - m^{2} + 4 m + 5 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 1 \\ m = 5 \end{array}$ (thỏa mãn)

Vậy $m \in \{- 1; 5\}$ là giá trị cần tìm.

Câu 114

Cho phương trình: $x^{2} + 4 x + m - 1 = 0$ (ẩn x)

a) Tìm m để phương trình có nghiệm

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có: $Δ = 20 - 4 m$

Để phương trình có nghiệm thì $Δ \geq 0 \Leftrightarrow 20 - 4 m \geq 0 \Leftrightarrow - 4 m \geq - 20 \Leftrightarrow m \leq 5$

Câu 115

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ sao cho $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 3 x_{1} x_{2} = 4.$

Xem đáp án

Lời giải

b) Theo định lí Vi-ét ta có : $\{\begin{cases} S = x_{1} + x_{2} = - 4 \\ P = x_{1} . x_{2} = m - 1 \end{cases}$

có : $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 3 x_{1} x_{2} = 4 \Leftrightarrow S^{2} - 2 P - 3 P = 4 \Leftrightarrow S^{2} - 5 P - 4 = 0 \Leftrightarrow 16 - 5 m + 5 = 4 \Leftrightarrow m = \frac{- 17}{5}$

Vậy $m = \frac{- 17}{5}$ là giá trị cần tìm.

Câu 116

Cho phương trình: $x^{2} + (m - 1) . x - m = 0$ (x là ẩn số, m là tham số)

a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Xem đáp án

Lời giải

a) $x^{2} + (m - 1) . x - m = 0$

Ta có: $Δ = b^{2} - 4 a c = {(m - 1)}^{2} - 4.1 (- m) = m^{2} + 2 m + 1$ $= {(m + 1)}^{2} \geq 0$ , với mọi só thực m

Vậy phương trình trên luôn có nghiệm với mọi số thực m

Câu 117

b) Tìm m để $x_{1}^{2} . x_{2} + x_{1} x_{2}^{2} = 6$ (với $x_{1}, x_{2}$ là các nghiệm của phương trình trên).

Xem đáp án

Lời giải

b) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 1 - m \\ x_{1} . x_{2} = - m \end{cases}$ thế vào biểu thức: $x_{1}^{2} . x_{2} + x_{1} x_{2}^{2} = 6 \Leftrightarrow x_{1} . x_{2} (x_{1} + x_{2}) = 6$ ta được:

$- m (1 - m) = 6 \Leftrightarrow m^{2} - m - 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 3 \\ m = - 2 \end{array}$

Vậy $m \in \{- 2; 3\}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Chuyên đề 7: Phương trình (có đáp án)

🔥 Đề thi HOT:

Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án

Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01

15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án

Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án

Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Đắk Lắk

Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án (Đề số 1)

Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án

123 bài tập Nón trụ cầu và hình khối có lời giải

Nội dung liên quan:

Đề ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án (Mới nhất)

Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2020 có đáp án

Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2019 có đáp án

Bộ 30 đề thi vào 10 môn Toán có lời giải chi tiết

Tổng hợp các bài toán thực tế ôn thi vào 10 Toán 9 có đáp án

Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1)

Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1)

Danh sách câu hỏi:

Giải các phương trình sau: a) 3x+12x=27

b) x2+x−20=0

Cho phương trình bậc hai ẩn x:x2+(4m+1)x+2m−8=0 (m là tham số). a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi tham số m.

b) Tìm m để hai nghiệm x1; x2 của phương trình đã cho thỏa mãn điều kiện |x1-x2|=17.

Giải phương trình: x2-3x+2=0.

Giải phương trình: 6.x-xx+22+x2-12x-12x+1=0.

Cho phương trình x2−(2m+5)x+2m+1=0 (1) với x là ẩn số, m là tham số. a) Giải phương trình (1) khi m=−12.

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho biểu thức P=|x1−x2| đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho phương trình x2−m−1x−m2+m−1=0 (1). a) Giải phương trình với m=-1.

b) Chứng minh rằng với mọi m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Giả sử hai nghiệm là x1, x2 (x1<x2), khi đó tìm m để x2−x1=2.

Cho phương trình 2x2+3x−1=0. Gọi x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: P=2x1x2+x2x1

Cho phương trình x2−2mx+m2−1=0 1, với m là tham số. 1) Giải phương trình (1) khi m=2

2) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình (1) lập phương trình bậc hai nhận x13−2mx12+m2x1−2 và x23−2mx22+m2x2−2 là nghiệm.

Giải phương trình (x2-x+1)(x2+4x+1)=6x2

Cho phương trình: x2−2(m−1)x−(2m+1)=0 (1) (m là tham số) a) Giải phương trình (1) với m=2.

b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

c) Tìm m để phương trình (1) luôn có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.

Cho phương trình x2−10mx+9m=0 (1) ( với m là tham số). a. Giải phương trình (1) khi m=1.

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1−9 x2=0.

Cho phương trình x2–2mx–6m–9=0 a) Giải phương trình khi m=0.

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 trái dấu thỏa mãnx12+x22=13

Cho phương trình: 2x2−2mx+m2−2=0 (1), với m là tham số. a. Giải phương trình (1) khi m=2

b. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1,x2 sao cho biểu thức A=2x1x2−x1−x2−4 đạt giá trị lớn nhất.

Giải phương trình x2−4x+3=0

Cho phương trình:mx2+x−2=0 (1), với mlà tham số. a. Giải phương trình (1) khi m=0.

b) Giải phương trình (1) khi m=1.

Giải phương trình 3x−5=x+2

Giải phương trình: 2x2−1−22x−2=0

Giải các phương trình sau trên tập số thực: a) 2x2−9x+10=0

b) x−14−8x−12−9=0

Cho phương trình x2−m+4x−2m2+5m+3=0 (m là tham số). Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt sao cho tích của hai nghiệm này bằng -30. Khi đó, tính tổng hai nghiệm của phương trình.

Giải phương trình 3x−5=x+2

Giải phương trình: 2x2−1−22x−2=0

Giải phương trình: 5x−18=3x+24

Tìm m để phương trình x2−2m+2x+6m+2=0 có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.

Cho phương trình x2−2m+1x+m2+5=0 1, với x là ẩn số. a) Giải phương trình (1) khi m=2.

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn đẳng thức sau: 2x1x2−5x1+x2+8=0.

Giải phương trình 16x4−8x2+1=0

Cho phương trình x2−mx+m−1=0 (có ẩn số x). a/ Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm x1; x2với mọi m

Cho biểu thức B=2x1x2+3x12+x22+21+x1x2. Tìm giá trị của m để B=1

Giải phương trình x2−9x+20=0.

Giải phương trình: x4−2x2−3=0.

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x2+(2m−1)x+m2−1=0 có hai nghiệm x1; x2 sao cho biểu thức P=x12+x22 đạt giá trị nhỏ nhất

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x2−2x+m−1=0 có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn x12+x22−x1x2+x12x22−14=0

Giải phương trình: x2−4x+3=0.

Cho phương trình x2−2m+2x+m2=0 (m là tham số). Tìm giá trị m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn x1+3x2+3=28.

Giải phương trình (2x-1)(x+2)=0

Tìm m để phương trình: x2 +5x+3m-1=0 (x là ẩn, m là tham số) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x13-x23+3x1x2=75.

Giải phương trình: x2−3x−10=0

b. Gọi x1 và x2 là nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x12+x22

2.Cho phương trình: x2−2m−2x−6m=0 (1) (m là tham số). a. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

Giải các phương trình sau: a) 5x2−16x+3=0

b) x4+9x2−10=0

Cho phương trình x2−2m+1x+m−1=0(m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 3x1+x2=0.

Cho phương trình: x2−m−1x−m=0 (1) (với x là ẩn số, m là tham số). a) Giải phương trình (1) với m=4;

b) Xác định các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn điều kiện: x13−x2+20≥33−x2.

Tìm x biết: a) 2x-3=0

b) |x+3|=2

Giải phương trình: x+14−2x+12−3=0.

Giải phương trình: x2=(x−1)(3x−2)

Giải phương trình: x−3x−10=0

Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{3} x + \sqrt{12} x = \sqrt{27}$

b) $x^{2} + x - 20 = 0$

Cho phương trình bậc hai ẩn $x : x^{2} + (4 m + 1) x + 2 m - 8 = 0$ (m là tham số).

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ với mọi tham số m.

b) Tìm m để hai nghiệm x₁; x₂của phương trình đã cho thỏa mãn điều kiện |x₁-x₂|=17.

Giải phương trình: $x^{2} - 3 x + 2 = 0 .$

Giải phương trình: $6 . {(x - \frac{x}{x + 2})}^{2} + \frac{x^{2} - 12 x - 12}{x + 1} = 0 .$

Cho phương trình $x^{2} - (2 m + 5) x + 2 m + 1 = 0 (1)$ với x là ẩn số, m là tham số.
a) Giải phương trình (1) khi $m = - \frac{1}{2}$ .

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁ , x₂ sao cho biểu thức $P = | \sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{2}} |$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho phương trình $x^{2} - (m - 1) x - m^{2} + m - 1 = 0 (1)$ .

a) Giải phương trình với m=-1.

b) Chứng minh rằng với mọi m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Giả sử hai nghiệm là x₁, x₂ (x₁<x₂), khi đó tìm m để $|x_{2}| - |x_{1}| = 2$ .

Cho phương trình $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ . Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình.

Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: $P = 2 (\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}})$

Cho phương trình $x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1 = 0 (1),$ với m là tham số.

1) Giải phương trình (1) khi m=2

Giải phương trình $(x^{2} - x + 1) (x^{2} + 4 x + 1) = 6 x^{2}$

Cho phương trình: $x^{2} - 2 (m - 1) x - (2 m + 1) = 0$ (1) (m là tham số)

a) Giải phương trình (1) với m=2.

Cho phương trình $x^{2} - 10 m x + 9 m = 0$ (1) ( với m là tham số).

a. Giải phương trình (1) khi m=1.

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện $x_{1} - 9 x_{2} = 0$ .

Cho phương trình $x^{2} - 2 m x - 6 m - 9 = 0$

a) Giải phương trình khi m=0.

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$ trái dấu thỏa mãn ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = 13$

Cho phương trình: $2 x^{2} - 2 m x + m^{2} - 2 = 0 (1)$ , với m là tham số.

a. Giải phương trình (1) khi m=2

b. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ sao cho biểu thức $A = |2 x_{1} x_{2} - x_{1} - x_{2} - 4|$ đạt giá trị lớn nhất.

Giải phương trình $x^{2} - 4 x + 3 = 0$

Cho phương trình: $m x^{2} + x - 2 = 0$ (1), với mlà tham số.

a. Giải phương trình (1) khi m=0.

Giải phương trình $3 x - 5 = x + 2$

Giải phương trình: $2 x^{2} - (1 - 2 \sqrt{2}) x - \sqrt{2} = 0$

Giải các phương trình sau trên tập số thực:

a) $2 x^{2} - 9 x + 10 = 0$

b) ${(x - 1)}^{4} - 8 {(x - 1)}^{2} - 9 = 0$

Cho phương trình $x^{2} - (m + 4) x - 2 m^{2} + 5 m + 3 = 0$ (m là tham số). Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt sao cho tích của hai nghiệm này bằng -30. Khi đó, tính tổng hai nghiệm của phương trình.

Giải phương trình $3 x - 5 = x + 2$

Giải phương trình: $2 x^{2} - (1 - 2 \sqrt{2}) x - \sqrt{2} = 0$

Giải phương trình: $5 x - 18 = 3 x + 24$

Tìm m để phương trình $x^{2} - 2 (m + 2) x + 6 m + 2 = 0$ có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.

Cho phương trình $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} + 5 = 0 (1)$ , với x là ẩn số.

a) Giải phương trình (1) khi m=2.

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ thỏa mãn đẳng thức sau:

$2 x_{1} x_{2} - 5 (x_{1} + x_{2}) + 8 = 0$ .

Giải phương trình $16 x^{4} - 8 x^{2} + 1 = 0$

Cho phương trình $x^{2} - m x + m - 1 = 0$ (có ẩn số x).

a/ Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm $x_{1} {; x}_{2}$ với mọi m

Cho biểu thức $B = \frac{2 x_{1} x_{2} + 3}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 (1 + x_{1} x_{2})}$ . Tìm giá trị của m để B=1

Giải phương trình $x^{2} - 9 x + 20 = 0.$

Giải phương trình: $x^{4} - 2 x^{2} - 3 = 0$ .

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình $x^{2} + (2 m - 1) x + m^{2} - 1 = 0$ có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ sao cho biểu thức $P = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình $x^{2} - 2 x + m - 1 = 0$ có hai nghiệm x₁,x₂thỏa mãn $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{1}^{2} x_{2}^{2} - 14 = 0$

Giải phương trình: $x^{2} - 4 x + 3 = 0.$

Cho phương trình $x^{2} - 2 (m + 2) x + m^{2} = 0$ (m là tham số). Tìm giá trị m để phương trình đã cho có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $(x_{1} + 3) (x_{2} + 3) = 28.$

Tìm m để phương trình: x² +5x+3m-1=0 (x là ẩn, m là tham số) có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn $x_{1}^{3} - x_{2}^{3} + 3 x_{1} x_{2} = 75$ .

Giải phương trình: $x^{2} - 3 x - 10 = 0$

b. Gọi x₁ và x₂ là nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$

2.Cho phương trình: $x^{2} - 2 (m - 2) x - 6 m = 0$ (1) (m là tham số).

a. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

Giải các phương trình sau:
a) $5 x^{2} - 16 x + 3 = 0$

b) $x^{4} + 9 x^{2} - 10 = 0$

Cho phương trình $x^{2} - 2 (m + 1) x + m - 1 = 0$ (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn $3 x_{1} + x_{2} = 0$ .

Cho phương trình: $x^{2} - (m - 1) x - m = 0$ (1) (với x là ẩn số, m là tham số).

a) Giải phương trình (1) với m=4;

b) Xác định các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ thoả mãn điều kiện: $x_{1} (3 - x_{2}) + 20 \geq 3 (3 - x_{2}) .$

Tìm x biết:

a) 2x-3=0

Giải phương trình: ${(x + 1)}^{4} - 2 {(x + 1)}^{2} - 3 = 0$ .

Giải phương trình: $x^{2} = (x - 1) (3 x - 2)$

Giải phương trình: $x - 3 \sqrt{x} - 10 = 0$

Không sử dụng máy tính, hãy tìm nghiệm của phương trình $x^{2} + 3 x - 10 = 0.$

Giải phương trình:

a) 2x-1=0

b) $x^{2} - 6 x - 7 = 0$

Cho phương trình: $x^{2} - (2 m + 1) x + m^{2} + 1 = 0$

a) Tìm m để phương trình có nghiệm.

b) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để x₁=2x₂.

Xác định phương trình $a x^{2} + b x + c = 0$ với $a \neq 0$ ; b, c là các số và b+c=5. Biết rằng phương trình có hai nghiệm x_1,x₂ thỏa mãn $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - 4 \\ x_{1} x_{2} = - 5 \end{cases}$ .

Giải phương trình:

a) $x^{2} - 12 x + 35 = 0$

b) $x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Cho phương trình $x^{2} - m x - 1 = 0, m$ là tham số. Tìm giá trị của m để phương trình có hai

nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $(x_{1}^{2} - 1) (x_{2}^{2} - 1) = - 1.$

Giải phương trình: $\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9} = 9$

Giải phương trình: $3 x^{2} + 2 x - 8 = 0$ (không giải trực tiếp bằng máy tính)

Cho phương trình: $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} - 3 = 0$ (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị tham số m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} = - 2$

Cho phương trình $x^{2} - x + m + 1 = 0$ (m là tham số).

1) Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Gọi x₁, x₂ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình. Tìm các giá trị của m sao cho ${x_{1}}^{2} + x_{1} x_{2} + 3 x_{2} = 7$ .

Giải phương trình: $2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Giải phương trình: $x + \frac{2 \sqrt{2} x}{\sqrt{1 + x^{2}}} = 1$

Cho phương trình: $x^{2} + 2 (m + 2) x + 4 m - 1 = 0$ (1) (x là ẩn số, m là tham số).

a) Giải phương trình (1) khi m=2.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình (1), tìm m để $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 30$

Giải các bất phương trình và các phương trình sau:

a) 4x-5>7

c) $\frac{1}{2} x^{2} = 3 x - 4$

Giải phương trình: $\frac{x + 2}{2} - 1 = 0.$

Cho phương trình: $x^{2} - (2 m + 1) x + m^{2} + m - 1 = 0$ (m là tham số).

a) Giải phương trình với m=0

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ thỏa mãn điều kiện: $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = 4.$

Giải phương trình: ${(x^{3} - 4)}^{3} = {(\sqrt[3]{{(x^{2} + 4)}^{2}} + 4)}^{2} .$

Giải phương trình: $x^{2} + 7 x + 10 = 0$