Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ thỏa mãn:

$(x_{1}^{2} - 2 m x_{1} + m^{2}) (x_{2} + 1) = 1$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2018 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương trình có hai nghiệm $\Leftrightarrow Δ \geq 0 \Leftrightarrow {[- (2 m + 1)]}^{2} - 4 (m^{2} - 1) \geq 0 \Leftrightarrow 4 m + 5 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq \frac{- 5}{4}$

Với $m \geq \frac{- 5}{4}$ phương trình có hai nghiệm theo Vi_ét ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{_{2}} = 2 m + 1 \\ x_{1} x_{_{2}} = m^{2} - 1 \end{cases}$

Vì x₁ là nghiệm của phương trình nên ta có: $x_{1}^{2} - (2 m + 1) x_{1} + m^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x_{1}^{2} = (2 m + 1) x_{1} - m^{2} + 1$

Thay vào hệ thức $x_{1}^{2} - (2 m + 1) x_{1} + m^{2} - 1 = 0$ ta có:

$\begin{array}{l} (x_{1}^{2} - 2 m x_{1} + m^{2}) (x_{2} + 1) = 1 \Leftrightarrow (x_{1} + 1) (x_{2} + 1) = 1 \\ \Leftrightarrow x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1 = 1 \\ \Leftrightarrow m^{2} - 1 + 2 m + 1 + 1 = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 (T M) \\ m = - 2 (K T M) \end{array} \end{array}$

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

b) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để x₁=2x₂.

Xem đáp án

Lời giải

b) Theo định lý Vi-ét: $\{\begin{cases} S = x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = 2 m + 1 (1) \\ P = x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = m^{2} + 1 (2) \end{cases}$

Ta có: $x_{1} = 2 x_{2}$ thế vào (1) $\Rightarrow 3 x_{2} = 2 m + 1 \Leftrightarrow x_{2} = \frac{2 m + 1}{3}$ thế vào (2) $\Rightarrow 2. \frac{{(2 m + 1)}^{2}}{9} = m^{2} + 1$

\begin{array}{l} \Leftrightarrow 8 m^{2} + 8 m + 2 = 9 m^{2} + 9 \\ \Leftrightarrow m^{2} - 8 m + 7 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = 7 \end{array} \end{array}

Câu 2

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình $x^{2} + (2 m - 1) x + m^{2} - 1 = 0$ có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ sao cho biểu thức $P = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất

Xem đáp án

Lời giải

Xét phương trình $x^{2} + (2 m - 1) x + m^{2} - 1 = 0$ có $Δ = {(2 m - 1)}^{2} - 4.1. (m^{2} - 1) = - 4 m + 5$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $Δ > 0 \Rightarrow - 4 m + 5 > 0 \Leftrightarrow m < \frac{5}{4}$

Khi $x_{1}; x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình đã cho, theo hệ thức Vi-et ta có:

$\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 1 - 2 m \\ x_{1} . x_{2} = m^{2} - 1 \end{cases}$

Khi đó: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = {(1 - 2 m)}^{2} - 2 (m^{2} - 1) = 2 m^{2} - 4 m + 3 = 2 {(m - 1)}^{2} + 1 \geq 1$

Vậy $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi m = 1 (thỏa điều kiện $m < \frac{5}{4}$ )

Vậy giá trị m cần tìm là 1

Câu 3