Tìm m để phương trình: x² +5x+3m-1=0 (x là ẩn, m là tham số) có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn $x_1^3-x_2^3+3x_1{x}_2=75$.

$\Delta =29–12m$.

Phương trình có nghiệm $\iff m\le \frac{29}{12}$.

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-5\\ x_1{x}_2=3m-1\end{array}\right.$                                                          

                        Cách 1:

(1)$\iff x_2=-5-x_1$, thay vào hệ thức ${x_1}^3-{x_2}^3+3x_1{x}_2=75$ ta được:

                        ${x_1}^3+{\left(5+x_1\right)}^3+3x_1\left(-5-x_1\right)=75$.

                        $\iff {x_1}^3+6{x_1}^2+30x_1+25=0$.

                        Giải phương trình được x=-1 $\Rightarrow x_2=–4$.

                        Thay x₁ và x₂ vào  (2), tìm được  $m=\frac{5}{3}$  (thỏa mãn điều kiện).

                        Vậy $m=\frac{5}{3}$ là giá trị cần tìm.

                        Cách 2:

                  $$\begin{gathered} {x_1}^3-{x_2}^3+3x_1{x}_2=75 \\ \iff \left(x_1-x_2\right)\left({x_1}^2+x_1{x}_2+{x_2}^2\right)=75-3x_1{x}_2 \\ \iff \left(x_1-x_2\right)\left[{\left(x_1+x_2\right)}^2-x_1{x}_2\right]=3\left(25-x_1{x}_2\right) \\ \iff \left(x_1-x_2\right)\left(26-3m\right)=3\left(26-3m\right) \end{gathered}$$

                        $\iff \left(x_1-x_2\right)=3$ (do $m\le \frac{29}{12}\Rightarrow 26-3m>0$).

                        Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-5\\ x_1-x_2=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1=-1\\ x_2=-4\end{array}\right.$.  

                        Từ đó tìm được m.