b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho biểu thức P=|x1−x2| đạt giá trị nhỏ nhất.

b) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì Δ=(2m+5)2−4(2m+1)>0 ⇔4m2+12m+21>0⇔(2m+3)2+12>0. Bất đẳng thức sau cùng luôn đúng với mọi giá trị của m. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Để P= |x1−x2| có nghĩa thì x1 và x2 phải dương ⇔2m+5≥02m+1≥0⇔m≥−12. Khi đó theo định lý Vi-et ta có x1+x2=2m+5x1x2=2m+1( với x1 và x2 là hai nghiệm của (1)). Do đó P2=x1+x2−2x1x2=2m+5−22m+1 =2m+1−12+3≥3⇒P≥3. Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi 2m+1=1⇔m=0.

Câu hỏi:

19/08/2025 8,303

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁ , x₂ sao cho biểu thức $P = | \sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{2}} |$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2018 có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

b) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì $Δ = {(2 m + 5)}^{2} - 4 (2 m + 1) > 0$

$\Leftrightarrow 4 m^{2} + 12 m + 21 > 0 \Leftrightarrow {(2 m + 3)}^{2} + 12 > 0$ . Bất đẳng thức sau cùng luôn đúng với mọi giá trị của m. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Để $P = | \sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{2}} |$ có nghĩa thì x₁ và x₂ phải dương $\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 m + 5 \geq 0 \\ 2 m + 1 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m \geq - \frac{1}{2}$ .

Khi đó theo định lý Vi-et ta có $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 m + 5 \\ x_{1} x_{2} = 2 m + 1 \end{cases}$ ( với x₁ và x₂ là hai nghiệm của (1)).

Do đó $P^{2} = x_{1} + x_{2} - 2 \sqrt{x_{1} x_{2}} = 2 m + 5 - 2 \sqrt{2 m + 1}$

$= {(\sqrt{2 m + 1} - 1)}^{2} + 3 \geq 3 \Rightarrow P \geq \sqrt{3}$ .

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\sqrt{3}$ khi $\sqrt{2 m + 1} = 1 \Leftrightarrow m = 0.$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

b) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để x₁=2x₂.

Xem đáp án

Lời giải

b) Theo định lý Vi-ét: $\{\begin{cases} S = x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = 2 m + 1 (1) \\ P = x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = m^{2} + 1 (2) \end{cases}$

Ta có: $x_{1} = 2 x_{2}$ thế vào (1) $\Rightarrow 3 x_{2} = 2 m + 1 \Leftrightarrow x_{2} = \frac{2 m + 1}{3}$ thế vào (2) $\Rightarrow 2. \frac{{(2 m + 1)}^{2}}{9} = m^{2} + 1$

\begin{array}{l} \Leftrightarrow 8 m^{2} + 8 m + 2 = 9 m^{2} + 9 \\ \Leftrightarrow m^{2} - 8 m + 7 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = 7 \end{array} \end{array}

Câu 2

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình $x^{2} + (2 m - 1) x + m^{2} - 1 = 0$ có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ sao cho biểu thức $P = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất

Xem đáp án

Lời giải

Xét phương trình $x^{2} + (2 m - 1) x + m^{2} - 1 = 0$ có $Δ = {(2 m - 1)}^{2} - 4.1. (m^{2} - 1) = - 4 m + 5$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $Δ > 0 \Rightarrow - 4 m + 5 > 0 \Leftrightarrow m < \frac{5}{4}$

Khi $x_{1}; x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình đã cho, theo hệ thức Vi-et ta có:

$\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 1 - 2 m \\ x_{1} . x_{2} = m^{2} - 1 \end{cases}$

Khi đó: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = {(1 - 2 m)}^{2} - 2 (m^{2} - 1) = 2 m^{2} - 4 m + 3 = 2 {(m - 1)}^{2} + 1 \geq 1$

Vậy $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi m = 1 (thỏa điều kiện $m < \frac{5}{4}$ )

Vậy giá trị m cần tìm là 1

Câu 3