Chuyên đề 2: Căn bậc hai có đáp án

32 người thi tuần này 5.0 13.5 K lượt thi 80 câu hỏi 60 phút

Câu 1/80

Rút gọn biểu thức $A = \frac{3 x}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{9 x}}{3} - \sqrt{4 x}$ (x>0)

Xem đáp án

Lời giải

$A = \frac{3 x}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{9 x}}{3} - \sqrt{4 x} = \frac{3 {(\sqrt{x})}^{2}}{\sqrt{x}} + \frac{3 \sqrt{x}}{3} - 2 \sqrt{x} = 3 \sqrt{x} + \sqrt{x} - 2 \sqrt{x} = 2 \sqrt{x} .$

Câu 2/80

Tính giá trị của biểu thức: $A = \sqrt{25} + 3 \sqrt{8} - 2 \sqrt{18}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $A = \sqrt{25} + 3 \sqrt{8} - 2 \sqrt{18} = 5 + 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} = 5$

Câu 3/80

Cho biểu thức $B = (\frac{x \sqrt{x} + x + \sqrt{x}}{x \sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x} + 3}{1 - \sqrt{x}}) . \frac{x - 1}{2 x + \sqrt{x} - 1}$ (Với $x \geq 0$ ; $x \neq 1$ và $x \neq \frac{1}{4}$ ).
Tìm tất cả các giá trị của x để B<0.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $B = (\frac{x \sqrt{x} + x + \sqrt{x}}{x \sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x} + 3}{1 - \sqrt{x}}) . \frac{x - 1}{2 x + \sqrt{x} - 1}$

$= (\frac{\sqrt{x} (x + \sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1) (x + \sqrt{x} + 1)} + \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 1}) . \frac{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1) (2 \sqrt{x} - 1)}$

$= \frac{2 \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 1} . \frac{\sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x} - 1} = \frac{2 \sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x} - 1}$

Vì $2 \sqrt{x} + 3 > 0 \forall x$ nên để $B < 0 \Leftrightarrow 2 \sqrt{x} - 1 < 0$ $\Leftrightarrow 0 \leq x < \frac{1}{4}$ .

Câu 4/80

Cho biểu thức $P = \frac{3 x + 5 \sqrt{x} - 4}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 1)} - \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3} - \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 1}$ (với $x \geq 0$ ; $x \neq 1$ )

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm x sao cho P= $\frac{1}{2}$ .

Xem đáp án

Lời giải

a) Với $x \geq 0$ ; $x \neq 1$ ta có:

$P = \frac{3 x + 5 \sqrt{x} - 4}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 1)} - \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3} - \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 1}$ $= \frac{3 x + 5 \sqrt{x} - 4 - (\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1) - {(\sqrt{x} + 3)}^{2}}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 1)}$

$= \frac{3 x + 5 \sqrt{x} - 4 - (x - 1) - (x + 6 \sqrt{x} + 9)}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 1)}$ $= \frac{x - \sqrt{x} - 12}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 1)} = \frac{x - 4 \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} - 12}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 1)}$

$= \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 4) + 3 (\sqrt{x} - 4)}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 1)} = \frac{(\sqrt{x} - 4) (\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 1)} = \frac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x} - 1}$

b) $P = \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x} - 1} = \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow 2 \sqrt{x} - 8 = \sqrt{x} - 1$ $\Leftrightarrow \sqrt{x} = 7$ $\Leftrightarrow x = 49$ (thỏa điều kiện)

Vậy khi x= 49 thì P= $\frac{1}{2}$

Câu 5/80

Không dùng máy tính cầm tay, hãy rút gọn biểu thức:

$A = (\sqrt{8} - 3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}) (\sqrt{2} + 10 \sqrt{0, 2})$

Xem đáp án

Lời giải

$A = (\sqrt{8} - 3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}) (\sqrt{2} + 10 \sqrt{0, 2}) = (2 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}) (\sqrt{2} + 2 \sqrt{5^{2} .0, 2})$

$= (2 \sqrt{5} - \sqrt{2}) (\sqrt{2} + 2 \sqrt{5}) = {(2 \sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2} = 20 - 2 = 18$

Câu 6/80

Cho $B = (\frac{x}{\sqrt{x} + 3} - \frac{x + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{6 x + \sqrt{x}}{x - 9}) : (\frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 3} - 1)$ với $\{\begin{cases} x \geq 0 \\ x \neq 9 \end{cases}$

Rút gọn biểu thức B và tính giá trị của B khi x=12+6 $\sqrt{3}$

Xem đáp án

Lời giải

* Với $x \geq 0$ , $x \neq 9$ , ta có:

$B = (\frac{x (\sqrt{x} - 3) - (x + 1) (\sqrt{x} + 3) + 6 x + \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)}) : (\frac{\sqrt{x} - 3 - (\sqrt{x} + 3)}{\sqrt{x} + 3})$

$= (\frac{x \sqrt{x} - 3 x - x \sqrt{x} - 3 x - \sqrt{x} - 3 + 6 x + \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)}) : (\frac{- 6}{\sqrt{x} + 3})$

$= \frac{- 3}{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)} \cdot \frac{\sqrt{x} + 3}{- 6} = \frac{1}{2 (\sqrt{x} + 3)}$

*Tính giá trị của biểu thức B khi $x = 12 + 6 \sqrt{3}$ :

Ta có: $x = 12 + 6 \sqrt{3} = 3^{2} + 2.3. \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2} = {(3 + \sqrt{3})}^{2}$ (thỏa mãn điều kiện), thay vào biểu thức ta được:

$B = \frac{1}{2 (\sqrt{{(3 + \sqrt{3})}^{2}} - 3)} = \frac{1}{2 (3 + \sqrt{3} - 3)} = \frac{1}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

Câu 7/80

Rút gọn biểu thức $P = \frac{x - 2}{x + 2 \sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2},$ với x>0

Xem đáp án

Lời giải

$P = \frac{x - 2 - (\sqrt{x} + 2) + \sqrt{x}}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)}$ $= \frac{x - 4}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)} = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} .$

Câu 8/80

Không sử dụng máy tính cầm tay

Tính: $\sqrt{18} - 2 \sqrt{2} + \frac{5}{\sqrt{2}} .$

Xem đáp án

Lời giải

Tính: $\sqrt{18} - 2 \sqrt{2} + \frac{5}{\sqrt{2}}$ $= \sqrt{9.2} - 2 \sqrt{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

$= 3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ $= (3 - 2 + \frac{5}{2}) . \sqrt{2}$ $= \frac{7 \sqrt{2}}{2} .$

Vậy $\sqrt{18} - 2 \sqrt{2} + \frac{5}{\sqrt{2}}$ $= \frac{7 \sqrt{2}}{2}$ .

Câu 9/80