Cho hình hộp chữ nhật ABCDA'B'C'D' nội tiếp mặt cầu tâm O (các đỉnh của hình hộp chữ chữ nhật nằm trên mặt cầu). Các kích thước của hình hộp chữ nhật lần lượt là a, b, c. Gọi $S_{1}$ là diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật, $S_{2}$ là diện tích mặt cầu. Tìm mối liên hệ giữa a,b, c để tỉ lệ $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ lớn nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2018 có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có $S_{1} = 2 (a b + a c + b c),$

Description: ÄaÌp aÌn ÄÃªÌ thi vaÌo lÆ¡Ìp 10 mÃ´n ToaÌn $S_{2} = 4 π \frac{(a^{2} + b^{2} + c^{2})}{4} = π (a^{2} + b^{2} + c^{2}) .$

Do đó:

$\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{2 (a b + a c + b c)}{π (a^{2} + b^{2} + c^{2})} = \frac{2 (2 a b + 2 a c + 2 b c)}{π (2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2})}$

Mặt khác $\frac{2 (2 a b + 2 a c + 2 b c)}{π (2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2})} \leq \frac{2}{π}$

Do đó, tỉ lệ $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ lớn nhất là $\frac{2}{π} .$ Điều này xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c .$

Cho hình hộp chữ nhật ABCDA'B'C'D' nội tiếp mặt cầu tâm O (các đỉnh của hình hộp chữ chữ nhật nằm trên mặt cầu) (ảnh 1)

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện $x + y \geq 6$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y}$

Xem đáp án

Lời giải

- Dùng máy tính casio ta chọn được điểm rơi tại x = 2, y = 4. Nên ta có:

$P = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y} = (\frac{3 x}{2} + \frac{6}{x}) + (\frac{2 y}{4} + \frac{8}{y}) + 1, 5 x + 1, 5 y$

- Áp dụng BĐT Cô-si cho từng cặp số trong ngoặc ta được

$P \geq 6 + 4 + 1, 5 (x + y) = 6 + 4 + 1, 5.6 = 19$

Dấu bằng xảy ra khi: $\{\begin{cases} \frac{3 x}{2} = \frac{6}{x} \\ \frac{2 y}{4} = \frac{8}{y} \\ x + y \geq 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \pm 2 \\ y = \pm 4 \\ x + y \geq 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 4 \end{cases}$

Vậy P_min= 19 tại $\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 4 \end{cases}$ .

Câu 2

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = x^{2} + y^{2} + x y$

Xem đáp án

Lời giải

Cách 1:

Nhận xét: trong tất cả các điều kiện và biểu thức, vai trò của x, y đều bình đẳng nên C đạt GTNN khi x=y. Do đó, ta biến đổi như bên dưới.

Ta có: $C = x^{2} + y^{2} + x y = a {(x + y)}^{2} + b {(x - y)}^{2} = (a + b) (x^{2} + y^{2}) + 2 (a - b) x y$ .

Suy ra $\{\begin{cases} a + b = 1 \\ a - b = \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{3}{4} \\ b = \frac{1}{4} \end{cases}$ .

Hay ta có: $C = \frac{3}{4} {(x + y)}^{2} + \frac{1}{4} {(x - y)}^{2} = \frac{3}{4} .1 + \frac{1}{4} {(x - y)}^{2} \geq \frac{3}{4}$

Dấu “=” xảy ra khi $\{\begin{cases} x = y \\ x + y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}$ .

Vậy, giá trị nhỏ nhất của C là $\min C = \frac{3}{4}$ khi $x = y = \frac{1}{2}$ .

Cách 2:

Do $x + y = 1 \Rightarrow y = 1 - x$ . Khi đó, ta có:

$C = x^{2} + y^{2} + x y = x^{2} + {(1 - x)}^{2} + x (1 - x) = x^{2} - x + 1 = {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}$ .

Dấu “=” xảy ra khi $\{\begin{cases} x = \frac{1}{2} \\ x + y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}$ .

Vậy, $\min C = \frac{3}{4}$ khi $x = y = \frac{1}{2}$ .

Câu 3