Chứng minh rằng: 13a+2b+c+1a+3b+2c+12a+b+3c≤83⋅

b) Áp dụng bất đẳng thức ở phần a) ta có: 13a+2b+c=13a+2b+c≤1413a+12b+c 1 Chứng minh được với a; b; c>0 ta có 9a+b+c≤1a+1b+1c⋅ Áp dụng bất đẳng thức trên ta được: 1413a+12b+c ≤1413a+192b+1c=1413a+29b+19c 2 Từ (1) và (2) suy ra 13a+2b+c≤1413a+29b+19c Chứng minh tương tự ta được: 1a+3b+2c≤1419a+13b+29c; 12a+b+3c≤1429a+19b+13c Cộng theo vế của các bất đẳng thức cùng chiều ta được: 13a+2b+c+1a+3b+2c+12a+b+3c≤14⋅231a+1b+1c=14⋅23⋅16=83 Dấu "=" xảy ra ⇔a=b=c1a+1b+1c=16⇔a=b=c=316. Vậy 13a+2b+c+1a+3b+2c+12a+b+3c≤83(đpcm)

Câu hỏi:

12/07/2024 1,027

Chứng minh rằng: $\frac{1}{3 a + 2 b + c} + \frac{1}{a + 3 b + 2 c} + \frac{1}{2 a + b + 3 c} \leq \frac{8}{3} \cdot$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2018 có đáp án !!

Sale Tết giảm 50% 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Sách đề toán-lý-hóa Sách văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

b) Áp dụng bất đẳng thức ở phần a) ta có:

$\frac{1}{3 a + 2 b + c} = \frac{1}{3 a + 2 b + c} \leq \frac{1}{4} [\frac{1}{3 a} + \frac{1}{2 b + c}] (1)$

Chứng minh được với a; b; c>0 ta có $\frac{9}{a + b + c} \leq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \cdot$

Áp dụng bất đẳng thức trên ta được:

$\frac{1}{4} [\frac{1}{3 a} + \frac{1}{2 b + c}] \leq \frac{1}{4} [\frac{1}{3 a} + \frac{1}{9} (\frac{2}{b} + \frac{1}{c})] = \frac{1}{4} (\frac{1}{3 a} + \frac{2}{9 b} + \frac{1}{9 c}) (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{1}{3 a + 2 b + c} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{3 a} + \frac{2}{9 b} + \frac{1}{9 c})$

Chứng minh tương tự ta được:

$\frac{1}{a + 3 b + 2 c} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{9 a} + \frac{1}{3 b} + \frac{2}{9 c}); \frac{1}{2 a + b + 3 c} \leq \frac{1}{4} (\frac{2}{9 a} + \frac{1}{9 b} + \frac{1}{3 c})$

Cộng theo vế của các bất đẳng thức cùng chiều ta được:

$\frac{1}{3 a + 2 b + c} + \frac{1}{a + 3 b + 2 c} + \frac{1}{2 a + b + 3 c} \leq \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot 16 = \frac{8}{3}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b = c \\ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 16 \end{cases} \Leftrightarrow a = b = c = \frac{3}{16} .$

Vậy $\frac{1}{3 a + 2 b + c} + \frac{1}{a + 3 b + 2 c} + \frac{1}{2 a + b + 3 c} \leq \frac{8}{3}$ (đpcm)

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = x^{2} + y^{2} + x y$

Xem đáp án » 12/07/2024 3,521

Câu 2:

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện $x + y \geq 6$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y}$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,791

Câu 3:

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \sqrt{x y + 3 x z} + \sqrt{\frac{y^{2} + y z}{2}}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 2,385

Câu 4:

Cho hai số $x > 0, y > 0$ . Chứng minh rằng $\frac{1}{x + y} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,149

Câu 5:

Cho $x, y, z$ là ba số thực dương thỏa mãn: $x + y + z = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q = \frac{x + 1}{1 + y^{2}} + \frac{y + 1}{1 + z^{2}} + \frac{z + 1}{1 + x^{2}}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 2,081

Câu 6:

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M = x^{2} + y^{2} + \frac{3}{x + y + 1}$

Xem đáp án » 27/08/2022 1,823

Câu 7:

Cho các số thực x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = x^{3} + y^{3} + x^{2} + y^{2}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 1,585

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP