Chứng minh rằng: 13a+2b+c+1a+3b+2c+12a+b+3c≤83⋅

b) Áp dụng bất đẳng thức ở phần a) ta có: 13a+2b+c=13a+2b+c≤1413a+12b+c 1 Chứng minh được với a; b; c>0 ta có 9a+b+c≤1a+1b+1c⋅ Áp dụng bất đẳng thức trên ta được: 1413a+12b+c ≤1413a+192b+1c=1413a+29b+19c 2 Từ (1) và (2) suy ra 13a+2b+c≤1413a+29b+19c Chứng minh tương tự ta được: 1a+3b+2c≤1419a+13b+29c; 12a+b+3c≤1429a+19b+13c Cộng theo vế của các bất đẳng thức cùng chiều ta được: 13a+2b+c+1a+3b+2c+12a+b+3c≤14⋅231a+1b+1c=14⋅23⋅16=83 Dấu "=" xảy ra ⇔a=b=c1a+1b+1c=16⇔a=b=c=316. Vậy 13a+2b+c+1a+3b+2c+12a+b+3c≤83(đpcm)

Câu hỏi:

19/08/2025 2,167

Chứng minh rằng: $\frac{1}{3 a + 2 b + c} + \frac{1}{a + 3 b + 2 c} + \frac{1}{2 a + b + 3 c} \leq \frac{8}{3} \cdot$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2018 có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

b) Áp dụng bất đẳng thức ở phần a) ta có:

$\frac{1}{3 a + 2 b + c} = \frac{1}{3 a + 2 b + c} \leq \frac{1}{4} [\frac{1}{3 a} + \frac{1}{2 b + c}] (1)$

Chứng minh được với a; b; c>0 ta có $\frac{9}{a + b + c} \leq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \cdot$

Áp dụng bất đẳng thức trên ta được:

$\frac{1}{4} [\frac{1}{3 a} + \frac{1}{2 b + c}] \leq \frac{1}{4} [\frac{1}{3 a} + \frac{1}{9} (\frac{2}{b} + \frac{1}{c})] = \frac{1}{4} (\frac{1}{3 a} + \frac{2}{9 b} + \frac{1}{9 c}) (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{1}{3 a + 2 b + c} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{3 a} + \frac{2}{9 b} + \frac{1}{9 c})$

Chứng minh tương tự ta được:

$\frac{1}{a + 3 b + 2 c} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{9 a} + \frac{1}{3 b} + \frac{2}{9 c}); \frac{1}{2 a + b + 3 c} \leq \frac{1}{4} (\frac{2}{9 a} + \frac{1}{9 b} + \frac{1}{3 c})$

Cộng theo vế của các bất đẳng thức cùng chiều ta được:

$\frac{1}{3 a + 2 b + c} + \frac{1}{a + 3 b + 2 c} + \frac{1}{2 a + b + 3 c} \leq \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot 16 = \frac{8}{3}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b = c \\ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 16 \end{cases} \Leftrightarrow a = b = c = \frac{3}{16} .$

Vậy $\frac{1}{3 a + 2 b + c} + \frac{1}{a + 3 b + 2 c} + \frac{1}{2 a + b + 3 c} \leq \frac{8}{3}$ (đpcm)

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện $x + y \geq 6$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y}$

Xem đáp án

Lời giải

- Dùng máy tính casio ta chọn được điểm rơi tại x = 2, y = 4. Nên ta có:

$P = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y} = (\frac{3 x}{2} + \frac{6}{x}) + (\frac{2 y}{4} + \frac{8}{y}) + 1, 5 x + 1, 5 y$

- Áp dụng BĐT Cô-si cho từng cặp số trong ngoặc ta được

$P \geq 6 + 4 + 1, 5 (x + y) = 6 + 4 + 1, 5.6 = 19$

Dấu bằng xảy ra khi: $\{\begin{cases} \frac{3 x}{2} = \frac{6}{x} \\ \frac{2 y}{4} = \frac{8}{y} \\ x + y \geq 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \pm 2 \\ y = \pm 4 \\ x + y \geq 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 4 \end{cases}$

Vậy P_min= 19 tại $\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 4 \end{cases}$ .

Câu 2

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = x^{2} + y^{2} + x y$

Xem đáp án

Lời giải

Cách 1:

Nhận xét: trong tất cả các điều kiện và biểu thức, vai trò của x, y đều bình đẳng nên C đạt GTNN khi x=y. Do đó, ta biến đổi như bên dưới.

Ta có: $C = x^{2} + y^{2} + x y = a {(x + y)}^{2} + b {(x - y)}^{2} = (a + b) (x^{2} + y^{2}) + 2 (a - b) x y$ .

Suy ra $\{\begin{cases} a + b = 1 \\ a - b = \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{3}{4} \\ b = \frac{1}{4} \end{cases}$ .

Hay ta có: $C = \frac{3}{4} {(x + y)}^{2} + \frac{1}{4} {(x - y)}^{2} = \frac{3}{4} .1 + \frac{1}{4} {(x - y)}^{2} \geq \frac{3}{4}$

Dấu “=” xảy ra khi $\{\begin{cases} x = y \\ x + y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}$ .

Vậy, giá trị nhỏ nhất của C là $\min C = \frac{3}{4}$ khi $x = y = \frac{1}{2}$ .

Cách 2:

Do $x + y = 1 \Rightarrow y = 1 - x$ . Khi đó, ta có:

$C = x^{2} + y^{2} + x y = x^{2} + {(1 - x)}^{2} + x (1 - x) = x^{2} - x + 1 = {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}$ .

Dấu “=” xảy ra khi $\{\begin{cases} x = \frac{1}{2} \\ x + y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}$ .

Vậy, $\min C = \frac{3}{4}$ khi $x = y = \frac{1}{2}$ .

Câu 3